平面向量与空间向量精华适合高三复习用可直接打印.docx
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平面向量与空间向量精华适合高三复习用可直接打印
平面向量与空间向量
[例1]和=(3,-4)平行的单位向量是_________;
错解:
因为的模等于5,所以与平行的单位向量就是,即
(,-)
错因:
在求解平行向量时没有考虑到方向相反的情况。
正解:
因为的模等于5,所以与平行的单位向量是,即
(,-)或(-,)
[例2]已知A(2,1),B(3,2),C(-1,4),若A、B、C是平行四边形的三个顶点,求第四个顶点D的坐标。
错解:
设D的坐标为(x,y),则有x-2=-1-3,y-1=4-2,即x=-2,y=3。
故所求D的坐标为(-2,3)。
错因:
思维定势。
习惯上,我们认为平行四边形的四个顶点是按照ABCD的顺序。
其实,在这个题目中,根本就没有指出四边形ABCD。
因此,还需要分类讨论。
正解:
设D的坐标为(x,y)
当四边形为平行四边形ABCD时,有x-2=-1-3,y-1=4-2,即x=-2,y=3。
解得D的坐标为(-2,3);
当四边形为平行四边形ADBC时,有x-2=3-(-1),y-1=2-4,即x=6,y=-1。
解得D的坐标为(6,-1);
当四边形为平行四边形ABDC时,有x-3=-1-2,y-2=4-1,即x=0,y=5。
解得D的坐标为(0,5)。
故第四个顶点D的坐标为(-2,3)或(6,-1)或(0,5)。
[例3]已知P1(3,2),P2(8,3),若点P在直线P1P2上,且满足|P1P|=2|PP2|,求点P的坐标。
错解:
由|P1P|=2|PP2|得,点P分P1P2所成的比为2,代入定比分点坐标公式得P()
错因:
对于|P1P|=2|PP2|这个等式,它所包含的不仅是点P为P1,P2的内分点这一种情况,还有点P是P1,P2的外分点。
故须分情况讨论。
正解:
当点P为P1,P2的内分点时,P分P1P2所成的比为2,此时解得
P();
当点P为P1,P2的外分点时,P分P1P2所成的比为-2,此时解得P(13,4)。
则所求点P的坐标为()或(13,4)。
点评:
在运用定比分点坐标公式时,要审清题意,注意内外分点的情况。
也就是分类讨论的数学思想。
[例4]设向量,,,则“”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
分析:
根据向量的坐标运算和充要条件的意义进行演算即可.
解:
若,∵,则,代入坐标得:
,即且.消去,得;
反之,若,则且,即
则,∴
故“”是“”的充要条件.
答案:
C
点评:
本题意在巩固向量平行的坐标表示.
[例5].已知=(1,-1),=(-1,3),=(3,5),求实数x、y,使=x+y.
分析:
根据向量坐标运算和待定系数法,用方程思想求解即可.
解:
由题意有
x+y=x(1,-1)+y(-1,3)=(x-y,-x+3y).
又=(3,5)
∴x-y=3且-x+3y=5
解之得x=7且y=4
点评:
在向量的坐标运算中经常要用到解方程的方法.
[例6]已知A(-1,2),B(2,8),=,=-,求点C、D和向量的坐标.
分析:
待定系数法设定点C、D的坐标,再根据向量,和关系进行坐标运算,用方程思想解之.
解:
设C、D的坐标为、,由题意得
=(),=(3,6), =(),=(-3,-6)
又=,=-
∴()=(3,6),()=-(-3,-6)
即()=(1,2),()=(1,2)
∴且,且
∴且,且
∴点C、D和向量的坐标分别为(0,4)、(-2,0)和(-2,-4)
小结:
本题涉及到方程思想,对学生运算能力要求较高.
[例1]在ABC中,已知a2=b2+bc+c2,则角A为( )
A. B. C. D.或
错解:
选A
错因:
公式记不牢,误将余弦定理中的“减”记作“加”。
正解:
∵a2=b2+bc+c2=b2+c2-2bc(-)=b2+c2-2bc·cos
∴∠A=
选 C.
[例2]在△ABC中,已知,试判别其形状。
错解:
等腰三角形。
错因:
忽视了两角互补,正弦值也相等的情形。
直接由得,,即,则。
接着下结论,所求三角形为等腰三角形
正解:
由得,,即
则或,故三角形为直角三角形或等腰三角形。
[例3]在中,试求周长的最大值。
并判断此时三角形的形状。
错解:
由于题目中出现了角和对边,故使用余弦定理,进一步想使用不等式或二次函数求最值
错因:
其实这种思路从表面上看是可行的,实际上处理过程中回遇到无法进行下去的困难。
正解:
由正弦定理,得a=2()sinA,b=2()sinB.
a+b=2()(sinA+sinB)=4()sincos
sin=sin75o=
a+b=()2cos≤()2=8+4.
当a=b时,三角形周长最大,最大值为8+4+.此时三角形为等腰三角形
[例4]在中,,其内切圆面积为,求面积。
分析:
题中涉及到内切圆,而内切圆直接与正弦定理联系起来了,同时正弦定理和余弦定理又由边联系起来了。
解:
由已知,得内切圆半径为2.由余弦定理,得三角形三边分别为16,10,14.
[例5]已知定点A(2,1)与定直线:
3x-y+5=0,点B在上移动,点M在线段AB上,且分AB的比为2,求点M的轨迹方程.
分析:
向量的坐标为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁,形成了代数与几何联系的新纽带.
解:
设B(x0,y0),M(x,y)
∴=(x-2,y-1),=(x0-x,y0-y),由题知=2
∴
由于3x0-y0+5=0,∴3×-+5=0
化简得M的轨迹方程为9x-3y+5=0
[例6]过抛物线:
y2=2px(p>0)顶点O作两条互相垂直的弦OA、OB(如图),求证:
直线AB过一定点,并求出这一定点.
分析:
对于向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),有a//bx1y2-x2y1=0.可以用来处理解析几何中的三点共线与两直线平行问题.
证明:
由题意知可设A点坐标为(,t1),B点坐标为(,t2)∴=(,t1),=(,t2),
∵OA⊥OB,∴•=0•+t1•t2=0
t1•t2=-4p2①
设直线AB过点M(a,b),则=(a-,b-t2),=(-,t1-t2),
由于向量与是共线向量,∴(a-)(t1-t2)=(b-t2)(-)
化简得2p(a-2p)=b(t1+t2)
显然当a=2p,b=0时等式对任意的成立
∴直线AB过定点,且定点坐标为M(2p,0)
三、经典例题
[例1]下列所表示的空间直角坐标系的直观图中,不正确的是( )
ABCD
错解:
B、C、D中任选一个
错因:
对于空间直角坐标系的表示不清楚。
有共同的原点,且两两垂直的三条数轴,只要符合右手系的规定,就可以作为空间直角坐标系.
正解:
易知(C)不符合右手系的规定,应选(C).
[例2]已知点A(-3,-1,1),点B(-2,2,3),在Ox、Oy、Oz轴上分别取点L、M、N,使它们与A、B两点等距离.
错因:
对于坐标轴上点的坐标特征不明;使用方程解题的思想意识不够。
分析:
设Ox轴上的点L的坐标为(x,0,0),由题意可得关于x的一元方程,从而解得x的值.类似可求得点M、N的坐标.
解:
设L、M、N的坐标分别为(x,0,0)、(0,y,0)、(0,0,z).
由题意,得
(x+3)2+1+1=(x+2)2+4+9,
9+(y+1)2+1=4+(y-2)2+9,
9+1+(z-1)2=4+4+(z-3)2.
分别解得,
故
评注:
空间两点的距离公式是平面内两点的距离公式的推广:
若点P、Q的坐标分别为(x1,y1,z1)、(x2,y2,z2),则P、Q的距离为
必须熟练掌握这个公式.
[例3]设,,且,记,求与轴正方向的夹角的余弦值
错解:
取轴上的任一向量,设所求夹角为,
∵
∴,
即余弦值为
错因:
审题不清。
没有看清“轴正方向”,并不是轴
正解:
取轴正方向的任一向量,设所求夹角为,
∵
∴,即为所求
[例5]已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),
⑴求以向量为一组邻边的平行四边形的面积S;
⑵若向量分别与向量垂直,且||=,求向量的坐标
分析:
⑴
∴∠BAC=60°,
⑵设=(x,y,z),则
解得x=y=z=1或x=y=z=-1,∴=(1,1,1)或=(-1,-1,-1).
[例6]已知正方体的棱长为,是的中点,是对角线的中点,
求异面直线和的距离
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