第6章重积分练习题.docx
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第6章重积分练习题
第6章重积分练习题
习题6.1
1.设平面上的一块平面薄片D,薄片上分布有密度为的电荷,且在D上连续,请给出薄片上电荷的二重积分表达式.
2.由平面,,,围成的四面体的体积为,试用二重积分表示.
3.由二重积分的几何意义计算,.
4..,写出的累次积分式.
5.交换下列累次积分的积分顺序:
⑴.⑵.
6.计算下列二重积分:
⑴..⑵..
⑶..⑷..
7.运用极坐标变换计算下列二重积分:
⑴..
⑵..
⑶.,,.
8.现有一平面薄片,占有平面上的区域D,在点处的面密度为,且在D上连续,求该平面薄片的重心表达式.
9.学习(或复习)物体转动惯量的相关物理知识.探究均匀薄片转动惯量的二重积分表达式,然后计算斜边长为的等腰直角梯形关于一直角边的转动惯量.
习题6.2
1.在直角坐标系中计算下列三重积分:
⑴..
⑵.由平面,,,围成.
2.在柱面坐标系下计算三重积分,其中由旋转抛物面及平面所围成的立体.
3.在球面坐标系中计算三重积分,.
4.运用三重积分求半径为的球体的体积.
5.运用三重积分求球面和锥面(以轴为轴,顶角为)所围部分的体积.
6.求曲面围成部分的体积.
习题6.3
1.求球面被平面和所夹部分的面积.
2.一段铁丝刚好围成三角形,其中、、,三边上点处的线密度为,求这段铁丝的质量.
3.求,为圆锥螺线.
4.求,其中为圆周.
5.计算,其中是由点沿上半圆到.
6.,在抛物线上,一质点从移动到沿上.在点处所受的力等于该点到原点的距离,且指向原点,求力所作的功半圆.
7.利用格林公式计算:
,为区域,的正向边界曲线.
8.计算,其中为圆周.
9.计算球面的质量,已知球半径为1,球面上各点密度等于这点到铅直直径的距离.
10.计算.,.
11.计算.是平面在第一卦限部分.
12.计算.为球面的外表面.
13.用高斯公式计算上面第12题.
复习题六
一、判断题(正确的打“√”,错误的打“×”)
1.若,则的几何意义是以区域为底、曲面为曲顶的曲顶柱体的体积.( )
2.若设,则.()
3.若设是由、和所围成的区域,则有.()
4..()
5.若设是围成区域的边界曲线,则.()
二、填空题
1.设,则.
2.设,则.
3.设,由重积分的几何意义得
.
4.若,则
.
5.设为椭圆的正向边界, .
三、选择题
1.若是由,和围成的三角形区域,且,则()
A.B.C.D.
2.将极坐标系下的二次积分化为直角坐标系下的二次积分,则()
A.B.
C.D.
3.二次积分交换积分次序为()
A.B.
C.D.
4.若是由和所围成的区域,为区域的正向边界,则=()
A.B.C.D.
5.若是围成平面内一闭区域的正向边界曲线,则曲线积分可化为二重积分()
A.B.
C.D.
四、解答题
1.区域是由抛物线,直线和围成,计算的值
2.设,求二重积分
3.计算,其中L是圆周,且正向为逆时针方向
4.求半径为,高为的球冠面积
5.求两个底面半径相等的直交圆柱面与所围成的立体的体积
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