多人相遇和追及问题.docx
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多人相遇和追及问题
目t皿归教学目标
1.能够将学过的简单相遇和追及问题进行综合运用
2.根据题意能够画出多人相遇和追及的示意图
3.能将复杂的多人相遇问题转化多个简单相遇和追及环节进行解题。
知识精讲
二是多人相遇追及问题,即在同一直线上,3个或3个以上的对象之间的相遇追及问题。
所有行程问题都是围绕路程二速度L_”这一条基本关系式展开的,比如我们遇到的两大典型行程题
相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系转化•由此还可以得到如下两条关系式:
路程和=速度和相遇__;
路程差=速度差追及__;
多人相遇与追及问题虽然较复杂,但只要抓住这两条公式,逐步表征题目中所涉及的数量,问题即可
迎刃而解.
板块一、多人从两端出发一一相遇、追及
【例1】(难度级别探※)有甲、乙、丙3人,甲每分钟走100米,乙每分钟走80米,丙每分钟走75米.现在甲从东村,乙、丙两人从西村同时出发相向而行,在途中甲与乙相遇6分钟后,甲又
与丙相遇.那么,东、西两村之间的距离是多少米?
【解析】甲、丙6分钟相遇的路程:
100756=1050(米);
甲、乙相遇的时间为:
1050-:
-80-75]=210(分钟);
东、西两村之间的距离为:
10080210=37800(米).
【巩固】一条环形跑道长400米,甲骑自行车每分钟骑450米,乙跑步每分钟250米,两人同时从同地
同向出发,经过多少分钟两人相遇?
【解析】400(450-250)口2(分钟).
【例2】(难度级别※※^(2009年四中入学测试题)在公路上,汽车A、B、C分别以80km/h,70km/h,50km/h的速度匀速行驶,若汽车A从甲站开往乙站的同时,汽车B、C从乙站开
往甲站,并且在途中,汽车A在与汽车B相遇后的两小时又与汽车C相遇,求甲、乙两站相距
多少km?
【解析】汽车A在与汽车B相遇时,汽车A与汽车C的距离为:
(8050)2=260千米,此时汽车B与汽车C的距离也是260千米,说明这三辆车已经出发了260-(70—50)=13小时,那么甲、乙两站的距离为:
(8070)13=1950千米.
【巩固】(难度等级探※)甲、乙、丙三人每分分别行60米、50米和40米,甲从B地、乙和丙从A
地同时出发相向而行,途中甲遇到乙后15分又遇到丙•求A,B两地的距离.
【解析】甲遇到乙后15分钟,甲遇到了丙,所以遇到乙的时候,甲和丙之间的距离为:
(60+40)X15=
1500(米),而乙丙之间拉开这么大的距离一共要1500-(50-40)=150(分),即从出发到甲与乙
相遇一共经过了150分钟,所以A、B之间的距离为:
(60+50)X150=16500(米).
【巩固】(难度级别探※)甲、乙、丙三人行路,甲每分钟走60米,乙每分钟走67.5米,丙每分钟走
75米,甲乙从东镇去西镇,丙从西镇去东镇,三人同时出发,丙与乙相遇后,又经过2分钟与
甲相遇,求东西两镇间的路程有多少米?
【解析】那2分钟是甲和丙相遇,所以距离是(60+75)疋=270米,这距离是乙丙相遇时间里甲乙的路程
差所以乙丙相遇时间=270-(67.5-60)=36分钟,所以路程=36X(67.5+75)=5130米。
【巩固】(难度级别探※)小王的步行速度是4.8千米/小时,小张的步行速度是5.4千米/小时,他们两
人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是10.8千米/小时,从乙地到甲地去.他们3人同时出发,
在小张与小李相遇后5分钟,小王又与小李相遇.问:
小李骑车从乙地到甲地需要多少时间?
【解析】画一张示意图:
王张李
I111
甲B*乙
图中A点是小张与小李相遇的地点,图中再设置一个B点,它是张、李两人相遇时小王到达的地点.5
分钟后小王与小李相遇,也就是5分钟的时间,小王和小李共同走了B与A之间这段距离:
5
4.810.8-1.3(千米),这段距离也是出发后小张比小王多走的距离,小王与小张的速度差是
60
(5.4-4.8)千米/小时.小张比小王多走这段距离,需要的时间是:
1.3-(5.4-4.8)00=130(分钟).这
也是从出发到张、李相遇时已花费的时间.小李的速度10.8千米/小时是小张速度5.4千米/小时的2倍.
因此小李从A到甲地需要:
130吃=65(分钟)•从乙地到甲地需要的时间是:
130+65=195(分钟)=
3小时15分•小李从乙地到甲地需要3小时15分•
【巩固】(难度级别探※)甲、乙、丙三人行路,甲每分钟走60米,乙每分钟走65米,丙每分钟走70
米,甲乙从东镇去西镇,丙从西镇去东镇,三人同时出发,丙与乙相遇后,又经过1分钟与甲
相遇,求东西两镇间的路程有多少米?
【解析】那2分钟是甲和丙相遇,所以距离是(60+70)X1=130米,这距离是乙丙相遇时间里甲乙的路程
差所以乙丙相遇时间=130-(65-60)=26分钟,所以路程=26X(65+70)=3510米。
【巩固】(难度级别探※)甲、乙、丙三人行路,甲每分钟走50米,乙每分钟走60米,丙每分钟走70
米,甲乙从东镇去西镇,丙从西镇去东镇,三人同时出发,丙与乙相遇后,又经过2分钟与甲
相遇,求东西两镇间的路程有多少米?
【解析】那2分钟是甲和丙相遇,所以距离是(60+70)X2=260米,这距离是乙丙相遇时间里甲乙的路程
差所以乙丙相遇时间=260-(60-50)=26分钟,所以路程=26X(60+70)=3380米。
【巩固】(难度级别探※)甲、乙、丙三人行路,甲每分钟走80米,乙每分钟走90米,丙每分钟走100
米,甲乙从东镇去西镇,丙从西镇去东镇,三人同时出发,丙与乙相遇后,又经过5分钟与甲
相遇,求东西两镇间的路程有多少米?
【解析】那5分钟是甲和丙相遇,所以距离是(90+100)X5=950米,这距离是乙丙相遇时间里甲乙的路
程差。
所以乙丙相遇时间=950-(90-80)=95分钟,所以路程=95X(90+100)=18050米。
【巩固】(难度级别探※※※※)小王的步行速度是5千米/小时,小张的步行速度是6千米/小时,他
们两人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是10千米/小时,从乙地到甲地去.他们3人同时出
发,在小张与小李相遇后30分钟,小王又与小李相遇.问:
小李骑车从乙地到甲地需要多少时间?
1
【解析】30分钟是小王和小李相遇,所以距离是(5+10)-=7.5千米,这距离是小王和小李相遇时间里小
2
张和小王的路程差。
所以小李和小张相遇时间=7.5(6-5)=7.5小时,所以路程=7.5X(6+10)=120
千米。
120^10=12(小时)
【巩固】甲、乙、丙三人,他们的步行速度分别为每分钟480、540、720米,甲、乙、丙3人同时动身,
甲、乙二人从A地出发,向B地行时,丙从B地出发向A地行进,丙首先在途中与乙相遇,3
分钟后又与甲相遇,求甲、乙、丙3人行完全程各用多长时间?
【解析】方法一:
乙与丙相遇时,乙比甲多行的距离可供丙、甲相向而行行3分钟的时间,这段距离为
4807203=3600(米),3600"540-480[=60(分),A、B之间的距离为
72054060=75600(米),行完全程甲、乙、丙需要的时间分别如下:
甲75600--480=157.5(分)
乙75600--540=140(分)
丙75600"720=105(分)
方法二:
丙与乙相遇时,各行了Q4807203540—480=60(分),速度与时间成反比,所
以,丙行完全程需要
540
720
105矿仮5(分)
丙与乙相遇时,乙比甲多行了720480
3360米);丙比甲多行了
720—480
360014400
540—480
(米),所以A地与
B地之间的距离为
480540-4802360014400=75600(米)
行完全程甲、乙、丙需要的时间分别如下:
甲75600」480=157.5(分)
乙75600^540=140(分)
丙75600720=105(分)
【巩固】甲乙丙三人沿环形林荫道行走,同时从同一地点出发,甲、乙按顺时针方向行走,丙按逆时针
方向行走。
已知甲每小时行7千米,乙每小时行5千米,1小时后甲、丙二人相遇,又过了10
分钟,丙与乙相遇,问甲、丙相遇时丙行了多少千米?
【解析】方法一:
出发1小时后甲、丙相遇,这时甲领先乙
7-51=2千米;10分钟后丙、乙相遇,相
105
向而行共行了2千米,其中乙行了5—=-千米,
606
577汉60
丙行了2——二—千米,丙每小时行7
6660心0
6060720=105(分);乙行完全程需要
千米,所以甲、丙相遇时,丙行了71=7千米。
方法二:
丙1小时10分钟(与乙相遇)行的距离与
1小时(与甲相遇)行的距离之差恰好等于
70一:
一70_1
甲1小时行的距离之差,所以丙的速度等于…-5!
060'
二7千米/小时,丙与甲相遇
时,丙行了71=7千米。
【例3】(难度等级探※※)甲、乙两车的速度分别为52千米/时和40千米/时,它们同时从A地
出发到B地去,出发后6时,甲车遇到一辆迎面开来的卡车,1时后乙车也遇到了这辆卡车。
求这辆卡车的速度。
【解析】甲乙两车最初的过程类似追及,速度差x追及时间=路程差;路程差为72千米;72千米就是1小时的甲车和卡车的路程和,速度和X相遇时间=路程和,得到速度和为72千米/时,所以卡车
速度为72-40=32千米/时。
【巩固】甲、乙、丙三人,甲每分钟走100米,乙每分钟走80米,丙每分钟走75米.甲从东村,乙、
丙从西村同时出发相向而行,途中甲、乙相遇后3分钟又与丙相遇•求东西两村的距离.
【解析】先画示意图如下:
乙(80米/分)甲(100米/分)
甲、丙相遇甲、乙相遇
西匚11东
►-M—3分钟—>1
丙(75米/分)
甲、乙相遇后3分钟,甲、丙相遇.甲、丙在3分钟内共走路程是(10075)3=525(米).显然,
这就是甲、乙相遇时,乙比丙多走的路程,乙比丙每分钟多走80-75^5(米)•所以,甲、乙相
遇时离出发的时间是525(80-75)=105(分钟).两村间的距离是:
(10080)(10075)3(80-75)]二18105=18900(米)
【巩固】(难度等级※※※[甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去,甲、乙两车的速度分别为
60千米/时和48千米/时。
有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后5时、6时、8时先后
与甲、乙、丙三辆车相遇。
求丙车的速度。
【解析】甲车每小时比乙车快60-48=12(千米)•则5小时后,甲比乙多走的路程为12£=60(千米)•也即在卡车与甲相遇时,卡车与乙的距离为60千米,又因为卡车与乙在卡车与甲相遇的6-5=1小
时后相遇,所以,可求出卡车的速度为60"1-48=12(千米/小时),卡车在与甲相遇后,再走
8-±=3(小时)才能与丙相遇,而此时丙已走了8个小时,因此,卡车3小时所走的路程与丙8
小时所走的路程之和就等于甲5小时所走的路程•由此,丙的速度也可求得,应为:
(605-12千米/小时).
【例4】(难度等级探※※)李华步行以每小时4千米的速度从学校出发到20.4千米处的冬令营报到。
半小时后,营地老师闻讯前往迎接,每小时比李华多走1.2千米。
又过了1.5小时,张明从学校
骑车去营地报到。
结果三人同时在途中某地相遇。
问骑车人每小时行驶多少千米?
【解析】老师出发时,李华已经走了40.5=2(千米)。
接下来相遇所需要的时间为
20.4_2丁p■41.2^=2(小时)。
相遇地点与学校的距离用李华的速度和时间进行计算:
40.52=10(千米)。
所以张明要用2一1.5=0.5小时感到距离学校10千米处,张明的速度为
10“0.5=20(千米/时)
【例5】(难度级别探※※)甲、乙、丙三人,甲每分钟走40米,丙每分钟走60米,甲、乙两人从A、B地同时出发相向而行,他们出发15分钟后,丙从B地出发追赶乙。
此后甲、乙在途中相遇,
过了7分钟甲又和丙相遇,又过了63分钟丙才追上乙,那么A、B两地相距多少米?
【解析】根据题意可知,(40+60)X7=700(米),700-(63+7)=10(米/分),乙的速度为50米/分,
(15X50-700)-0=5(分),(40+50)X(15+5)=1800(米)
【例6】(难度级别探※※※)一列长110米的火车以每小时30千米的速度向北缓缓驶去,铁路旁一
条小路上,一位工人也正向北步行。
14时10分时火车追上这位工人,15秒后离开。
14时16
分迎面遇到一个向南走的学生,12秒后离开这个学生。
问:
工人与学生将在何时相遇?
【解析】工人速度是每小时30-0.11/(15/3600)=3.6千米,学生速度是每小时(0.11/12/3600)-30=3千米,
14时16分到两人相遇需要时间(30-3.6)*6/60/(3.6+3)=0.4(小时)=24分钟14时16分+24分=14时40分
【巩固】(难度级别探※※)铁路旁的一条与铁路平行的小路上,有一行人与骑车人同时向南行进,行
人速度为3.6千米/时,骑车人速度为10.8千米/时,这时有一列火车从他们背后开过来,火车通
过行人用22秒,通过骑车人用26秒,这列火车的车身总长是多少?
【解析】行人的速度为3.6千米/时=1米/秒,骑车人的速度为10.8千米/时=3米/秒。
火车的车身长度既等
于火车车尾与行人的路程差,也等于火车车尾与骑车人的路程差。
如果设火车的速度为x米/秒,
那么火车的车身长度可表示为(x-1)X22或(x-3)X26,由此不难列出方程。
法一:
设这列火车的速度是x米/秒,依题意列方程,得(x-1)X22=(x-3)X26。
解得x=14。
所以火车的车身长为:
(14-1)X22=286(米)。
法二:
直接设火车的车长是X,那么等量关系就在于火车的速度上。
可得:
x/26+3=x/22+1
这样直接也可以x=286米
法三:
既然是路程相同我们同样可以利用速度和时间成反比来解决。
两次的追及时间比是:
22:
26=11:
13,所以可得:
(V车一1):
(V车一3)=13:
11,
可得V车=14米/秒,所以火车的车长是(14-1)X22=286(米)
答:
这列火车的车身总长为286米。
【例7】(难度等级※※※※[甲、乙两人从相距490米的A、B两地同时步行出发,相向而行,丙与
甲同时从A出发,在甲、乙二人之间来回跑步(遇到乙立即返回,遇到甲也立即返回)•已知丙每分钟跑240米,甲每分钟走40米,当丙第一次折返回来并与甲相遇时,甲、乙二人相距210
米,那么乙每分钟走米;甲下一次遇到丙时,甲、乙相距米.
【解析】如图所示:
ADECB
丨IIII
甲乙
丙
假设乙、丙在C处相遇,然后丙返回,并在D处与甲相遇,此时乙则从走C处到E处•根据题意可知DE=210米.由于丙的速度是甲的速度的6倍,那么相同时间内丙跑的路程是甲走的路程的
6倍,也就是从A到C再到D的长度是AD的6倍,那么CD=(6AD-AD)“2=2.5AD,
55
AC=3.5AD,可见CDAC.那么丙从C到D所用的时间是从A到C所用时间的-,那么这
77
段时间内乙、丙所走的路程之和(CD加CE)是前一段时间内乙、丙所走的路程之和(AC加BC,
55
即全程)的,所以CDCE=490350,而CD-CE=DE=210,可得CD=280,CE=70.
77
相同时间内丙跑的路程是乙走的路程的280^70=4倍,所以丙的速度是乙的速度的4倍,那么乙
的速度为240^4=60(米/分),即乙每分钟走60米.
当这一次丙与甲相遇后,三人的位置关系和运动方向都与最开始时相同,只是甲、乙之间的距离
2103
改变了,变为原来的210,但三人的速度不变,可知运动过程中的比例关系都不改变,那么
4907
33
当下一次甲、丙相遇时,甲、乙之间的距离也是此时距离的-,为210-=90米.
77
【例8】(难度等级探※※※)(2008年三帆中学考题)甲、乙、丙三人沿湖边一固定点出发,甲按顺时
针方向走,乙与丙按逆时针方向走•甲第一次遇到乙后又走了1分15秒遇到丙,再过3分45
秒第二次遇到乙•已知甲、乙的速度比是3:
2,湖的周长是600米,求丙的速度.
【解析】甲第一次遇见乙后ll分钟遇到丙,再过3-分第二次遇到乙,所以甲、乙经过1丄.3^=5分钟的
4444
f2、
时间合走了一圈,甲、乙的速度和为600亠5=120米/分,甲的速度为12^1->72米/分.甲、
I3丿
111
乙合走一圈需要5分钟,而甲第一次遇见乙后11分钟遇到丙,所以甲、丙合走一圈需要5・1丄=6丄
444
1
分钟,甲、丙的速度和为600-:
-696米/分,从而丙的速度为96-72=24米/分.
4
【巩固】(难度等级※※※[甲、乙、丙在湖边散步,三人同时从同一点出发,绕湖行走,甲速度是每
小时5.4千米,乙速度是每小时4.2千米,她们二人同方向行走,丙与她们反方向行走,半个小时后甲和丙相遇,在过5分钟,乙与丙相遇。
那么绕湖一周的行程是多少?
【解析】30分钟乙落后甲(5.4-4.2)吃=0.6(千米),有题意之乙和丙走这0.6千米用了5分钟,因为乙
和丙从出发到相遇共用35分钟,所以绕湖一周的行程为:
35^5X0.6=4.2(千米)。
【巩固】(明心奥数挑战赛)池塘周围有一条道路.A、B、C三人从同一地点同时出发.A和B往逆时针
方向走,C往顺时针方向走.A以每分钟80米、B以每分钟65米的速度行走.C在出发后的
20分钟遇到A,再过2分钟,遇到B.请问,池塘的周长是几米?
【解析】换个角度去思考这个问题,假设用一把剪刀将道路剪开,并将弧形的道路拉成直的,这样此题就
转化成了相遇问题.如图,
80A
65B
行了20分钟后,A与C相遇,此时A、B、C都行了20分钟,而B落后A(80-65)20=300(米),也就是此时,B与C相距300米.题目又告诉我们过2分钟B与C相遇,这说明这2分钟B与C一共行了300米,所以C的速度为300亠2_65=85(米/分)•池塘周长为:
85208020=3300(米)•
【巩固】(难度级别探※※※)甲从A地出发前往B地,1小时后,乙、丙两人同时从B地出发前往A
地,结果甲和丙相遇在C地,甲和乙相遇在D地.已知甲和乙的速度相同,丙的速度是乙的1.5倍,A、B两地之间的距离是220千米,C、D两地之间的距离是20千米.求丙的速度.
【解析】假设乙走了单位“1;'得
丙走了1.5;即丙与乙的路程差为1.5-1=0.5,
因为实际的路程差为20>2=40(千米)
所以乙走了80千米,即甲后来走了80千米,
丙走了120千米,
220-80-120=20(千米)
所以甲的速度是20(千米/小时)丙的速度=20>.5=30(千米/小时)
【例9】(难度级别探※※※)(2009年迎春杯复赛高年级组)一条路上有东、西两镇.一天,甲、乙、
丙三人同时出发,甲、乙从东镇向西而行,丙从西镇向东而行,当甲与丙相遇时,乙距他们20
千米,当乙与丙相遇时,甲距他们
30千米.
当甲到达西镇时,丙距东镇还有
20千米,那么当
丙到达东镇时,乙距西镇
千米.
丙*
—
甲
1II1
11
一乙
1
AFC
ED
B
【解析】如图,甲、乙两人从B地出发,丙从A地出发,甲、丙相遇在C处,此时乙到达D处,C、D相距20千米;三人继续前进,当丙和乙在E处相遇时,甲到达F处,E、F相距30千米.
当甲、丙相遇时,甲、丙两人合走了一个全程,且此时甲比乙多走了20千米;
当丙和乙分别从C、D出发走到E处相遇时,丙和乙合走了20千米,丙和甲合走了30千米,甲
比乙多走了10千米.
由于10:
20=1:
2,可见丙和甲合走的30千米就是全程的一半,那么全程为60千米.
当甲到达西镇时,丙距东镇还有20千米,所以甲、丙的速度之比为60:
60-20;=3:
2,那么两
23
人相遇时丙走了60—24千米,甲走了60—36千米,乙走了36-20=16千米,丙和
2+32+3
f2、
乙的速度比为24:
16=3:
2,那么当丙到达东镇时,乙距西镇60120千米.
I3.丿
【巩固】(难度级别探※※※)(仁华学校期末考试四年级试题)甲、乙、丙、丁4人在河中先后从同
一个地方同速同向游泳,现在甲距起点78米,乙距起点27米,丙距起点23米,丁距起点16米•那么当甲、乙、丙、丁各自继续游泳米时,甲距起点的距离刚好为乙、丙、丁3
人距起点的距离之和.
【解析】现在乙、丙、丁3人距起点的距离总和是27•2376=66(米),甲目前比它们的距离之和要多
2723•16=66(米)•此后甲每向前游1米,乙、丙、丁3人也都同时向前游了1米,那么甲距起点的距离与那3人的距离总和之差就要减少2米•要使这个差为0,甲应向前游了
12“2=6(米).
【例10】(难度级别探※※※)A、B两地相距336千米,有甲、乙、丙3人,甲、乙从A地,丙从B地同时出发相向而行,已知甲每小时行36千米,乙每小时行30千米,丙每小时行24千米,问
几个小时后,丙正好处于甲、乙之间的中点?
【解析】甲、丙相遇时,丙行的时间为336"3624=5.6(小时),甲乙之间距离为36-305.6=33.6
(千米),当丙处在甲、乙之间的中点时,甲、丙相遇后,甲、丙又行的距离之和一定等于33.6千
56
米减去乙、丙又行的距离之和,丙又行的时间为33.6-:
-(36302424)(小时),因此,
19
当丙处在甲、乙之间的中点时,丙共行了5.6=5^(小时)
1919
【巩固】(难度级别探※※※)AB两地相距432千米,有甲、乙、丙三人,甲、乙从A地,丙从B地
同时出发相向而行,已知甲每小时行36千米,乙每小时行30千米,丙每小时行24千米,问几
个小时之后,乙正好在甲、丙两人的中点?
【解
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