第15章平移与旋转.docx

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第15章平移与旋转

第15章平移与旋转

§15.1平移

1.图形的平移

2.平移的特征

§15.2旋转

1.图形的旋转

2.旋转的特征

3.旋转对称图形

§15.3中心对称

§15.4图形的全等

阅读材料古建筑中的旋转对称——从敦煌洞窟到欧洲教堂

小结

复习题

课题学习图案设计

第15章平移与旋转

世界充满着运动，从天体、星球的运行，到原子、粒子的作用，其中最基本的是平移、旋转及对称等运动．

平移、旋转及对称等合成了大千世界许许多多千姿百态的运动．

§15.1平移

1.图形的平移

在日常生活中，我们经常可以看到如图15.1.1所示的一些现象：

滑雪运动员在白茫茫的平坦雪地上滑翔，大楼电梯上上下下地迎送来客，火车在笔直的铁轨上飞驰而过，飞机起飞前在跑道上加速滑行，这些都给我们带来物体平行移动的形象．

图15.1.1

我们还可以注意到图15.1.2中一幅幅美丽的图案，它们都可以看成是某一基本的平面图形沿着一定的方向移动而产生的结果．

图15.1.2

这种图形的平行移动，简称为平移（translation）．它由移动的方向和距离所决定．

图15.1.3

当我们如图15.1.3所示的那样使用直尺与三角尺画平行线时，△ＡＢＣ沿着直尺PQ平移到△A′B′C′，就可以画出ＡＢ的平行线A′B′了．

我们把点A与点A′叫做对应点，把线段ＡＢ与线段A′B′叫做对应线段，∠A与∠A′叫做对应角．此时：

点B的对应点是点；

点C的对应点是点；

线段AC的对应线段是线段；

线段ＢＣ的对应线段是线段；

∠B的对应角是；

∠C的对应角是．

△ＡＢＣ平移的方向就是由点B到点B′的方向，平移的距离就是线段BB′的长度．

试一试

图15.1.4

在图15.1.4中，△ＡＢＣ沿着由点A到点A′的方向，平移到△A′B′C′的位置．你知道线段CA的中点M以及线段ＢＣ上的点N平移到什么地方去了吗?

请在图上标出它们的对应点M′和N′的位置．

练习

1.举出现实生活中平移的一些实例．

2.如图所示的△ＡＢＣ和△DEF都是等边三角形，其中一个等边三角形经过平移后成为另一个等边三角形．指出点A、B、C的对应点，并指出线段ＡＢ、ＢＣ、CA的对应线段，∠A、∠B、∠C的对应角．

（第2题）

3.如图，小船经过平移到了新的位置，你发现缺少什么了吗?

请补上．

（第3题）

2.平移的特征

如图15.1.5，在画平行线的时候，有时为了需要，将直尺与三角尺放在倾斜的位置上．但不管怎样，我们总可以推得

A′B′∥ＡＢ，A′B′＝ＡＢ，∠B′＝∠B．

同时也有

A′C′∥，A′C′＝，∠C′＝．

这就告诉我们，平移后的图形与原来的图形的对应线段平行并且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化．

图15.1.5

注意

在平移过程中，对应线段也可能在一条直线上（如图15.1.5中的B′C′与ＢＣ）．

探索

观察图15.1.6，△ＡＢＣ沿着PQ的方向平移到△A′B′C′的位置，除了对应线段平行并且相等以外，你还发现了什么现象?

图15.1.6

我们可以看到，△ＡＢＣ上的每一点都作了相同的平移：

A→A′，B→B′，C→C′．

不难发现

AA′∥∥；AA′＝＝．

即平移后对应点所连的线段平行并且相等．

试一试

将图15.1.6中的△A′B′C′沿RS方向平移到△A″B″C″的位置，其平移的距离为线段RS的长度．

注意

如图15.1.7所示，在平移过程中，对应点所连的线段也可能在一条直线上．

图15.1.7

例如图15.1.8

（1），△ＡＢＣ经过平移到△A′B′C′的位置．指出平移的方向，并量出平移的距离．

图15.1.8

解由于点A与点A′是一对对应点，因此，如图15.1.8

（2），连结AA′，平移的方向就是点A到点A′的方向，且平移的距离就是线段AA′的长度，约2.４厘米．

试一试

图15.1.9

在如图15.1.9的方格纸中，画出将图中的△ＡＢＣ向右平移5格后的△A′B′C′，然后再画出将△A′B′C′向上平移2格后的△A″B″C″．△A″B″C″是否可以看成是△ＡＢＣ经过一次平移而得到的呢?

如果是，那么平移的方向和距离分别是什么呢?

做一做

如图15.1.10，在纸上画△ＡＢＣ和两条平行的对称轴m、n.画出△ＡＢＣ关于直线m对称的△A′B′C′，再画出△A′B′C′关于直线n对称的△A″B″C″．

图15.1.10

观察△ＡＢＣ和△A″B″C″，你能发现这两个三角形有什么关系吗?

练习

1.如图，在长方形ＡＢCD中，对角线AC与BD相交于点O，画出△AOB平移后的三角形，其平移方向为射线AD的方向，平移的距离为线段AD的长．

（第1题）（第2题）

2.先将方格纸中的图形向左平移5格，然后再向下平移3格．

3.将所给图形沿着PQ方向平移，平移的距离为线段PQ的长．画出平移后的新图形．

（第3题）

习题15.1

1.任意画一个三角形，然后将此三角形沿着北偏东60°的方向平移2.8厘米，画出平移后的三角形．

2.平移方格纸中的图形（如图），使点A平移到点A′处，画出平移后的图形．

（第2题）（第3题）

3.如图，ＡＢ＝DC，画出线段ＡＢ平移后的线段DE，其平移方向为射线AD的方向，平移的距离为线段AD的长．平移后所得的线段DE与线段DC相等吗?

连结EC，∠DEC与∠DCE相等吗?

试说明理由．

4.利用如图所示的图形，通过平移设计图案．

（第4题）

§15.2旋转

1.图形的旋转

在日常生活中，除了物体的平行移动外，我们还可以看到许多如图15.2.1所示的物体的旋转现象：

时钟上的秒针在不停地转动，大风车的转动给人们带来快乐，飞速转动的电风扇叶片给人们带来一丝丝的凉意．

图15.2.1

图15.2.2中的两个图形都可以看成是由一个或几个基本的平面图形转动而产生的奇妙画面．

图15.2.2

这些图形有什么共同特征呢?

图15.2.3

如图15.2.3，单摆上小球的转动，由位置P转到位置P′，显然它是绕上面的悬挂点转动．像这样的运动，就叫做旋转（rotation）．这一悬挂点就叫做小球旋转的旋转中心（centreofrotation）．显然，旋转中心在旋转过程中保持不动，图形的旋转由旋转中心、旋转的角度和旋转的方向所决定．

试一试

用一张半透明的薄纸，覆盖在画有任意△AOB的纸上，在薄纸上画出与△AOB重合的一个三角形．然后用一枚图钉在点O处固定，将薄纸绕着图钉（即点O）逆时针转动45°，薄纸上的三角形就旋转到了新的位置，标上A′、O、B′，我们可以认为△AOB逆时针旋转45°后变成△A′OB′（如图15.2.4）．

在这样的旋转过程中，你发现了什么?

图15.2.4

从图15.2.4中，可以看到点A旋转到点A′，OA旋转到OA′，∠AOB旋转到∠A′OB′，这些都是互相对应的点、线段与角．此时：

点B的对应点是点；

线段OB的对应线段是线段；

线段ＡＢ的对应线段是线段；

∠A的对应角是；

∠B的对应角是；

旋转中心是点；

旋转的角度是．

做一做

图15.2.5

如图15.2.5，如果旋转中心在△ＡＢＣ的外面点O处，逆时针转动60°，将整个△ＡＢＣ旋转到△A′B′C′的位置．那么这两个三角形的顶点、边与角是如何对应的呢?

例1如图15.2.6，△ＡＢＣ是等边三角形，D是ＢＣ上一点，△ＡＢD经过逆时针旋转后到达△ACE的位置．

（1）旋转中心是哪一点?

（2）旋转了多少度?

（3）如果M是ＡＢ的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置?

图15.2.6

解

（1）旋转中心是点A．

（2）旋转了60°．

（3）点M转到了AC的中点位置上．

例2如图15.2.7

（1），点M是线段ＡＢ上一点，将线段ＡＢ绕着点M顺时针方向旋转90°，旋转后的线段与原线段的位置有何关系?

如果逆时针方向旋转90°呢?

图15.2.7

解顺时针方向旋转90°，如图15.2.7

（2）所示，A′B′与ＡＢ互相垂直．

逆时针方向旋转90°，如图1527（3）所示，A″B″与ＡＢ互相垂直．

练习

1.举出现实生活中旋转的一些实例．

2.如图，△ＡＢＣ按逆时针方向转动一个角后成为△ＡＢ′C′，图中哪一点是旋转中心?

旋转了多少度?

（第2题）（第3题）

3.如图，△ＡＢＣ与△ADE都是等腰直角三角形，∠C和∠AED都是直角，点E在ＡＢ上，如果△ＡＢＣ经逆时针旋转后能与△ADE重合，那么哪一点是旋转中心?

旋转了多少度?

2.旋转的特征

探索

观察图15.2.4与图15.2.5，你能发现有哪些线段相等?

有哪些角相等?

我们可以看到，图15.2.4中，线段OA、OB都是绕点O逆时针旋转45°角到对应线段OA′、OB′，而且

OA＝OA′，OB＝OB′，ＡＢ＝A′B′；

∠AOB＝∠A′OB′，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′．

在图15.2.5中，旋转中心是点O，点A、B、C都是绕点O逆时针旋转60°角到对应点A′、B′、C′，而且

OA＝，OB＝，OC＝；

ＡＢ＝，ＢＣ＝，CA＝；

∠CAＢ＝，∠ＡＢＣ＝，∠ＢCA＝．

这就是图形旋转的特征：

图形中每一点都绕着旋转中心按同一旋转方向旋转了同样大小的角度，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化．

练习

1.确定图形中的旋转中心，指出这一图形可以看成是由哪个基本图形旋转而生成的，旋转几次，每一次旋转多少度．（不计颜色）

（第1题）（第2题）（第3题）

2.画出△ＡＢＣ绕点C逆时针旋转90°后的图形．

3.画出所给图形绕点O顺时针旋转90°后的图形．旋转几次后可以与原图形重合?

3.旋转对称图形

在日常生活中，我们经常可以看到，一些图形绕着某一定点旋转一定的角度后能与自身重合．如图1528所示，电扇的叶片旋转120°、螺旋桨旋转180°后，都能与自身重合．你能再举出一些这样的实例吗?

图15.2.8

试一试

用一张半透明的薄纸，覆盖在如图15.2.9所示的图形上，在薄纸上画这个图形，使它与如图15.2.9所示的图形重合．然后用一枚图钉在圆心处穿过，将薄纸绕着图钉旋转，观察旋转多少度（小于周角）后，薄纸上的图形能与原图形再一次重合．

图15.2.9图15.2.10图15.2.11

由上述操作可知，该图形绕圆心旋转60°后，能与自身重合，且绕圆心旋转120°或180°后，都能与自身重合．

这种图形就称为旋转对称图形（afigureofrotationsymmetry）．

用类似上述的操作方法对如图15.2.10所示的图形进行探索，看看它是不是旋转对称图形?

想一想旋转中心在何处?

该图形需要旋转多少度后，能与自身重合?

该图形是轴对称图形吗?

图15.2.11所示的图形是轴对称图形．用类似上述的操作方法对图15.2.11所示的图形进行探索，它能通过旋转与自身重合吗?

你能设计一个旋转30°后能与自身重合的图形吗?

做一做

如图15.2.12，画△ＡＢＣ和过点P的两条直线PQ、PR．画出△ＡＢＣ关于PQ对称的三角形A′B′C′，再画出△A′B′C′关于PR对称的三角形A″B″C″．

观察△ＡＢＣ和△A″B″C″，你能发现这两个三角形有什么关系吗?

图15.2.12

练习

1.举出日常生活中旋转对称图形的几个实例．