初一数学暑假讲义第3讲有理数四则运算教师版.docx
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初一数学暑假讲义第3讲有理数四则运算教师版
定义
示例剖析
有理数加法法则:
1同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加.
2绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数符号,并用较大的绝对值减去..较小的绝对值.
3一个数同0相加,仍得这个数.
3+5=8
_5+3=-(5-3)=-2
—3+0=—3
有理数加法的运算步骤:
法则是运算的依据,根据有理数加法的运算法则,可以得到加法的运算步骤:
1确定和的符号;
2求和的绝对值,即确定是两个加数的绝对值的和或差.
有理数加法的运算技巧:
1分数与小数均有时,应先化为统一形式.
2带分数可分为整数与分数两部分参与运算.
3多个加数相加时,若有互为相反数的两个数,可先结合相加得零.
4若有可以凑整的数,即相加得整数时,可先结合相加.
5若有同分母的分数或易通分的分数,应先结合在一起.
6符号相同的数可以先结合在一起.
有理数加法的运算律:
1两个数相加,交换加数的位置,和不变.
2三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变.
a+b=b+a(加法交换律)
(a+b)+c=a+(b+c)(加法结合律)
有理数减法法则:
减去一个数,等于加上这个数的相反数...
有理数减法的运算步骤:
a—b=a+(—b)(减法法贝U)
1把减号变为加号(改变运算符号)
2把减数变为它的相反数(改变性质符号)
3把减法转化为加法,按照加法运算的步骤进行运算.
有理数加减混合运算的步骤:
1把算式中的减法转化为加法;
2省略加号与括号;
3利用运算律及技巧简便计算,求出结果.
3—0.15—9+5—11=(+3)+(—0.15)十(一9)十(+5)十(一11)它的含义是正3,负0.15,负9,正5,负11的和.
注意:
根据有理数减法法则,减去一个数等于加上它的相反数,因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有加法的运算,即为求几个正数,负数和0的和,这个和称为代数和.为了书与简便,可以把加
号与每个加数外的括号均省略,写成省略加号和的形式.
【例2】计算:
⑴-20:
「15--28-17
(人大附中期中)
-212^32
343
(北京师范大学附属实验)
【解析】⑴-24;⑵2;⑶-3.
【例3】计算:
⑴-7.34-12.7412.347.34
111
⑵3-亠i•5.5i亠■-3—
332
⑶-3〕亠「4|-15|*-7?
23
24
3
□32
⑸6—24416_6.8_3.2
55
1
【解析】⑴_0.4;⑵-7;⑶1;⑷--;(5)9•
2
能力提升
【例4】计算:
-18-
.5,
5「127
[4+(——)]+[(——)+6—]
127712
11+192+1993+19994+199995+1999996+19999997+199999998+1999999999
15119141171
12345678—
26122030425672
11
(丄丄
23
33
44
-100
104
7
添上9+8+7+6+5+4+3+2+1,依次与各数配对相加,得:
【解析】⑴
53|
■-53.■184
-100
1220304256
111222L.b
)(-
45960345
3...33...5859
)••()
659605960
-9—
90
22
)
5960
349
原式=20+200+2X10+2X10+•••+2X10-(9+8+7+6+5+4+3+2+1)
=2222222220-45
=2222222175•原式
1
111-3-
.〔丄皿+丄M-丄〕/+丄〕丄,——
26312520530742'56“7290
11.丄丄一丄一丄一丄」一丄
2612203042567290
一9±_丄丄丄丄丄
2612203042567290
-_9〔_1
5510
=]1-33-5-57-79-9
一9丄一8?
1010
112123
⑸原式二-(2-)(丄訣吕•…
233444
17丄-|9_丄\9—
(丄23-更)
60606060
1
(123侶759)
2
1(159)59
=—X
22
=885
卜:
辱模块二有理数乘除法
定义
示例剖析
有理数乘法法则:
两数相乘,冋号得正,异号
♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦得负,并把绝对值相乘•任何数同0相乘,都得0.
有理数乘法运算律:
1两个数相乘,交换因数的位置,积相等.
2三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等.
3一个数冋两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加.
3x4=12
-3X4=—(3汉4)=—12
七x(_4)=12
ab=ba(乘法交换律)
abc=a(bc)(乘法结合律)a(b+c)=ab+ac(乘法分配律)
有理数乘法法则的推广:
1几个不等于0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数的个数是偶数时,积为正数;
负因数的个数是奇数时,积为负数.(奇负偶正)
2几个数相乘,如果有一个因数为0,则积为0.
3在进行乘法运算时,若有带分数,应先化为假分数,便于约分;若有小数及分数,一般先将小数化为分数,或凑整计算;利用乘法分配律及其逆用,也可简化计算.
在进行有理数运算时,先确定符号,再计算绝对值,有括号的先算括号里的数.
有理数除法法则:
除以一个不等于0的数,等
于乘这个数的倒数;
两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除;
0除以任何一个不等于0的数,都得0.
C•LOVZ13
3p5=3況一=—
55
1
a»b=aL(b式0)
b
有理数除法的运算步骤:
首先确定商的符号,然后再求出商的绝对值.
*2=—2
夯实基础亘
【例5】计算:
/r、f3、,、
⑴-0.2505I70—4⑵_3;I115
*厂I5丿'厂I5丿J9丿V2丿11
【解析】⑴35-:
⑵-9•
10
【例6】计算:
小『11111)
⑴36
^23469J
心〃11丄1),,c、
⑵48
(436612丿'‘
⑶-8tI12—5tI124I12
161616
/、f1)1f1)
⑷-0.25I53.5
',J2丿4'X4丿
【解析】⑴11;⑵-6-;⑶-12-9;(4)0
316
定义
示例剖析
有理数混合运算的运算顺序:
⑴先乘方(下节课学习),再乘除,最后加减;
⑵同级运算,从左到右进行;
⑶如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行.
加减法为一级运算,乘除法为一级运算,乘方及开方(以后学)称为三级运算.
同级运算,按从左到右的顺序进行;不同级运
算,应先算三级运算,然后二级,最后一级;
如果有括号,先算括号里的,有多重括号时,先算小括号里的,再算中括号里的,最后算大括号里的.
运算顺序可以简记为:
从左到右,从咼(级)到低(级),从小(括号)到大(括号)”.
易错点1:
注意运算顺序,先乘除后加减,冋级的从左到右依次运算,有括号的先算括号里的.易错点2:
如果只有乘除的,先确定符号,把所有的数都变为正数进行运算.
【例8】计算:
⑴—仝....1丄八2丄48--1-5
[122623
…20031001
⑵2005X—1001X-
20041002
⑶2008汉200920092009-2009汉200820082008
【解析】⑴£0
20031001
⑵原式=(2004+1)X—(1002—1)X-
20041002
2003,1001
=(2003—1001)+(+)
20041002
2001
=1003
2004
⑶原式二20082009100010001-20092008100010001
-0
【例9】从下面每组数中各取一个数,将它们相乘,那么所有这样的乘积的总和是
第一组:
-5,
1
3丄,4.25,5.75;
3
第二组:
-21,
丄;
3
15
第三组:
2.25,
§,-4.
12
【解析】所有乘积的总和是:
(-5,34.255.75)(-2-)(2.25-4)「-25
3315122727
【例10】⑴用“〉”或“v”填空
①如果ab
c
0,ac:
:
:
0那么b0;
②如果a0,b:
:
;o那么ac0.
bc
⑵如果ac0,bc:
:
:
0,且a(b-c).0,试确定a、b、c的符号.b
【解析】⑴①叮②:
:
:
;
⑵bc:
:
:
0说明b、c异号,那么c:
:
0;
b
又因为ac0,所以a:
:
:
0;
b
因为a(b_c).0,所以b—c:
:
:
0,
进而得b:
:
:
c,且bc:
:
:
0,
所以b:
:
:
0,c0.
【例11】⑴若19a98^-0,则ab是()
D.非负数
A.正数B.非正数C.负数
⑷如果4个不同的正整数m,n,p,q满足(7-m)(7-n)(7-p)(7-q)=4,
那么m•npq的值是多少?
【解析】⑴B.由19a•98b=0,得9a金b,可知a、b的符号相反或者a=b=0,故有ab_0;
⑵B.三数乘积为1,则要么为3正,要么为1正2负;分析可知为1正2负.
⑶A.a,b,cd4个数分别是_1,3,所以abcd0;
⑷(7-m)(7-n)(7-p)(7-q)=1(-1)2(-2),
所以m,n,p,q这4个数分别为5,6,8,9,
所以mnpq=28.
1o2c6/
7-3-92-
【例12】
计算4->(0.125+7).
1261°
0.125(7—3—)92
4375
1261
【解析】设a=73—,b=0.125,c=92—,贝y
4375
原式=-—>b+—)
ab+ca
aabc
=X-——
abca
=1.
【点评】此题横看纵看都显得比较复杂,但若仔细观察,整个式子可分为三个部分:
1261
73—,0.125,92-,因此,采用变量替换就大大减少了计算量.
4375
知识模块一有理数加减法课后演
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