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第26讲巧解逻辑推理问题
第26讲巧解逻辑推理问题
(一)
巧点晴——方法和技巧
1.需要遵循逻辑思维的基本规律:
同一律、矛盾律和排中律。
(1)“同一律”指的是在同一思维过程中,对同一对象的思想必须是确定的,在进行判断和推理的过程中,每一概念都必须在同一意义下使用。
(2)“矛盾律”指的是在同一思维过程中,对同一对象的思想不能自相矛盾。
(3)“排中律”指的是在同一思维过程中,一个思想或为真或为假,不能既不真也不假。
2.解决逻辑推理问题的方法一般有:
(1)列表画图法;
(2)假设推理法;
(3)枚举筛选法。
巧指导——例题精讲
A级冲刺名校·基础点晴
【例1】有人为班上做了一件好事,老师猜想一定在A,B,C,D四人当中。
当老师问他们时,他们分别做了下面的回答。
A:
“做好事的是B,C,D三人中之一”。
B:
“我没做,是C做的”。
C:
“A,D中有一人做了这件事,”D:
“B说的是事实。
”经分析发现,两人说的是事实,另两人说的不是事实,那么空间是谁做的好事呢?
分析与解既然已知两人说的是事实,另两人说的与事实不符,那么可以先假设其中两人说的是事实,剩下的人说的不是事实,然后检查这几句话之间有无矛盾。
若无矛盾,其解得出;若有矛盾,则假设不对,应重新假设。
现在要在A,B,C,D这四人说的4句话中确定两句,共有6种不同的选法:
,,,,,
。
但B与D的话完全一致,不可能一句是事实,另一句不是事实,因此我们只需检查以下两种情况就行了。
情形一:
B与D说的是事实。
情形二:
B与D说的不是事实。
在情形一中,由B和D所说知道,好事是由C做的;这样一来,A说的也正确,这不可能(因为只有两人说的是事实)。
在情形二中,由B,D所说知道,B参与了做好事,而C没有参与做.又因为A与C讲的是事实,于是推出D也参与做好事,所以事实是B与D两人都做了这件好事.
答:
B与D两人都做了好事。
做一做1A,B,C,D四名学生猜测自己的数学成绩——
A说:
“如果我得优,那么B也得优。
”
B说:
“如果我得优,那么C也得优。
”
C说:
“如果我得优,那么D也得优。
”
如果大家都没说错,但只有两人得优,问:
谁得优?
【例2】A,B,C三人中有两种人,一种人只说真话,另一种人只说假话。
A说B,C都说了假话,B坚决否认;但C说B确定说了假话。
问:
A,B,C中有几人说了假话?
分析与解A,B,C中有如下几种可能:
(1)A,B,C都说真话;
(2)A,B,C都说假话;
(3)A,B,C中有一人说假话;
(4)A,B,C中有一人说真话。
因A,B,C中至少有1人说假话,从而
(1)不成立。
而A与B中肯定有人说真话,从而
(2)不成立。
若(3)成立,则必有两人说真话,而A,B中必有1人说假话,于是C一定说真话,从而B一定说假话,A也说假话,矛盾。
因此,这四种答案中排除了前三种,只有(4)成立,即A,B,C中有2人说假话。
答:
A,B,C中有2人说假话。
做一做2有三对夫妇在一次聚会上相遇,他们是X,Y,Z先生和A,B,C女士,其中X先生的夫人和C女士的丈夫初次见面,B女士的丈夫和A女士也是初次见面,Z先生认识所有的人。
问:
哪位先生和哪位女士是夫妇?
【例3】从1至10的十个整数中,选出5个数A,B,C,D,E满足下面6个条件:
(1)D比6大;
(2)D能被C整除;
(3)A与D的和等于D;
(4)A,C,E三数之和等于D;
(5)A与C的和比E小;
(6)A与E的和比C与5的和小。
问:
这五个数分别是多少?
分析与解从条件
(1)和
(2)知D=7,8,9的三种情况,列表来逐条检查是否满足条件。
D=7
条件
结论
(2)
C=1
(3)
A=2
A=3
B=9
B=10
(4)
E=4
不存在
(5)
√
×
(6)
×
×
D=8
条件
结论
(2)
C=1
C=2
C=4
(3)
A=2
A=1
A=1
A=2
B=10
B=9
B=9
B=10
(4)
E=5
E=5
E=3
不存在
(5)
√
√
×
(6)
×
√
D=9
条件
结论
(2)
C=1
C=3
(3)
不存在
A=1
B=10
(4)
E=5
(5)
√
(6)
√
以上表中:
“√”表示满足这一条件,“×”表示不满足这一条件。
通过分析,本题有两个解:
A=1,B=9,C=2,D=8,E=5和A=1,B=10,C=3,D=9,E=5。
答:
这五个数可能是1,9,2,8,5或1,10,3,9,5。
做一做3某次考试,A,B,C,D,E五人的得分是互不相同的整数。
A说:
“我得了94分。
”
B说:
“我在五人中得分最高。
”
C说:
“我的得分是A和D的平均分。
”
D说:
“我的得分恰好是五个人的平均分。
”
E说:
“我比C多得2分,在我们五个人中是第二名。
”
问:
这五个人分别得了多少分?
B级培优竞赛·更上层楼
【例4】在下边表格的每个空格内填入一个整数,使它恰好表示它上面的那个数字在第二行中出现的次数,那么,第二行中的五个数字依次是什么?
0
1
2
3
4
分析与解用试验的办法来解,先看4的下面一格。
如果4的下面一格所填数超过1,那么其他空格中就至少有两个4,五个数的和就会超过5;如果4的下面填1,表示4在第二行出现一次,不管4填在几的下面,都表示这个数在第二行出现4次,但第二行仅剩第三个空格(五个格中己填了一个1和一个2),所以4的下面一格只能填0。
再看3的下面一格,若填大于1的数,则第二行至少有两个3,五个数的和就会超过5,不行;若填1,则表示3在第二行出现一次。
如果把3填在0的下面,1的下面至少填1,还剩两格,无法填上三个;如果3填在其他数字下面,定会出现第二行五个数之和大于5,所以,3的下面也只能填0。
现在,第二行所剩的三个空格中,只能填0,1,2三个数字,且要它们的和为5,只有一个1和两个2满足要求。
所以,1在第二行出现一次,1的下面一格应填1;2在第二行出现两次,2的下面一格应填2;0在第二行中出现两次,在0的下面一格填上2,便得到最后的结果:
2,1,2,0,0。
这是一个很有趣的推理问题,解本题关键是发现第二行的五个数之和等于5。
答:
第二行中的五个数字依次是2,1,2,0,0。
做一做4甲、乙、丙3人进行射击比赛,每人打
5发子弹,中靶的位置在右图中用点表示,计算成绩时
发现3人得分相同。
甲说:
“我头2发打了8环。
”乙说:
“我头2发打了9环。
”请判断唯一的10环是谁打的。
【例5】小赵的电话号码是一个五位数,它由五个不同的数字组成。
小张说:
“它是84261。
”小王说:
“它是26048。
”小李说:
“它是49280。
”小赵说:
“谁说的某一位上的数字与我的电话号码上的同一位数字相同,就算谁猜对了这人数字。
现在你们每人都猜对了位置不相邻的两个数字。
”请问:
小赵的电话号码是多少?
分析与解每人猜对两个数字,三人共猜对2×3=6个数字,但电话号码只有5位,所以一定有一位数被两人同时猜对。
如下面的数列所示,猜对的一定是右起的第三位数字2。
又由于每人猜对的两个数字不相邻,因此,张、李猜对的另一个数字分别在两端,由此推知王猜对的数字是6和4,进而张猜对8,李猜对0,即电话号码是86240。
张:
84261
王:
26048
李:
49280
答:
小赵的电话号码是86240。
做一做5某商品的编号是一个三位数,现在有五个三位数:
874,765,123,364,925
其中,每个数与商品的编号恰好在同一位上有一个相同的数字,那么,这个三位数是多少?
【例6】将1,1,2,2,3,3,4,4这八个数排成一个八位数,使得两个1之间有一个数字;两个2之间有两个数字;两个3之间有三个数字;两个4之间有四个数字。
那么,这样的八位数中的一个数是多少?
分析与解从“两个4之间有四个数字”这一条件入手,写成
44
在两个4之间的四个位置上,显然不能放两个3;如果放两个2,那么这两个2之间就没合适的数了,所以,只能放两个1,可以写成
4144
进一步,排出两个3的位置:
413143
最后按要求放2,得到
41312432
反过来还可以得到另一个八位数
23421314
答:
这样的八位数中的一个是41312432。
做一做6甲、乙、丙、丁四人坐在同一排的相邻座位上,座号从左到右依次是1,2,3,4号。
已知甲和乙不相邻,丙和丁不相邻,甲的座号比乙大但比丙小,问:
他们分别坐在几号座位上?
C级(选学)决胜总决赛·勇夺冠军
【例7】在一次满分为100分的考试中,A,B,C,D,E五人的得分都是大于91的整数。
如果A,B,C的平均分为95分,B,C,D的平均分为94分,A是第一名,E是第三名且得96分,那么,D的得分是多少?
解如果B是第二名(或并列第一名),那么,A和B原得分都要比第三名E的96分多,他俩至少共得97+97=194(分)。
由于A,B,C的平均分为95分,他们三人共得
95×3=285(分)
这样,C最多能得285-194=91(分)
这与题设每人的得分都是大于91分的整数矛盾,所以,B不可能是第二名。
同理,C不可能是第二名。
所以D是第二名。
从A,B,C的平均分是95分,B,C,D的平均分是94分知,A比D多1×3=3(分)。
又知A、D的得分都大于96分,所以,A得100分,D得97分。
答:
D的得分是97分。
做一做7在一次考试中,A,B,C,D四人的得分是不小于95且互不相同的整数,四人的平均分也是整数,A,B,C平均95分,B,C,D平均94分,B得96分是第二名。
问:
他们各得多少分?
巧练习——温故知新(二十六)
巧点晴——方法和技巧
A级冲刺名校·基础点晴
1.丁丁、光光和乐乐分别出生在北京、上海和广州,他们有的喜欢数学,有的喜欢语文、有的喜欢英语。
现已知:
①丁丁不喜欢数学,光光不喜欢英语;②喜欢数学的不出生在上海;③喜欢英语的出生在北京;④光光不出生在广州。
请回答:
丁丁、光光和乐乐各自的爱好和出生地。
2.在国际饭店的宴会桌旁,A,B,C,D四们朋友进行有趣的交谈,用了汉、英、法、日四种语言。
已知情况如下:
①A,B,C各会两种语言,D只会一种语言;②有一种语言四人中有三人都会;③A会日语,D不会日语,B不会英语;④A与C,C与D不能直接交谈,B与C可直接交谈;⑤没有人既会日语又会法语。
问:
A,B,C,D各会何种语言?
3.有四个人进行游泳比赛。
比赛前,四名选手A,B,C,D进行预测性的谈话。
A说:
“我肯定得第一名。
”B说:
“我绝不会得最后一名。
”C说:
“我不可能是第一名,也不会得最后一名。
”D说:
“那只有我是最后一名啦!
”比赛结果揭晓后,发现他们之中只有一人预测错误,请指出他是哪一位选手。
(通过假设法找答案)
4.有一天,三个朋友在图书馆相会。
甲说:
“我每隔一天来一次。
”乙说:
“我每隔两天来一次。
”丙说:
“我每隔三天来一次。
”管理员告诉他们,图书馆星期三休息,不开放。
三个小朋友说:
“如果预定来的日子正好是休息日,那就次日来。
”从这天起他们按上述办法来,下次在星期一他们三人又在图书馆相会。
问:
上次谈话离这个星期一最近可能是星期几?
5.四张卡片上分别写着努、力、学、习四个字(一张卡片上写一个字),取出其中三张覆盖在桌面上,甲、乙、丙分别猜每张卡片上是什么字,具体如下表:
人员
第一张
第二张
第三张
甲
力
努
习
乙
力
学
习
丙
学
努
力
已知每一张卡片上的字至少有一人猜中,所猜的三次中,有人一次也没猜中,有两个人分别猜中了两次和三次。
问:
这三张卡片上依次是什么字?
B级培优竞赛·更上层楼
6.在一列火车上,乘务员中有张、王、李姓的三人,其中一个是司机,一个是列车员,一个是乘警。
碰巧旅客中也有张、王、李姓的三人。
关于这六人还知道下列情况:
①姓李的旅客住在北京;②列车员住在天津;③姓王的顾客不喜欢体育运动;④与列车员同姓的旅客住在上海;⑤列车员与爱打篮球的旅客是邻居。
那么,列车员姓什么?
7.如右图,有一座高4层的楼房,每个窗户的4块玻璃分别涂上黑色和白色,每个窗户代表一个数,每层楼有3个窗户,由左向右表示一个三位数,4个楼层表示的三位数为:
791,275,362,612。
问:
第二层楼表示哪个三位数?
8.五个人参加一次数学竞赛,一共得了434分,获得第一名的得100分,其余各人所得分数都是整数,并且每人所得分数都不相同。
那么,获第五名的最多得多少分?
9.2000年欧洲足球锦标赛小组赛,每组四个队进行单循赛,每场比赛胜队得3分,负队得0分,平局两队各得1分。
小组赛结束后,各队按积分从高到低排名次,积分相同时要按小分排序。
那么,获得相邻名次的两队的积分最多可以相差多少分?
10.甲、乙、丙、丁五人各从图书馆借来一本小说,他们约定读完后互相交换。
这五本书的厚度以及他们五人的阅读速度差不多,因此总是五人同时交换书。
经过数次交换后,他们每人都读完了这五本收。
现已知:
①甲最后读的书是乙读的第二本;②丙最后读的书是乙读的第四本;③丙读的第二本书甲在一开始就读了;④丁最后读的书是丙读的第三本;⑤乙读的第四本书是戊读的第三本;⑥丁读的第三本书是丙一开始读的那一本。
根据以上情况,请找出每人读这五本书的顺序。
C级(选学)决胜总决赛·勇夺冠军
11.某宾馆二楼住着六位旅客。
姓张、姓王、姓李的三位会议代表,一位是科学家,一位是技术员,一位是记者;另外三位是出差的旅客,分别来自北京、上海、广州,他们的姓分别是张、王、李。
服务员介绍的情况是:
①姓李的旅客从北京来;②技术员在广州的一家工厂工作;③姓王的旅客说话结结巴巴;④与技术员同姓的旅客来自上海;⑤技术员与职业是教师的那位旅客从同一个地方来;⑥姓张的代表打羽时,总是输给记者。
请判断他们六人各姓什么。
12.人的血型通常分为A型、B型、O型、AB型。
子女的血型与其父母之间的关系如下表所示。
现有三个分别身穿红、黄、蓝上衣的孩子,他们的血型依次为O,A,B。
每个孩子的父母都戴着相同的颜色的帽子,颜色也分红、黄、蓝三种,依次表示所具有的血型为AB,A,O。
问穿红、黄、蓝上衣的孩子的父母各戴什么颜色的帽子?
父母的血型
子女可能的血型
父母的血型
子女可能的血型
0,0
O
A,B
A,B,AB,O
0,A
A,O
A,AB
A,B,AB
O,B
B,O
B,B
B,O
O,AB
A,B
B,AB
A,B,AB
A,A
A,O
AB,AB
A,B,AB
13.同住一间寝室的A、B、C、D四名女大学生,正在听一组乐曲。
她们当中有一个人在修指甲,一个人在做头发,一个人在化妆,另一个人在看书。
已知:
①A不在修指甲,也不在看书;②B不在化妆,也不在修指甲;③如果A不在化妆,那么C不在修指甲;④D不在看书,也不在修指甲。
问:
她们各自在做什么?
14.张、王、李、赵四个人,一个是教师,一个是售货员,一个是工人,一个是机关干部。
请根据下面的零星情况,判断每个人的职业。
①张和王是邻居,每天一起骑车上班;②王比李年龄大;③张正在教越打太极拳;④教师每天步行上班;⑤售货员的邻居不是机关干部;⑥机关干部和工人互不认识;⑦机关干部比售货员和工人的年龄大。
巧总结
本节我的收获是:
。
不足之处有:
。
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