历年高考数学真题精选29 直线与平面所成的角.docx
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历年高考数学真题精选29直线与平面所成的角
高考数学真题精选(按考点分类)
专题29直线与平面所成的角(学生版)
一.解答题(共15小题)
1.(2019•上海)如图,在长方体中,为上一点,已知,,,.
(1)求直线和平面的夹角;
(2)求点到平面的距离.
2.(2019•天津)如图,在四棱锥中,底面为平行四边形,为等边三角形,平面平面,,,.
(Ⅰ)设,分别为,的中点,求证:
平面;
(Ⅱ)求证:
平面;
(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值.
3.(2019•浙江)如图,已知三棱柱,平面平面,,,,,分别是,的中点.
(Ⅰ)证明:
;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的余弦值.
4.(2018•天津)如图,在四面体中,是等边三角形,平面平面,点为棱的中点,,,.
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)求异面直线与所成角的余弦值;
(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值.
5.(2018•天津)如图,且,,且,且,平面,.
(Ⅰ)若为的中点,为的中点,求证:
平面;
(Ⅱ)求二面角的正弦值;
(Ⅲ)若点在线段上,且直线与平面所成的角为,求线段的长.
6.(2018•浙江)如图,已知多面体,,,均垂直于平面,,,,.
(Ⅰ)证明:
平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成的角的正弦值.
7.(2018•新课标Ⅰ)如图,四边形为正方形,,分别为,的中点,以为折痕把折起,使点到达点的位置,且.
(1)证明:
平面平面;
(2)求与平面所成角的正弦值.
8.(2017•上海)如图,直三棱柱的底面为直角三角形,两直角边和的长分别为4和2,侧棱的长为5.
(1)求三棱柱的体积;
(2)设是中点,求直线与平面所成角的大小.
9.(2017•浙江)如图,已知四棱锥,是以为斜边的等腰直角三角形,,,,为的中点.
(Ⅰ)证明:
平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.
10.(2017•天津)如图,在四棱锥中,平面,,,,,,.
(Ⅰ)求异面直线与所成角的余弦值;
(Ⅱ)求证:
平面;
(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值.
11.(2016•浙江)如图,在三棱台中,平面平面,,,,.
(Ⅰ)求证:
平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的余弦值.
12.(2016•新课标Ⅲ)如图,四棱锥中,底面,,,,为线段上一点,,为的中点.
(1)证明:
平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
13.(2016•天津)如图,四边形是平行四边形,平面平面,,,,,,,为的中点.
(1)求证:
平面;
(2)求证:
平面平面;
(3)求直线与平面所成角的正弦值.
14.(2015•天津)如图,已知平面,,,,,,点和分别为和的中点.
(Ⅰ)求证:
平面;
(Ⅱ)求证:
平面平面;
(Ⅲ)求直线与平面所成角的大小.
15.(2015•新课标Ⅱ)如图,长方体中,,,,点,分别在,上,,过点,的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
历年高考数学真题精选(按考点分类)
专题29直线与平面所成的角(教师版)
一.解答题(共15小题)
1.(2019•上海)如图,在长方体中,为上一点,已知,,,.
(1)求直线和平面的夹角;
(2)求点到平面的距离.
解:
(1)依题意:
平面,连接,则与平面所成夹角为,
,,
△为等腰三角形,
,
直线和平面的夹角为,
(2)(空间向量),如图建立坐标系,
则,0,,,4,,,0,,,0,,
,4,,,4,,,4.,
设平面的法向量,,,
由,可得,1,,
点到平面的距离.
2.(2019•天津)如图,在四棱锥中,底面为平行四边形,为等边三角形,平面平面,,,.
(Ⅰ)设,分别为,的中点,求证:
平面;
(Ⅱ)求证:
平面;
(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值.
证明:
(Ⅰ)连结,由题意得,,
又由,得,
平面,平面,
平面.
(Ⅱ)取棱中点,连结,
依题意得,
又平面平面,平面平面,
平面,
又平面,,
又,,
平面.
解:
(Ⅲ)连结,由(Ⅱ)中平面,
知是直线与平面所成角,
是等边三角形,,且为中点,
,又,
在中,.
直线与平面所成角的正弦值为.
3.(2019•浙江)如图,已知三棱柱,平面平面,,,,,分别是,的中点.
(Ⅰ)证明:
;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的余弦值.
方法一:
证明:
(Ⅰ)连结,,是的中点,
,
又平面平面,平面,
平面平面,
平面,,
,,,
平面,.
解:
(Ⅱ)取中点,连结、,则是平行四边形,
由于平面,故,
平行四边形是矩形,
由(Ⅰ)得平面,
则平面平面,
在平面上的射影在直线上,
连结,交于,则是直线与平面所成角(或其补角),
不妨设,则在△中,,,
是的中点,故,
,
直线与平面所成角的余弦值为.
方法二:
证明:
(Ⅰ)连结,,是的中点,
,
又平面平面,平面,
平面平面,
平面,
如图,以为原点,在平面中,过作的垂线为轴,
,所在直线分别为,轴,建立空间直角坐标系,
设,则,0,,,,,,2,,
,,
由,得.
解:
(Ⅱ)设直线与平面所成角为,
由(Ⅰ)得,,2,,
设平面的法向量,,,
则,取,得,
,
直线与平面所成角的余弦值为.
4.(2018•天津)如图,在四面体中,是等边三角形,平面平面,点为棱的中点,,,.
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)求异面直线与所成角的余弦值;
(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值.
(Ⅰ)证明:
由平面平面,平面平面,,
得平面,故;
(Ⅱ)解:
取棱的中点,连接,,
为棱的中点,故,
(或其补角)为异面直线与所成角,
在中,,故,
平面,故,
在中,,故,
在等腰三角形中,,可得.
异面直线与所成角的余弦值为;
(Ⅲ)解:
连接,为等边三角形,为边的中点,
故,,
又平面平面,而平面,
故平面,则为直线与平面所成角.
在中,,
在中,.
直线与平面所成角的正弦值为.
5.(2018•天津)如图,且,,且,且,平面,.
(Ⅰ)若为的中点,为的中点,求证:
平面;
(Ⅱ)求二面角的正弦值;
(Ⅲ)若点在线段上,且直线与平面所成的角为,求线段的长.
(Ⅰ)证明:
依题意,以为坐标原点,分别以、、的方向为轴,
轴,轴的正方向建立空间直角坐标系.
可得,0,,,0,,,2,,,2,,
,0,,,1,,,0,,,,,,0,.
设为平面的法向量,
则,不妨令,可得;
又,可得.
又直线平面,
平面;
(Ⅱ)解:
依题意,可得,,.
设为平面的法向量,
则,不妨令,可得.
设为平面的法向量,
则,不妨令,可得.
因此有,于是.
二面角的正弦值为;
(Ⅲ)解:
设线段的长为,,则点的坐标为,0,,
可得,而为平面的一个法向量,
故.
由题意,可得,解得,.
线段的长为.
6.(2018•浙江)如图,已知多面体,,,均垂直于平面,,,,.
(Ⅰ)证明:
平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成的角的正弦值.
证明:
平面,平面,
,
,,,
,
又,,
,
同理可得:
,
又,
平面.
解:
取中点,过作平面的垂线,交于,
,,
,,,,
以为原点,以,,所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示:
则,,,,0,,,0,,,,,
,,,,0,,,,,
设平面的法向量为,,,则,
,令可得,1,,
.
设直线与平面所成的角为,则.
直线与平面所成的角的正弦值为.
7.(2018•新课标Ⅰ)如图,四边形为正方形,,分别为,的中点,以为折痕把折起,使点到达点的位置,且.
(1)证明:
平面平面;
(2)求与平面所成角的正弦值.
(1)证明:
由题意,点、分别是、的中点,
则,,
由于四边形为正方形,所以.
由于,,则平面.
又因为平面,所以:
平面平面.
(2)在平面中,过作于点,连接,
由于为面和面的交线,,
则面,故.
在三棱锥中,可以利用等体积法求,
因为且,
所以,
又因为,
所以,
所以,
由于,则平面,
故,
因为且面,
所以面,
所以.
设正方形边长为,则,
在中,,
所以,
故,
又因为,
所以,
所以在中,,
即为与平面所成角的正弦值为:
.
8.(2017•上海)如图,直三棱柱的底面为直角三角形,两直角边和的长分别为4和2,侧棱的长为5.
(1)求三棱柱的体积;
(2)设是中点,求直线与平面所成角的大小.
解:
(1)直三棱柱的底面为直角三角形,
两直角边和的长分别为4和2,侧棱的长为5.
三棱柱的体积:
.
(2)连结,
直三棱柱的底面为直角三角形,
两直角边和的长分别为4和2,侧棱的长为5,是中点,
底面,,
是直线与平面所成角,
,
直线与平面所成角的大小为.
9.(2017•浙江)如图,已知四棱锥,是以为斜边的等腰直角三角形,,,,为的中点.
(Ⅰ)证明:
平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.
证明:
(Ⅰ)取的中点,连结,,
为的中点,,
在四边形中,,,为中点,
,平面平面,
平面,
平面.
解:
(Ⅱ)连结,过作于,连结,
,,
推导出四边形为矩形,,
平面,又,
平面,,
设,由,得,
,
,,
又平面,,
平面,即点到平面的距离为,
,到平面的距离应该和平行且相等,为,
为中点,到平面的垂足也为垂足所在线段的中点,即中位线,
到平面的距离为,
在,
由余弦定理得,
设直线与平面所成角为,则.
10.(2017•天津)如图,在四棱锥中,平面,,,,,,.
(Ⅰ)求异面直线与所成角的余弦值;
(Ⅱ)求证:
平面;
(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值.
【解答】解:
(Ⅰ)如图,由已知,
故或其补角即为异面直线与所成的角.
因为平面,所以.
在中,由已知,得,
故.
所以,异面直线与所成角的余弦值为.
证明:
(Ⅱ)因为平面,直线平面,
所以.
又因为,所以,
又,所以平面.
解:
(Ⅲ)过点作的平行线交于点,连结,
则与平面所成的角等于与平面所成的角.
因为平面,故为在平面上的射影,
所以为直线和平面所成的角.
由于,,故,
由已知,得.又,故,
在中,可得.
所以,直线与平面所成角的正弦值为.
11.(2016•浙江)如图,在三棱台中,平面平面,,,,.
(Ⅰ)求证:
平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的余弦值.
【解答】解:
(Ⅰ)证明:
延长,,相交于一点,如图所示:
平面平面,且;
平面,平面;
;
又,,;
为等边三角形,且为的中点;
,且;
平面;
(Ⅱ)平面;
是直线和平面所成的角;
为中点,且;
为的中位线,且;
;
又;
在中,,;
即直线和平面所成角的余弦值为
12.(2016•新课标Ⅲ)如图,四棱锥中,底面,,,,为线段上一点,,为的中点.
(1)证明:
平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【解答】
(1)证明:
法一、如图,取中点,连接,,
为的中点,
,且,
又,,且,
,且,
则,且,
四边形为平行四边形,则,
平面,平面,
平面;
法二、
在中,过作,垂足为,连接,
在中,由已知,,得,
,
,则,
在中,
,,
由余弦定理得:
,
,
而在中,,
,即,
,则平面.
由底面,得,又,
,则平面.
,
平面平面,则平面;
(2)解:
在中,由,,,得.
,则,
底面,平面,
平面平面,且平面平面,
平面,则平面平面.
在平面
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