届北师大版文科数学空间几何体的三视图表面积和体积 单元测试.docx
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届北师大版文科数学空间几何体的三视图表面积和体积单元测试
自检10:
空间几何体的三视图、表面积和体积
A组 高考真题集中训练
空间几何体的三视图
1.(2014·全国卷Ⅰ)如图,格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是( )
A.三棱锥 B.三棱柱
C.四棱锥 D.四棱柱
解析:
由题知,该几何体的三视图为一个三角形,两个四边形,经分析可知该几何体为三棱柱,故选B.
答案:
B
2.(2013·全国卷Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xy中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以Ox平面为投影面,则得到的正视图可以为( )
解析:
作出空间直角坐标系,在坐标系中标出各点的位置,然后进行投影,分析其正视图形状.易知选A.
答案:
A
空间几何体的表面积与体积
1.(2017·全国卷Ⅱ)如图,格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( )
A.90π B.63π
C.42π D.36π
解析:
方法一 (割补法)由几何体的三视图可知,该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得,如图所示.
将圆柱补全,并将圆柱从点A处水平分成上下两部分.由图可知,该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的
,所以该几何体的体积V=π×32×4+π×32×6×
=63π.故选B.
方法二 (估值法)由题意知,
V圆柱 答案: B 2.(2017·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位: cm),则该几何体的体积(单位: cm3)是( ) A. +1 B. +3 C. +1 D. +3 解析: 由几何体的三视图可知,该几何体是一个底面半径为1,高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长是 的等腰直角三角形,高为3的三棱锥的组合体, ∴该几何体的体积V= × π×12×3+ × × × ×3= +1.故选A. 答案: A 3.(2017·北京卷)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( ) A.60 B.30 C.20 D.10 解析: 由三视图画出如图所示的三棱锥P-ACD,过点P作PB⊥平面ACD于点B,连接BA,BD,BC,根据三视图可知底面ABCD是矩形,AD=5,CD=3,PB=4,所以V三棱锥P-ACD= × ×3×5×4=10.故选D. 答案: D 4.(2016·全国甲卷)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为( ) A.20π B.24π C.28π D.32π 解析: 由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体,设圆柱底面圆半径为r,周长为c,圆锥母线长为l,圆柱高为h.由图得r=2,c=2πr=4π,h=4,由勾股定理得: l= =4,S表=πr2+ch+ cl=4π+16π+8π=28π. 答案: C 5.(2016·全国乙卷)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是 ,则它的表面积是( ) A.17π B.18π C.20π D.28π 解析: 由几何体的三视图可知,该几何体是一个球体去掉上半球的 ,得到的几何体如图. 设球的半径为R,则 πR3- × πR3= π,解得R=2.因此它的表面积为 ×4πR2+ πR2=17π.故选A. 答案: A 6.(2016·全国丙卷)如图所示,格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为( ) A.18+36 B.54+18 C.90 D.81 解析: 由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱,其中有两个侧面为矩形,另两个侧面为平行四边形,则表面积为(3×3+3×6+3×3 )×2=54+18 .故选B. 答案: B 7.(2015·全国卷Ⅱ)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( ) A.36π B.64π C.144π D.256π 解析: 如图,设球的半径为R, ∵∠AOB=90°,∴S△AOB= R2. ∵VO-ABC=VC-AOB,而△AOB面积为定值,∴当点C到平面AOB的距离最大时,VO-ABC最大,∴当C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时,体积VO-ABC最大,为 × R2×R=36, ∴R=6,∴球O的表面积为4πR2=4π×62=144π.故选C. 答案: C 8.(2015·全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题: “今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问: 积及为米几何? ”其意思为: “在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少? ”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( ) A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 解析: 设米堆的底面半径为r尺,则 r=8,所以r= ,所以米堆的体积为V= × π·r2·5= · 2×5≈ (立方尺).故堆放的米约有 ÷1.62≈22(斛).故选B. 答案: B 9.(2014·全国卷Ⅱ)正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为 ,D为BC中点,则三棱锥A-B1DC1的体积为( ) A.3 B. C.1 D. 解析: 由题意可知AD⊥BC,由面面垂直的性质定理可得AD⊥平面DB1C1,又AD=2sin60°= ,所以VA-B1DC1= AD·S△B1DC1= × × ×2× =1,故选C. 答案: C 10.(2017·山东卷)由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如下,则该几何体的体积为________. 解析: 该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个底面半径为1,高为1的四分之一圆柱体构成, ∴V=2×1×1+2× ×π×12×1=2+ . 答案: 2+ B组 高考对接限时训练(十) (时间: 35分钟 满分70分) 一、选择题: 本大题共10个小题,每小题5分,共50分. 1.(2017·大连调研)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中点P是棱CD上一点,则三棱锥P-A1B1A的侧视图是( ) 解析: 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,从左侧看三棱锥P-A1B1A,B1,A1,A的射影分别是C1,D1,D;AB1的射影为C1D,且为实线,PA1的射影为PD1,且为虚线.故选D. 答案: D 2.(2017·汕头一模)“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如下左图,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.其实际直观图中四边形不存在,当其正视图和侧视图完全相同时,它的正视图和俯视图分别可能是( ) A.a,b B.a,c C.c,b D.b,d 解析: ∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖). ∴其正视图和侧视图是一个圆,∵俯视图是从上向下看,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形,故选A. 答案: A 3.(2017·晋中一模)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( ) A.16 B.20 C.52 D.60 解析: 由题意,几何体为三棱柱与三棱锥的组合体,如图,体积为 ×3×4×2+ × ×3×4×4=20;故选B. 答案: B 4.(2016·北京高考)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( ) A. B. C. D.1 解析: 通过三视图可还原几何体为如图所示的三棱锥P-ABC,通过侧视图得高h=1,底面积S= ×1×1= ,所以体积V= Sh= × ×1= . 答案: A 5.(2017·兰州一模)某几何体三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ) A.(9+ )π B.(9+2 )π C.(10+ )π D.(10+2 )π 解析: 由三视图得到几何体为圆柱挖去一个圆锥,圆柱的底面直径为2,高为4,圆锥的底面直径为2,高为2,所以几何体的表面积为π×12+π×2×4+ ×π×2× =(9+ )π;故选A. 答案: A 6.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为( ) A.1 B. C. D.2 解析: 根据三视图,可知几何体的直观图为如图所示的四棱锥V-ABCD,其中VB⊥平面ABCD,且底面ABCD是边长为1的正方形,VB=1.所以四棱锥中最长棱为VD.连接BD,易知BD= ,在Rt△VBD中,VD= = . 答案: C 7.(2017·永州一模)如图,格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该几何体的各个面中最大面的面积为( ) A.1 B. C. D.2 解析: 由题意得,该几何体的直观图为三棱锥A-BCD,如图,其最大面的表面是边长为2 的等边三角形,故其面积为 ×(2 )2=2 . 答案: D 8.(2017·河南六市二模)一个四面体的顶点都在球面上,它们的正视图、侧视图、俯视图都是下图.图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形.则这个四面体的外接球的表面积是( ) A.π B.3π C.4π D.6π 解析: 由三视图可知: 该四面体是正方体的一个内接正四面体.∴此四面体的外接球的直径为正方体的对角线长为 .∴此四面体的外接球的表面积为4π× 2=3π.故选B. 答案: B 9.(2017·临沂一模)如图,在矩形ABCD中,AD= ,AB=3,E、F分别为AB边、CD边上一点,且AE=DF=1,现将矩形ABCD沿EF折起,使得平面ADFE⊥平面BCFE,连接AB、CD,则所得三棱柱ABE-DCF的侧面积比原矩形ABCD的面积大约多(取 ≈2.236)( ) A.68 B.70 C.72 D.75 解析: 将矩形ABCD沿EF折起,使得平面ADFE⊥平面BCFE,可得三棱柱ABE-DCF(如图),侧面积增加的部分为ABCD,∵EB⊥BC,△ABE是直角三角形,∴AB⊥BC.同理可证ABCD是矩形. ∵在矩形ABCD中,AE=DF=1.AB=3,AD= , ∴BE=2, ∴可得三棱柱中AB= ,故得侧面积增加的部分为S= × =5. 侧面积比原矩形ABCD的面积大约多出 = = =75,故选D. 答案: D 10.(2017·晋中一模)四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为6的正方形,且PA=PB=PC=PD,若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切,则该四棱锥的高是( ) A.6 B.5 C. D. 解析: 由题意,四棱锥P-ABCD是正四棱锥,球的球心O在四棱锥的高PH上;过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图所示,其中PE,PF是斜高,G为球面与侧面的切点,设PH=h,由几何体可知,Rt△PGO∽Rt△PHF,∴ = ,即 = ,解得
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