高三数学分类讨论专题复习函数方程与不等式的分类情形.docx

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高三数学分类讨论专题复习函数方程与不等式的分类情形

“分类讨论专题讲解——函数、方程与不等式的分类情形”

知识定位

分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、探索性，能训练人的思维挑理性和概括性，所以在高考题中占有重要的位置．

知识梳理

引起分类讨论的原因主要是以下几方面：

（1）问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的．如的定义为、、三种情况．这种分类讨论题型可以称为概念型．

（2）问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者时分类给出的．如等比例的前项和的公式，分和两种情况．这种分类讨论题型可以称为性质型．

（3）解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论．如解不等式时分、、和三种情况讨论．这种称为含参型．

（4）某些不确定的数量、不确定的图形的形状和位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性．

（5）较复杂的或非常规的数学问题，需采用分类讨论的策略解决．

分类讨论的标准：

①涉及的数学概念是分类定义的；

②涉及运算的数学定义、公式或运算性质、法则是分类给出的；

③涉及题中所给出的限制条件或研究对象的性质而引起的；

④涉及数学问题中参变量的不同取值导致不同结果二引起的；

⑤涉及几何图形的形状、位置的变化而引起的；

⑥一些较复杂或非常规的数学问题，需要采用分类讨论的解题策略解决的．

分类讨论的步骤一般可分为以下几步：

①确定讨论的对象及其范围；

②确定分类讨论的标准，正确进行分类；

③逐步讨论，分级进行；

④归纳整合，作出结论．

例题精讲

【试题来源】

【题目】函数在中的最大值比最小值大，则的值为＿＿＿＿．

【答案】：

当是，原函数在上单调递增，

，解得（舍去），

当时，原函数在上单调递减，

，解得（舍去），

【解析】此处注意指数函数底的讨论，要求熟悉掌握指数对数函数的分类情形

【知识点】

【适用场合】当堂例题

【难度系数】2

【试题来源】

【题目】设，且，比较与的大小．

【答案】：

（1）当

（2）当

由

（1）、

（2）可知，

【解析】比较对数大小，运用对数函数的单调性，而单调性与底数有关，所以对底数分两类情况进行讨论．本题要求对对数函数的单调性的两种情况十分熟悉，即当时其是增函数，当时其是减函数．去绝对值时要判别符号，用到了函数的单调性；最后差值的符号判断，也用到函数的单调性．

【知识点】

【适用场合】当堂练习题

【难度系数】2

【备注】对于基础不好的学生，解析时可引导学生回忆复习指数和对数的一些运算公式，指数对数函数的急图像和性质，注重基础知识的梳理和总结。

【试题来源】

【题目】设函数的图像与轴恰有一个公共点，求实数的值及公共点坐标．

【答案】：

（1）当时，，此时，它的图像是一条直线．

若，则，它的图像与轴只有一个公共点，符合题意．

若．

（2）当，则是二次函数，它的图像是抛物线．

当且仅当判别式时，抛物线与轴恰有一个公共点．

由，得

当时，解得或，此时公共点为

当时，解得，（舍）．

综上所述，所求值为1或0，相应公共点为或．

【解析】该题比较简单，考查的是对函数解析式的分类讨论，特别是对二次函数二次系数的讨论往往是学生容易出错的地方

【知识点】

【适用场合】当堂练习题

【难度系数】1

【备注】该题比较简单，适用于一些基础较差的学生。

【试题来源】

【题目】设，在复数集中，解方程：

．

【答案】解法一，由得：

为实数或纯虚数

当时，，解得：

当为纯虚数时，设，解得：

；

由上可得，或

解法二设，代入得；

当时，，解得，所以；

当时，，解得，所以

由上可得，或

【解析】：

由已知和可以得到，即对分实数、纯虚数两种情况进行讨论求解．本题用标准解法（设再代入原式得到一个方程组，再解方程组）过程十分繁难，而挖掘隐含，对分两类讨论则简化了数学问题．此题属于复数问题标准解法，即设代数形式求解，其中抓住而分和两种情况进行讨论求解，实际上，每种情况中绝对值方程的求解，也渗透了分类讨论思想．

【知识点】

【适用场合】当堂例题

【难度系数】3

【备注】教学时可引导学生用两种方法尝试，比较两种方法的利弊，并体会两种方法中包含的分类讨论思想

【试题来源】

【题目】设为实数，函数．

（1）讨论的奇偶性；

（2）求的最小值．

【答案】：

（1）当时，是偶函数；当时，既不是奇函数，也不是偶函数．

（2）：

当时，．

当时，；当时，

：

当时，函数．

当时，；

当时，

综上所述，当时，；当时，；

当时，．

【解析】该题

（1）问结合函数奇偶性的定义即可分析出答案，

（2）问里要对二次函数的定义域和参数a分两个层次的讨论，最后做综合比较，必须明晰讨论标准。

【知识点】

【难度系数】5

【适用场合】当堂例题

【试题来源】

【题目】设数列为递增数列，且，，（为正整数）．若对于任意的，总有两个不同的根．

（1）试写出，并求出；

（2）求，并求出的通项公式；

（3）设，求．

【答案】

（1），，又，

总有两个不同的实根，，且．

（2）1°当时，为增函数，不合题意，舍去；

2°当时，时，有唯一解，不合题意．

（3）当时，

当时，

【解析】注意学会分类讨论中常用的奇偶分析

【知识点】

【适用场合】课堂例题

【难度系数】5

【试题来源】

【题目】在何范围内，对任意实数都成立．

【答案】设．

若，对为任意实数都成立，，

（1）若则当时，，，即；

（2）若，则当时，；

（3）若，则当时，，又，∴不符合题意舍去．

综上所述，．

【解析】先用同角三角比公式转化成二次函数的形式，然后结合二次函数的对称轴讨论区间上的最大值

【知识点】

【适用场合】当堂例题

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】已知函数，求的值．

【答案】

．．

（1）若．

（2）若．

综上所述，∴．

【解析】利用辅助角公式并结合换元法转化成二次函数的最值讨论问题。

【知识点】

【适用场合】当堂练习题

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】设是由正数组成的等比数列，是前项和．

（1）证明：

；

（2）是否存在常数，使得成立？

并证明结论．

【答案】设的公比，则

（1）当时，，从而；

当时，，从而

由上可得，所以，即．

（2）要使成立，则必有，

分两种情况讨论如下：

当时，，则

当时，，则

即,而对数式无意义．

由上综述，不存在常数，使得成立．

【解析】要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形；再应用比较法而求解．其中在应用等比数列前项和的公式时，由于公式的要求，分和两种情况．

【知识点】

【适用场合】当堂练习

【难度系数】4

【试题来源】

【题目】在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于两点．

（1）求证：

“如果直线过点，那么”是真命题；

（2）写出

（1）中命题的逆命题，判断它是真明题还是假命题，并说明理由．

（1）设过点的直线交抛物线于点．

【答案】当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，直线与抛物线相交于点

、．；

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，其中，

由得

又，，

，

综上所述，命题“如果直线过点，那么”是真命题；

（3）逆命题是：

设直线交抛物线于两点，如果，那么该直线过点．

该命题是假命题．

例如：

取抛物线上的点，，此时，直线的方程为：

，

而不在直线上；

【解析】由抛物线上的点满足，可得，或，如果，可证得直线过点；如果，可证得直线过点，而不过点．

【知识点】

【适用场合】当堂例题

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】已知椭圆的中心为坐标系的原点，焦点在轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1．

（1）求椭圆的方程；

（2）若为椭圆上的动点，为过且垂直于轴的直线上的点，=λ，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

【答案】

（1）设椭圆长半轴长及半焦距分别为，由已知得

，解得，

所以，椭圆的标准方程为

（2）设，其中．由已知及点在椭圆上可得

．

整理得，其中．

①时．化简得

所以点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段．

②时，方程变形为，其中

当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分．

当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分；

当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆；

【解析】

（1）问中的定点指的是长轴上的顶点

（2）中先要整理出曲线方程，然后结合所学的各种曲线类型分类讨论。

【知识点】

【适用场合】当堂练习

【难度系数】3

习题演练

【试题来源】

【题目】函数的最小值记为，则等于＿＿

【答案】．

【解析】．利用换元法把整体换掉，转化成二次函数，然结合二次函数的定义域讨论对称轴的位置，进而得到用含有a的式子表达的最小值

【知识点】

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】3

【试题来源】

【试题】若不等式对一切成立，则的取值范围＿＿

【答案】

【解析】1、讨论对称轴相对于给定的定义域的位置关系

2、也可以用分离参数法转化成不等式横恒成立问题，恒成立

【知识点】

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】2

【试题来源】

【试题】函数的值域是＿＿．

【答案】

【解析】可以按象限讨论四个式子的取值

【知识点】

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】2

【试题来源】

【试题】若函数的最小正周期与函数的最小正周期相等，则正实数的值为____

【答案】

【解析】首先用降幂公式把f（x）变形整理，然后利用周期公式求出的值，注意有两个取值。

【知识点】

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】1

【试题来源】

【试题】正三棱柱的侧面展开图是边长分别为和4的矩形，则它的的体积为＿＿＿＿．

【答案】

【解析】注意讨论高的取值为2或者为4

【知识点】

【适用场合】课后一周练习

【难度系数】2

【试题来源】

【试题】过点，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是＿＿＿＿．

【答案】

【解析】注意截距相等的直线可能有不同的情况。

【知识点】

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】2

【试题来源】

【试题】到空间不共面的个点距离相等的平面的个数是＿＿＿＿．

【答案】7

【解析】按平面两端分布的点的个数可以分为两类，一类是一三分布，一类是二二分布，前面一种有种，另外一类有种，所以共有7种。

【知识点】

【适用场合】课后一周练习

【难度系数】5

．

【试题来源】

【试题】设是方程的两根，求．（用的解析式表示）

【答案】

（1）当方程有实根时，

，

；

当；

（2）当方程有虚根时，，

所以

【解析】该题要注意虚根的讨论，这是学生容易遗漏的情况。

【知识点】

【适用场合】课后两周练习

【难度系数】4

【试题来源】

【试题】已知函数和的图像关于原点对称，且，

（1）求函数的解析式；

（2）解不等式；

（3）若在上是增函数，求实数的取值范围．

【答案】

（1）

（2）由

当时，，此时不等式无解

当时，原不等式的解集为

（3）

当时，在上是增函数

当时，二次函数的对称轴方程

1当时，，解得

2当时，，解得综上

【解析】本题讨论的点还是在二次函数的二次系数和对称轴位置

【知识点】

【适用场合】课后一月练习

【难度系数】3

【试题来源】

【试题】已知点，，…，（为正整数）都在函数的图像上，其中是以1为首项，2为公差的等差数列．

（1）求数列的通项公式，并证明数列是等比数列；