近世代数基础课后答案docx.docx
- 文档编号:12342453
- 上传时间:2023-04-18
- 格式:DOCX
- 页数:67
- 大小:251.59KB
近世代数基础课后答案docx.docx
《近世代数基础课后答案docx.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《近世代数基础课后答案docx.docx(67页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
近世代数基础课后答案docx
第一章基本概念
§1•集合
1.BczA9但F不是/的真子集,这个情况什么时候才能出现?
解由题设以及真子集的定义得,力的每一个元都属于B,因此AczB.于是由
BuAAczB
得A-B•所以上述情况在A^B时才能出现.
2.假定4uB,=?
解(i〉由于ZuB,所以力的每一个元都属于
即兄的每一个元都是虫和3的共同元,因而由交集的定义得
A<^.A{\B
但显然有
yinBuA
所以
虫门R=A
(ii)由并集的定义,A\)B的每一元素都属于/和号之一)但AuB,所以的每一元素都属于B
另一方面BczA{]B,所以=
§2•映射
!
•A={1,2,…,100}•找一个AxA到川的映
射・
解用(66)表示AxA的任意元素,这里Q和b都属于力・按照定义做一个满足要求的映射即可,例如 就是这样的一个,因为。 替/x力的任何元亲(a,坊规定了一个唯一的象。 ,而门 读者应该白己再找几个AxA到力的映射.• 2.在你为习题1所找到的映射之下,是不是力的每一个元都是AxA的一个元的象? 瞬在上面给出的映射①之下,虫的每一个元素都是AxA的一个元的象,因为3,b)中的a可以是力的任一元素. 你自己找到的映射的情况如何? 有没冇出现/的元素不都是象的情况? 假如没有,找一个这样的映射. §3・代数运算 1.虫二{所有不等于零的偶数}•找一个集合D,使得普通除法是月x虫到D的代数运算.是不是找得到一个以上的这样的D? 解一个不等于零的偶数除一个不筹于零的偶数所得结果总是一个不等于零的有理数•••… •・.T・ 所以取 D={所有不等于零的有理数}普通除去就是一个AxA到D的代数运算。 可以找得到一个以上的满足耍求的D.读者可以自己找几个. 2.b,c}.规定虫的两个不同的代数运算・ 解(i〉我们用运算表来给出力的一个代数运算: o abc a aaa b aaa c aaa 按照这个表9通过。 ,对于/的任何两个元素都可以得出一个唯一确定的结果a来,而Q仍属于所以。 是力的一个代数运算. 这个代数运算也可以用以下方式來加以描述 o: (x,y)a=xoy对一切%,y^A (15)同理 O: (工,V)=xoy对一切%,y^A 也是虫的一个代数运算.读者可用列表的方法来给出这个代数运算• 读者还应自己给出几个虫的代数运算. §4.结合律 1-A={所有不等于零的实数}•o是普通除法: aob= 这个代数运算适合不适合结合律? 解这个代数运算。 不适合结合律・例如, 当 0=4b=c=2 时 (aob)oc=(4o2)o2=豆o2=y=1 所以当a,b和c取上述值时 (ao6)o 丰ao(boc) 2.力={所有实数}.代数运算 ot(a,fe)a+26=aob 适合不适合结合律? 解读者可以用解上一题的方法来证明,所给代数运算不适合结合律. 3.^4={a,6,c}.由表 abc ••••••••・■ I aabc bbca ccQb 给出的代数运算适合不适合结合律? 解所给代数运算。 适合结合律.为了得出这个结论, 需要对元素bfc的27(=3^种排列(元素允许重复 出现)加以验证・但是利用元素a的特性,可以把验证简化.仔细考察运算表,我们发现以下规律*对集合X的任意元素兀来说,都有 aox=xoa-x 由此得出,对于有a出现的排列,结合律都成立.这一点读者可以自己验证.还剩下Q不出现的排列.这样的排列共有8(=23)种.我们在这里验证4种,其余4种读者可以自己验证. (bob)ob=cob=a bo(bob)=boc=a 所以(bob)ob=bo(bob) (bob)oc=coc=b bo(boc)=boa=6 所以(bob)cc=bo{boc) (hoc)ob=aob-b bo(cob)=boa-b 所以(boc)ob-bo(cob) (boc)OC=QQC=c bo(coc)=bob=c 所以(boc)oc=bo(coc) §5.交换律 K/={所有实数人。 是普通减法「 *<«•<八* aob=a-b这个代数运算适合不适合交换律? 解容易验证,当0=1,fc=2时^・aobboa 所以这个代数运算不适合交换律. 6,c,d}.由表 ab bcl 所给的代数运算适合不适合交换律? 解要冋答这个问题,只须考察一下运算表,看一看关于主对角线对称的位置上,有没有不相同的元素. §6•分配律 假定G),㊉是4的两个代数运算,并且㊉适合結合律, O,㊉适合两个分配律.证明 (^10^1)©(0)0^2)®(a20&a) =(a1G6])@(a20&1)@(a1G62)®(a2Ob2) 解(alGt>1)©(aiO6i)㊉(sObjeKsO乂) =6001©&2)+a2O(6l(+)62) =(5㊉a? )O(&i®fr2) =(<2i®(72)O^xt+Xa^Gi)Qbz k(aiO6i).®(azQbL)(±)(a2)®(azQbz)、 §7.—一映射.变换 1 ••一个N与万间的一一映射. 解①: XX对一切 是一个£与7? 间的——映射. 首先9给了任一工W/,即任一大于0的实数兀,1昨是-个实数,即l&r€A9并且lgi是唯一确定的,所以⑦是一个-4到"7的映射•..•- 其次,对于任一万,即任一实数y,ioy-是-个大于o的实数,.而在⑦之下, x—igx=igi=y所以c是一个力到7的満射. 最后,若是",工20儿并旦孙*巧,那么Ig心知g®,所以①是一个力到万的单射• 这样,①是一个必与刁间的映射.• 若^>1 是一个虫到2的满射• 首先,0替每一工规定了一个唯一确定的象0(对, 而o所以。 是一个乂到7的映射•其次,在⑦之下,刁的每一元万都是力中一个元,即万本身的象,所以0是一个M到刁的满射. 读者可以证明: 都是乂到必的满射._ 3.假定①是虫与万间的一个——映射,。 是力的一个 0■工0(0门=? ⑦(。 )]=? 若0是N的一个一一变换,这两个问题的回答又该是什解当⑦是.4与万间的一个一一映射时, 0T[⑦(a)]=a未必有意义. 若①足/的一个——变换,那么 0-3[0(a)J=a(a)=a 读者可以做一做以下补充习题. (i)A-{所有二0的整数} 万={所有>0的整数} 证明 0: xx+1对一切咒 是H与yl间的一个映射. (ii)A={所有20的实数} A={所有N0的实数}利用(i)题找一个虫与刁间的-一映射. §8•同态 1・力={所有实数咒}•虫門代数运算是普通乘法. 以下映射是不是Z到力的一个子集万的同态满射? • x~^\x\b)x-*2xc)x-*x2 x—x 取万二{所有=0的实数几则ACZA, Q) d) 解a) 而 ①1: 是力到N的一个同态满射・因为,对任一实数咒,|戈|是一个唯一确里的20的实数,所以0」是虫到万的一个映射,若是豆€7,那么iEA, 而 (可工|另[二金 所以01是虫到万的一个满射;对任意%,yeA9 ①1Uy)=lx>|=\x\]y\=(P1(x)(Pl(y)所以0! 是/到灭的一个同态满射. 6)当%取遍一切实数值时,2“也取遍一切实数值.读者容易证明 是虫到H的一个满射,但02不是力到虫的一个同态满射.因为: 取虫的数2和3,那么 ①2(2・3)=©2(6)=12*^2(2厂%(3) c)取7=.{所有NO的实数几那么万u虫•读者可以自己证明 是虫到万的一个同态满射. d)当兀取遍一切实数值时,-%也取遍一切实数值•容易证明 <^41■X-X=(p4(X)久€/ 是乂到力的-个满射,偵不是一个同态满射••_ _2•-假定力和万妙于代数运算。 和孑来说迥态,而万和万对于企数运算5和厶来说同态•证明,力和肓对于代数运算。 和3说同态• 解由题设存在/到万的一个同态满射_ ^1: a—厂=O](a)EA 并且对于力的任意洌个元素。 和b来说 ①i(%)=ao&= >! (a)o3(b)同样存在万孕万的一个同态满射_— ©2: Q7Q=02(a)aGA,aEA 并且对于万的汪总两个些2和5来说 02(ao6)—ao5= 如下圮义 ①xaT©2[0i(a)Z)a€■A 那么①是力到3? 的一个同态满射・因为: (i)_由于0】和是同态满射,所以对于任何a^A9◎(q)是万的八个唯一确定的元素,遁。 2[⑦」a门是万的一个唯一确定的元素,因而⑦是加到黃的一个映射• (H) 素 由于同一原因,对于任何盲令肓,存在一个元使①2(万)=石\并且存在一个元素Q€虫,使几因此在①之下, [⑦](。 门=⑦2(a)=a 而0是/到的一个满射. (iii)由于同一原因,对于/的任何两个元索Q和b&{aob)=⑦2[①1=①纟匸⑦I(a)u - >2C^L(^)Jo >2L^i<6)] =(a)oCp(6) 而C是/到7的一个同态满射・ §9•同构、自同构 K{a9b9c}.代数运算。 由下表给定’ 找出所有力的一一变换,对于代数运算。 来说,这些——变换是否都是M的自同构? N共有6(=31)个…一变换,即 52 afa bfbcfc 022 a7a b—ccfb ①3, a—b ibfcc〜Q ①4? Qfbb_ac〜c •g—>c6—ctq Qfcb—acfb 对于代数运算。 来说,0i和©4是力的自同构,其余4个都不是.这是因为,若是一个力的自同构,那么对虫的任何元素%和,,将有 (1)①6(xo^y)=4(c)=0;(^)o4{y)—c 因而 (2)c)=c 反过来,若 (2)成立,那么 (1)也成立• 2.A-(所有有理数}•找一个虫的对于普通加法来说的自同构.(映射一乂除外)•- 解设上是任一有理数,且任丰Q,k^l. 那么 5 是力的一个对于加法来说的自同构,并且①显然不是映射—災・⑦是虫的一个——变换,读者可以自已证明。 令兀和,是力的任意两个元素,那么 工+$f①〈r+y)=k(x+y)kxky(x)+ 读者可以试证,X只有以下对于加法来说的自同构 任是#0的有理数 _3.{所有有理数}的代数运算是普通加法. 万={所有#0的有理数门万的住数运算是普通乘法.证明,对于给的代数运算来说,£与刁间没有同构映射存在. (先决定0在一个同构映射下的象.) 解设⑦是虫与虫间对于所给代数运算的一个同构映射,而0(0)-Oe那么由于①是同构映射,育 (P(O)= (0)=a 但同构映射是单射,所以得于是有但石CTJ,所以a¥=0,因而a—1=0,即«=1<这样 0(0)=1 (1) 由于0是满射,另的元-1必是/的某一元a的象' <2>(a)=: -1 由是得 0(2a)(a^a)-(a)CP(^)=(-1)2=1于是由0是单射,得2a=0,即。 =0,而0(0)=-1,与 (1)矛盾.这说明,在力与万间对所给代数运算来说不存在同构对应. 渎者可以用以下方法得出本题的另一证明'设。 (a)=2•考虑0(・;+号) §10.等价关系与集合的分类 1.4二{所有实数}•力的元间的关系〉以及二是不是等价关系? 解>不是等价关系■•这个关系不满足反射律z不成立. 二也不是等价关系,它不满足对称律,例如,3>2, •• 但2>3不成立. 2・有人说,假如一个关系/? 适合对称律和推移律,那么它也适合反射律.他的推论方法足」因为7? 适合对称律 a7? bbRa 因为尺适合推移律 aRb,bRa=>aRa 这个推论方法有什么错误? 解这个推论方法的错误在于,对于“等价关系”定义的陈述没有准确地理解・ aRb=>bRQ 的意思是: 由QRb可得bRJ假如对于某一元素",找不到任何元素b,使得aRb成立,那么就得不出bRo,因而也就得不出aRa.例如x令力是藥数集,如下定义虫的元间的关系7? : QFb当且仅当ab>0. R显然满足对称律和推移律,但R不满足反射律,因为 0/? 0 不戍立. 3.仿照例3规定整数间的关系 Q三h(—5) 证明你所规定的是一个等价关系,并且找出模-5的剩余类。 解可以完全仿照例3来做. 第二章群论 §1・群的定义 1・全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群? 解不是,因为習•通减法不适合结合律. 例如 3-(2-1)=3-1=2(3-2)-1=1-I=o (2—7)#(3—2)—1 2.举一个有两个元的群的例. 解令G={匕,a},G的乘法由下表给出 ! ca 「一 eea 首先,容易验证,这个代数运算满足结合律 〈1〉(*>')名=%(»*)X,y9zQQ 因为,由于。 Q=ae=a,若是元素e在(丄)中出现,那么 (1)成立•■(参考第一章,§4,习题3.)若是£不在 (1)中出现,那么有 ••••・••• 其次,G有左单位元,就是£)e有左逆元,就是 a有左逆元,就是所以G耀一个群. 读者可以考虑一下,以上挂算表是如何作出的. 3.证明,我们也可以用条件I,II以及下面的条件IT,V,来做群的定义= NrG里至少存在一个右逆元q",能让 ae=a 对于G的任何元。 都戒立} W对于G的每一个元a,在G里至少存在一个右逆元a",能让 aa'1=e 解这个题的证法完全平行于本节中关于可以用条件I,I,IV,V来做群定义的证明,但读者一定要自己写-下・ §2.单位元、逆元、消去律 1・若群G的每一个元都适合方程护二勺那么G是交换群. 解令Q和b是G的任意两个元.由题设 (a6)(a6)=(a6)2=e 另一方面 (ob)(6a)=abza=aea=a2e 于是有(ab)(ab)=(ab)(ba)e利用消去律,得 ab=ba 所以G是交换群. 2.卷一个莆隈鏈离无于讷元芮个数一定是偶数. 解令G是一个宥限时皱G有元a而a的阶n>2. 考我们有 a"(o"、)n=ee(a~! )"=(a'l)M=e 设正整数而(a")E=£,那么同上可得沪与并是a的阶的假设矛盾.这样,加也是a"的阶,易见a~l^a.否则 a2=aa^1=e 与n>2的假设矛盾.这样,我们就有一对不同的阶大于2的元a和a". 设G还有元几bi,并且b的阶大于2・ 那么b"的阶也大于2,并且b■'丰b.我们也有丰a.否则 e=b_'b=aa"1=b_】a_1 消去6“得b-a*1,与假设矛盾.同样可证这样,除Q和旷】外,又有一对不同的阶大于2的元£>和犷】. 由于G足有限群,而G的阶大于2的元总是成对出现,所以G里这种元的个数一定是偶数• 3.假定G是一个阶是偶数的有限群.在O里阶等于2 的元的个数一定是奇数. G只有一个阶是1的元,就是单位元£.于是由于G的阶是偶数,得G里阶等于2的元的个数是奇数. 4.一个有限群的每一个元的阶都有限• 解令G是一个有限群而。 是G的任一元素,那么 6ci29a3,y5" 不能都不相等.因此存在正整数二iW>i,使a'=M・用ar乘两边,得…" (1).(jLi=$ 这样,存在正整数: 便 (1)成立.因此也存在最小的正整数",使犷二内这就是说,元。 的阶是〃• §4.群的同态 假定在两个群G和石的一个同态映射之下,a-Na与匚的阶是不是一定相同? 解不一定.例如,令G是本章§1中例2所给出的群而0是该节中例1所给出的群.那么读者容易证明(Pl舁ig兄是G的任意元 是G到0的一个同态映射.但G的每一个元"士0都是无限阶的,而g的阶是1• §5・变换群 1.假定r是集合力的一个非变换.厂会不会有一 个左逆元广】便得r^r=C? 解可能有•例如令虫={所有正整数},则 r•1—1.n-^n-1n>l 显然是/的一个非——变换.而虫的变换r"1•+1n(^A 就能使厂%=£•^ 18 房间看 假定.4是所有实数作成的集合。 证明,所有虫的可以写成 x-^ax^rba和6是有理数,a护0 形式的变换作成一个变换群.这个群龛不是一个交换群? 解令G是由一切上述变换作成的集合・考察G的任何两个元素 2x-^ox+b。 和b是有埋数,a=^0 兀x-*cx4-dC和d炬有理数,(7^=0 那么 (ax+6)z=c(ox-bb)+d =(ca)x+(cb+d) 这里cQ和cb+J都是有理数,并且ca¥=0. 所以t久仍屈于G• 结合律对一般变换都成立,所以对上述变换也成立.单位变换 Ei 属于G・ 容易验证,疋在G中有逆,即 因此G作成一个变换群. 但G不足一个交换群.令 Tj: 力—6+1 ^2: £-*2龙 那么 X—(XT1)T2=(工+1)匕2=2x+2 r2r1: =(2工)G=2r十1 3.假定S是一个集合厦的所有变换作成的集合.我们暂时仍用符号 r: a——af=t(a) 来说明一个变换r・证明,我们可以用7^2: a—(a)]=r)r2(a) 来规定一个S的乘法,这个乘法也适合结合律并且对于这个乘法来说,£还是S的单位元・ 解令6和一是S的任雹两个元而。 是力的任意一个元・那么5(Q)和5匚珂(。 )]都是Z的唯一确定的元.因此如上规定的仍是S的一个唯一确定的元而我们得到了一个S的乘法. 令心也是S的一个任意元,那么
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 近世 代数 基础 课后 答案 docx
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)