第3讲二次函数的综合应用教师版.docx
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第3讲二次函数的综合应用教师版
第3讲 二次函数的综合应用
1、二次函数结合方程,不等式的应用:
(1)二次函数与其他函数联立求交点问题
(2)已知函数值的取值范围求自变量的取值范围
(3)函数比较大小
二、二次函数中三角形的面积最值问题:
借助面积公式
考点一.二次函数与方程
【例1】(☆☆)如图,平面直角坐标系中,点M是直线y=2与x轴之间的一个动点,且点M是抛物线的顶点,则方程的解的个数是( D )
A.0或2B.0或1C.1或2D.0,1或2
【例2】(☆☆)下列命题:
①若a+b+c=0,则b2-4ac≥0;
②若b>a+c,则一元二次方程有两个不相等的实数根;
③若b=2a+3c,则一元二次方程有两个不相等的实数根;
④若b2-4ac>0,则二次函数的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3。
其中正确的是(B)
A.只有①②③B.只有①③④C.只有①④D.只有②③④
【例3】(☆☆)已知关于x的方程.
(1)求证:
无论m取任何实数时,方程恒有实数根;
(2)若关于x的二次函数的图象与x轴两交点间的距离为2时,求抛物线的解析式;
(3)结合图象回答问题:
当直线y=x+b与
(2)中的函数图象只有两个交点时,求b的取值范围.
答案:
(1),∴无论m取任何实数时,方程恒有实数根;
(2),∴,∴
∴抛物线的解析式为:
(3)b>-或b<
【例4】(☆☆☆)“二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.”请根据对这句话的理解,解决下面问题:
若m,n(m<n)是关于x的方程2-(x-a)(x-b)=0的两根,且a<b,则a,b,m,n的大小关系是( C )
A.a<m<n<bB.a<m<b<nC.m<a<b<nD.m<a<n<b
举一反三
1.(☆☆)二次函数的图象如下图所示,若有两个不相等的实数根,则k的取值范围是k>3.
2.(☆☆)如上图,在平面直角坐标系中,点M是直线y=3与x轴之间的一个动点,且点M是抛物线的顶点,则方程的解的个数是0,1或2..
3.(☆☆☆)已知抛物线.
(1)若a=b=1,c=-1,求抛物线与x轴交点的坐标;
(2)若a=b=1,且当-1 (3)若a+b+c=0,且=0时,对应的>0;=1时,对应的>0,试判断当0 若有,请证明你的结论;若没有,阐述理由。 【解答】解: (1)当a=b=1,c=-1时,抛物线为y=3x2+2x-1, 方程3x2+2x-1=0的两个根为x1=-1,x2=, ∴该抛物线与x轴公共点的坐标是(-1,0)和(,0); (2)当a=b=1时,抛物线为y=3x2+2x+c,且与x轴有公共点. 对于方程3x2+2x+c=0,判别式△=4-12c≥0,有c≤, ①当c=时,由方程3x2+2x+=0,解得x1=x2=-. 此时抛物线为y=3x2+2x+=0与x轴只有一个公共点(-,0), ②当c<时,x1=-1时,y1=3-2+c=1+c,x2=1时,y2=3+2+c=5+c. 由已知-1<x<1时,该抛物线与x轴有且只有一个公共点,考虑其对称轴为x=-, 应有,即 解得-5<c≤-1. 综上,c=或-5<c≤-1. (3)对于二次函数y=3ax2+2bx+c, 由已知x1=0时,y1=c>0;x2=1时,y2=3a+2b+c>0, 又a+b+c=0,∴3a+2b+c=(a+b+c)+2a+b=2a+b. 于是2a+b>0.而b=-a-c,∴2a-a-c>0,即a-c>0. ∴a>c>0. ∵关于x的一元二次方程3ax2+2bx+c=0的判别式△=4b2-12ac=4(a+c)2-12ac=4[(a-c)2+ac]>0, ∴抛物线y=3ax2+2bx+c与x轴有两个公共点,顶点在x轴下方. 又该抛物线的对称轴x=-, 由a+b+c=0,c>0,2a+b>0, 得-2a<b<-a, ∴. 又由已知x1=0时,y1>0;x2=1时,y2>0,观察图象, 可知在0<x<1范围内,该抛物线与x轴有两个公共点. 4.(☆☆☆)若a 【解答】解: 如图所示, 在直角坐标系x′O′y中,画出y=(a-x)(x-b)的图象,再将x′轴向上平移3个单位即可得出: 函数y=(a-x)(x-b)-3的图象, 可知: a<m<n<b. 考点二.二次函数与不等式 【例1】(☆☆)如图是二次函数的部分图象,则不等式的解集是(D) A.-1 【例2】(☆☆)已知直线y=mx+n和抛物线在同一坐标系中的位置如图所示,且抛物线与x轴交于点(? 1,0),(2,0),抛物线与直线交点的横坐标为1和,那么不等式mx+n<<0的解集是(A) A. 1 或x>1C. ? 1 【例3】(☆☆)已知二次函数的图象和轴有交点,则的取值范围是(D) A.B.≥且C.≥D.且 【例4】(☆☆☆)二次函数y=x2+bx+c与直线y=x的图象如图所示,有以下结论: ①b2-4c>0;②3b+c+6=0;③当x2+bx+c>1时,x<1;④当x2+bx+c>时,x>;⑤当1<x<3时,x2+(b-1)x+c<0. 其中正确结论的编号是②⑤。 举一反三 1.(☆☆)如图,已知函数y=? 与(a>0,b>0)的图象交于点P(? 3,1),则关于x的不等式>? 的解为x<-3或x>0。 2.(☆☆)如图,抛物线与双曲线y=的交点A的横坐标是1,则关于x的不等式<0的解集是-1<x<0。 3.(☆☆☆)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),顶点坐标为(1,n),与y轴的交点在(0,2)、(0,3)之间(包含端点),则下列结论: ①当x>3时,y<0;②3a+b>0;③-1≤a≤;④3≤n≤4一元二次方程有两个不相等的实数根中。 正确的个数是( B ) A.5B.4C.3D.2 4.(☆☆)如图,已知直线y=-x+4与反比例函数(m>0,x>0)的图象交于A、B两点,与x 轴、y轴分别相交于C、D两点. (1)如果点A的横坐标为1,利用函数图象求关于x的不等式4-x<的解集; (2)点P(1,0),设△PAB的面积为S,当S=3时,试求m的值. 【解答】解: (1)点A在y=-x+4上,当x=1时,y=3, ∴A(1,3) ∵点A在上, ∴m=3, ∴y=(x>0) 由=-x+4得x1=1,x2=3; ∴点B坐标(3,1), 由图象可得,当x<1或x>3,函数y=-x+4的图象在y=的下方 ∴不等式4-x<的解集是: 0<x<1或x>3; (2)设B(m,n),由(m>0,x>0)关于y=x成轴对称图形, ∴A(n,m) ∴S=S? PAC-S? PBC=•m•(4-1)-•n•(4-1)=(m-n)=3, ∴m-n=2, 又∵B(m,n)在y=-x+4上, ∴n=-m+4, ∴m=3. 考点三.二次函数中的三角形面积最值 如图1,过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a),中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”。 我们可得出一种计算三角形面积的新方法: S△ABC=12ah,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。 【例1】(☆☆)已知抛物线与x轴交于A,B两点,在抛物线上有一点N,使△ABN的面积为,求点N的坐标。 【解答】解: 在抛物线y=x2-4x+1中,令y=0可得x2-4x+1=0,解得x=2+或x=2- ,则AB=2,设N为(x,y) 又∵S? ABN=BN•|y|=×2|y|=4, ∴|y|=4,解得y=4或y=-4, 当y=4时,即x2-4x+1=4,解得x=2+或x=2-,此时N点坐标为(2+,4)或(2-,4); 当y=-4时,即x2-4x+1=-4,该方程无实数解,即此时不存在满足条件的N点; 综上可知N的坐标为(2+,4)或(2-,4). 故答案为: (2+,4)或(2-,4). 【例2】(☆☆)如图,对称轴为x=? 1的抛物线(a≠0)与x轴相交于A. B两点,其中点A的坐标为(? 3,0). (1)求点B的坐标。 (2)已知a=1,C为抛物线与y轴的交点。 ①若点P在抛物线上,且S△POC=4S△BOC,求点P的坐标。 ②设点Q是线段AC上的动点,作QD⊥x轴交抛物线于点D,求线段QD长度的最大值。 答案: (1)点B的坐标为(1,0); (2)①点P的坐标为(4,21)或(-4,5); ②∴当x=-时,QD有最大值. 【例3】(☆☆☆)已知直线与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点C,抛物线经过点A和点C,动点P在x轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x轴的另一个交点B向点A运动,点Q由点C沿线段CA向点A运动,且速度是点P运动速度的2倍。 (1)求此抛物线的解析式和直线的解析式; (2)如果点P和点Q同时出发,运动时间为t(秒),试问当t为何值时,△PQA是直角三角形; (3)在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D,使得△ACD的面积最大? 若存在,求出点D坐标;若不存在,请说明理由. 答案: (1)抛物线解析式为y=-. (2)综上所述,当t的值为或时,△PQA是直角三角形. (3)满足条件的D点坐标为D(2,). 举一反三 1.(☆☆)函数的图像与x轴交于A.B两点,与y轴交于C点,且△ABC的面积为3,求这个二次函数的解析式。 答案: 2.(☆☆)如图所示,二次函数的图像与x轴的一个交点为A(3,0),另一个交点为B,且与y轴交于点C。 (1)求m的值。 (2)设抛物线的顶点为D,求点D的坐标。 (3)连接AD.CD,求四边形ABCD的面积。 (4)该二次函数图像上有一点Q(不同于点C),使S△ABQ=S△ABC,求点Q的坐标。 (5)若M是该抛物线上位于A.C之间的一动点,求△ACM面积的最大值。 答案: (1)m=3; (2)点D的坐标(1,4); (3)四边形ABCD的面积是9; (4)点Q的坐标是(2,3),或(,-3)或(,-3); (5)当M点坐标为()时,△ACM面积的最大值为。 3.(☆☆)已知二次函数。 (1)证明不论k取何值时,它的图象与x轴总有两个不同的交点; (2)当它的图象与y轴交于点A(0,5)时,求k的值; (3)对于 (2)所求出的二次函数,设其图像与x轴的交点从左到右依次为B,C,若点P(x,0)是BC上的一个动点(可以与B点重合,但不能与C点重合),点D的坐标是(0,3),写出四边形ADPC的面积S关于x的函数关系式;当x为何值时S最大,这个最大值是多少? 答案: (1)略; (2)k=3; (3)S=,当x=1时,S这个最大值是11. 1.(☆☆)已知二次函数(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0),则关于x的一元二次方程的两实数根是(B) A.=1,=-1B.=1,=2C.=1,=0D.=1,=3 2.(☆☆☆)已知二次函数,且,(<)是方程的两个根,则实数a,b,,的大小关系为 3.
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