普通高等学校招生全国统一考试数学试题江苏卷附解答.docx
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普通高等学校招生全国统一考试数学试题江苏卷附解答
2003年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数学试题
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.如果函数的图象与x轴有两上交点,则点(a,b)在aOb平面上的区
域(不包含边界)为()
2.抛物线的准线方程是y=2,则a的值为()
A.B.-C.8D.-8
3.已知()
A.B.-C.D.-
4.设函数则x0的取值范围是()
A.(-1,1)B.(-1,+∞)
C.(-∞,-2)∪(0,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
5.O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足
则P的轨迹一定通过△ABC的()
A.外心B.内心C.重心D.垂心
6.函数的反函数为()
A.B.
C.D.
7.棱长为a的正方体中,连结相邻面的中心,以这些线段为棱的八面体的体积为()
A.B.C.D.
8.设曲线在点处切线的倾斜角的取值范
围为,则P到曲线对称轴距离的取值范围为()
A.[]B.C.D.
9.已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列,则
|m-n|=()
A.1B.C.D.
10.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(,0)直线y=x-1与其相交于M、N两点,MN中点的横坐标为,则此双曲线的方程是()
A.B.C.D.
11.已知长方形四个顶点A(0,0),B(2,0),C(2,1)和D(0,1).一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后,依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4(入射角等于反射角).设P4的坐标为(x4,0).若1 A.B.C.D. 12.一个四面体的所有棱长都为,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为() A.3πB.4πC.πD.6π 第Ⅱ卷(非选择题共90分) 二、填空题: 本大题共4小题,每小题4分,把答案填在题中横线上. 13.展开式中x9的系数是 14.某公司生产三种型号的轿车,产量分别为1200辆,6000辆和2000辆,为检验该公司的产品质量,现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验,这三种型号的轿车依次应抽取 ,,辆 15.某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6个部分 (如图).现要栽种4种不同颜色的花,每部分栽种一种 且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法 有种.(以数字作答) 16.对于四面体ABCD,给出下列四个命题 ①若AB=AC,BD=CD,则BC⊥AD.②若AB=CD,AC=BD,则BC⊥AD. ③若AB⊥AC,BD⊥CD,则BC⊥AD.④若AB⊥CD,BD⊥AC,则BC⊥AD. 其中真命题的序号是.(写出所有真命题的序号) 三、解答题: 本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分) 有三种产品,合格率分别是0.90,0.95和0.95,各抽取一件进行检验. (Ⅰ)求恰有一件不合格的概率;(Ⅱ)求至少有两件不合格的概率.(精确到0.001) 18.(本小题满分12分) 已知函数上R上的偶函数,其图象关于点对称,且在区间上是单调函数,求和ω的值. 19.(本小题满分12分) 如图,直三棱柱ABC—A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,侧棱AA1=2,D、E分别是CC1与A1B的中点,点E在平面ABD上的射影是△ABD的垂心G. (Ⅰ)求A1B与平面ABD所成角的大小(结果用反三角函数值表示); (Ⅱ)求点A1到平面AED的距离. 20.(本小题满分12分) 已知常数,向量经过原点O以为方向向量的直线与经过定点A(0,a)以为方向向量的直线相交于点P,其中试问: 是否存在两个定点E、F,使得|PE|+|PF|为定值.若存在,求出E、F的坐标;若不存在,说明理由. 21.(本小题满分12分) 已知为正整数. (Ⅰ)设; (Ⅱ)设 22.(本小题满分14分) 设如图,已知直线及曲线C: ,C上的点Q1的横坐标为 ().从C上的点Qn(n≥1)作直线平行于x轴,交直线l于点,再从点作直线平行于y轴,交曲线C于点Qn+1.Qn(n=1,2,3,…)的横坐标构成数列 (Ⅰ)试求的关系,并求的通项公式; (Ⅱ)当时,证明; (Ⅲ)当a=1时,证明 2003年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题(江苏卷)答案 一、选择题: 本题考查基本知识和基本运算,每小题5分,满分60分. 1.C2.B3.D4.D5.B6.B7.C8.B9.C10.D11.C12.A 二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算,每小题4分,满分16分. 13.14.6,30,1015.12016.①④ 三、解答题 17.本小题要主考查相互独立事件概率的计算,运用数学知识解决问题的能力,满分12分. 解: 设三种产品各抽取一件,抽到合格产品的事件分别为A、B和C. (Ⅰ), 因为事件A,B,C相互独立,恰有一件不合格的概率为 答: 恰有一件不合格的概率为0.176. 解法一: 至少有两件不合格的概率为 解法二: 三件产品都合格的概率为 由(Ⅰ)知,恰有一件不合格的概率为0.176,所以至有两件不合格的概率为 答: 至少有两件不合的概率为0.012. (18)在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识,以及分析问题和推理计算能力,满12分分 解: 由 19.本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识,同时考查空 间想象能力和推理运算能力.满分12分. 解法一: (Ⅰ)解: 连结BG,则BG是BE在面ABD的射影,即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角. 设F为AB中点,连结EF、FC, (Ⅱ)连结A1D,有 设A1到平面AED的距离为h, 则 解法二: (Ⅰ)连结BG,则BG是BE在面ABD的射影,即∠A1BG是A1B与平ABD所成的角. 如图所示建立坐标系,坐标原点为O,设CA=2a, 则A(2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1) (Ⅱ)由(Ⅰ)有A(2,0,0)A1(2,0,2),E(1,1,1),D(0,0,1) (Ⅰ)当时,方程①是圆方程,故不存在合乎题意的定点E和F; (Ⅱ)当时,方程①表示椭圆,焦点 (Ⅲ)当方程①也表示椭圆,焦点为合乎题意的两个定点. (21)本小题主要考查导数、不等式证明等知识,考查综合运用所数学知识解决问题的能力,满分12分. 证明: (Ⅰ)因为, 所以 (Ⅱ)对函数求导数: ∴ 即对任意 22.本小题主要考查二次函数、数列、不等式等基础知识,综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力,满分14分. (Ⅰ)解: ∵ ∴∴ ,∴ (Ⅱ)证明: 由a=1知∵∴ ∵当 ∴ (Ⅲ)证明: 由(Ⅰ)知,当a=1时, 因此 =
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