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数字图像处理
《数字图像处理》
数字图像处理的傅里叶变换应用
数字图像处理的傅里叶变换应用
【摘要】傅里叶变换是19世纪数学界重要的科研成果,它的处理手段至今为止仍被信号处理领域广泛使用,是线性系统分析方法中最为有利的工具,使人们能够定量地分析数字处理领域中的绝大多数问题。
在图像处理领域中,将傅里叶变换理论与图像的数字处理理论相结合对于解决大多数图像处理问题都很有帮助。
本文首先介绍了傅里叶变换的基本概念、性质及发展情况;其次,详细介绍了傅里叶变换在图像增强与图像去噪、图像分割与边缘检测、图像特征提取以及图像压缩等方面的作用。
傅里叶变换在不同的领域有不同的形式,诸如现代声学,语音通讯,声纳,地震,核科学,乃至生物医学工程等信号的研究发挥着重要的作用。
最后对本文所讨论的内容进行了总结。
【关键字】傅里叶变换;数字图像处理;图像增强;图像去噪;图像压缩。
目录
一傅里叶变换的简介……….......................................................................................4
1.1傅里叶变换的基本概念及发展……………………………........................................4
1)一维连续傅里叶变换.……….............................................................................4
2)二维连续傅里叶变换.……….............................................................................5
3)一维离散傅里叶变换.……………........................................................................5
4)二维离散傅里叶变换.………..............................................................................6
1.2傅里叶变换的性质……………………………….………………...........................................6
二傅里叶变换在图像处理中的应用………………………………………………………………….……7
2.1图像傅里叶变换的物理意义……………………….……………………………………………….…..7
2.2傅里叶变换的在图像处理中的作用……………….………..……………………………….…..…8
1)图像增强与去噪…….……….……...............................................................................8
2)图像边缘检测……………….……….……........................................................................8
3)图像特征提取……………….……….……........................................................................8
4)图像压缩.……….…….................................................................................................8
5)图像保存.……….…….................................................................................................8
6)图像滤波.……….…….................................................................................................8
7)图像复原.……….……................................................................................................8
2.3傅里叶变换的在图像处理中的应用实例…………………….……………………………………9
1)傅里叶变换的基本处理.……….……….....................................................................9
2)基于傅里叶变换的频域处理……............................................................................9
3)基于傅里叶变换的图像重构.………......................................................................10
4)基于傅里叶变换的图像压缩.………......................................................................11
5)基于傅里叶变换的图像增强……….......................................................................12
三结束语……..…………………………………………………….……………………………………….…..…14
四参考文献……..………………………………………..……….……………………………………….…..…15
一.傅里叶变换简介
1.1傅里叶变换的基本概念及发展:
1807年法国工程师傅里叶提出了傅里叶级数的概念,即任一周期信号可分解为复正弦信号的叠加。
1822年,傅里叶发表论文提出了傅里叶变换。
傅里叶变换本质上提出了一种与空间思维不同领域的频域思维方法,正是由于傅里叶变换,原本对人们比较抽象的“频率”概念才变得具体化。
通过对傅里叶变换的研究,可以使人们从时域(或空间)与频域两个不同的角度来看待图像信号处理问题。
在大部分研究中可以发现在时域有时无法解决的问题,在频域却是显而易见的。
对一个给定的信号,如x(t),可以用众多的方法来描述它,如x(t)的函数表达式,通过傅里叶变换所得到的x(t)的频谱,即X(jΩ),再如x(t)的相关函数的能量谱和功率谱等。
在图像处理中,线性变化的元素的频率是最为重要的物理量,如夕阳下多彩的彩霞,丰富而又温暖的画面颜色都与色彩频率有着密不可分的关系。
这种色彩频率的变换与傅里叶变换有着完美的契合度,因此傅里叶变换对图像处理有着极其重要的意义。
1.一维连续傅里叶变换
设f(x)为x的实变函数,如果f(x)满足下面的狄里赫莱条件:
(1)具有有限个间隔点。
(2)具有有限个极点。
(3)绝对可积。
则f(x)的傅里叶变换(FourierTransformation,FT)定义为:
f(x)与F(w)构成傅里叶变换对,可以证明傅里叶变换对总是存在的。
由于f(x)为实函数,则它的傅里叶变换F(w)通常是复函数,于是F(w)可写成:
式中:
R(w)和I(w)分别是F(w)的实部和虚部。
上述公式可表示为指数形式:
式中:
F(w)为f(x)的傅里叶幅度谱,f(w)为f(x)的相位谱。
2.二维连续傅里叶变换
如果二维函数f(x,y)是连续可积的,即
且F(u,v)是可积的,则二维连续傅里叶变换对可表示为:
对于图像f(x,y),F(u,v)是它的频谱。
变量u是对应于x轴的空间频率,变量v是对应于y轴的空间频率,与在一维的情况类似,可定义二维傅里叶变换的幅度谱和相位谱为:
3.一维离散傅里叶变换
对一个连续函数f(x)等间隔采样可得到一个离散序列。
设共采样N个,则这个散序列可表示为{f(0),f
(1),f
(2),…,f(N1)}。
则其离散傅里叶变换F(u)为:
离散傅里叶反变换(IDFT)为:
式中:
x=0,1,2,…,N1。
令
则上述公式变成:
4.二维离散傅里叶变换
二维离散傅里叶变换:
1.2傅里叶变换的性质:
在数字图像处理中,傅里叶变换的性质都是非常有用的,利用这一性质,一方面可以简化DFT的计算方法;另一方面,某些性质可直接用于图像处理中,解决某些实际问题。
1.傅立叶变换的共轭表达:
这一结果非常有利于简化傅氏变换的计算方法,推广到离散傅立叶变换:
对一维:
对二维:
2.频率位移(频移特性)
对一维:
对二维:
当我们得到的图像f(x,y)的背景上,观察到一周期性的干扰调制时,我们可采用频移方法,消除这一干扰,来得到一幅清晰的图像。
3.周期性和共轭对称性:
从这一性质,我们可以很容易地分析到:
图像函数经二维傅立叶变换后,如果将F(0,0)置于谱方阵中心,则其余各行各列对中心点是共轭对称的。
利用这一性质,如果在数据存储和传输时,仅存贮和传输它们的中心的一部分,进行逆变换恢复原图像时,按对称性补充另一部分数据,即可达到数据压缩的目的。
4.平移性:
平移告诉我们一个感兴趣的事实:
当空域中f(x,y)产生移动时,在频域中只能发生相移,而傅立叶变换的幅值不变。
二.傅里叶变换在图像处理中的应用
2.1图像傅里叶变换的物理意义:
图像的变换因素中,频率代表着图像的灰度,灰度值的表征程度在图像色彩和整体表现力中起着关键的作用。
傅里叶变化的正弦叠加性与图像的这种变化在实际应用中的高度契合,使得其在图像的处理当中有着非常明显的物理意义。
从另一个角度说,傅里叶逆变换的正弦叠加特性可将不同变化频率的正弦量进行变换叠加处理,对于图像当中不同色彩频率的分量值,在正弦化处理过后,通过傅立叶的变化处理可以使图像的数字描述更加真实,使得处理的图像更加逼真,各频率的颜色值损失做到最少。
2.2傅里叶变换在图像处理中的作用:
1.图像增强与图像去噪:
图像的色彩特性主要是由色彩频率决定,图像的高频分量是绝大部分噪音的主要形成因素,在图像处理时,主要是通过低通滤波器来滤除高频——噪声;边缘也是图像高频分量最集中的部分,对其可以采用添加高频分量来增强原有图像的边缘特性。
2.图像边缘检测:
图像处理分割后,在其边缘部分会产生大量高频分量,可以通过傅里叶变换对其高频分量进行提取与处理。
3.图像特征提取:
图像特征主要包括形状特征、纹理特征,其每一种特征的表现频率我们可以依据傅立叶系数进行提取和计算。
另外,对于提取出来的特征还可以进行压缩、移动、筛选等处理。
4.图像压缩:
图像数据对外多表现为连续的数据,这种数据在极小的时域空间中变化值很小,因此,可以借助图像的这个特性使用傅里叶系数来压缩数据。
压缩频率与压缩度的选择可以根据实际需要确定。
5.图像保存:
傅里叶正变换将图像分解为一组越来越小的正交归一图像,具有很高的压缩比仍能够将原始数据完全恢复而不引入任何失真。
当我们希望将一幅图像以一种更紧凑的数据格式进行编码,同时保持数据不丢失时,傅里叶变换是一个很好的工具。
6.图像滤波:
在进行傅里叶变换后,若在反变换之前对变换域进行选择,可对图像进行滤波处理。
7.图像复原:
目标是对退化的图像进行处理,使它复原成没有退化的理想图像。
成像过程的每一个环节(透镜、感光片、数字化)都能引起退化,我们可视具体应用的不同,将损失掉的图像部分恢复过来,以起到很重要的作用。
例如,图像上的污点,我们可以利用信息的相关性,通过傅里叶卷积来达到隐去污点之目的;对于天文现象像太空研究中月球或行星图像的获取,摄取特定信息,利用谱线的相关性,通过频谱分析,再现物体之原貌。
2.3傅里叶变换在图像处理中的应用实例:
1.傅里叶变换的基本处理
源代码:
clear
clc
f=imread('beauty.bmp');
F=fft2(f);%傅氏变换
Fc=fftshift(F);%中心化
Fm=abs(Fc);%取模
G=ifftshift(Fc);%对Fc去中心化
g=ifft2(G);%对G逆变换
%显示
subplot(2,2,1);imshow(f);title('原图像');
subplot(2,2,2);imshow(Fm,[]);title('傅立叶变换中心化图像');
subplot(2,2,3);imshow(log(1+Fm),[]);title('对数变换后中心化图像');
subplot(2,2,4);imshow(g,[]);title('原图像');
2.基于傅里叶变换的频域处理
选择一幅图像,对其进行离散傅立叶变换,观察离散傅立叶频谱
源代码:
clear
clc
%创建一个矩阵f,代表一个二值图像
f=zeros(60,60);
f(10:
48,26:
34)=1;
%计算f的DFT并可视化,得到没有0填充的离散傅里叶变换
F=fft2(f);
F2=log(abs(F));
%计算F的DFT时给它进行0填充,得到有0填充的离散傅里叶变换
F=fft2(f,256,256);
%用fftshift函数交换F的象限,使得0频率系数位于中心位置上
F=fft2(f,256,256);
F2=fftshift(F);
%显示
subplot(2,2,1);imshow(f,'notruesize');
title('原图像');
subplot(2,2,2);imshow(F2,[-15],'notruesize');
title('无0填充的离散傅里叶变换');
subplot(2,2,3);imshow(log(abs(F)),[-15]);
title('有0填充的离散傅里叶变换');
subplot(2,2,4);imshow(log(abs(F2)),[-15]);
title('离散傅里叶变换中心化');
3.基于傅里叶变换的图像重构
将x图的相角与y图的谱重建一幅图像
源程序:
%读入图像
x=imread('monkey.gif');
y=imread('beauty.bmp');
%傅里叶变换
xf=fft2(double(x));
yf=fft2(double(y));
%取幅度和相位
xf1=abs(xf);
xf2=angle(xf);
yf1=abs(yf);
yf2=angle(yf);
%交换相位
xfr=xf1.*cos(yf2)+xf1.*sin(yf2).*i;
yfr=yf1.*cos(xf2)+yf1.*sin(xf2).*i;
%傅里叶反反变换
xr=abs(ifft2(xfr));
yr=abs(ifft2(yfr));
%转换成uint8类型
xr=uint8(xr);
yr=uint8(yr);
%显示
subplot(2,2,1);imshow(x);title('x原图');
subplot(2,2,2);imshow(y);title('y原图');
subplot(2,2,3);imshow(xr,[]);title('x幅度谱与y相位谱');
subplot(2,2,4);imshow(yr,[]);title('y幅度谱与x相位谱');
4.基于傅里叶变换的图像压缩
DCT变换利用傅立叶变换的性质,采用图像边界褶翻将图像变换为偶函数形式,然后对图像进行二维傅立叶变换,变换后仅包含余弦项,所以称之为离散余弦变换。
源程序:
clear;
I=imread('monkey.gif');
Idouble=im2double(I);%将图像转换为双精度格式
T=dctmtx(8);%返回一个8×8的DCT变换矩阵
Id=blkproc(Idouble,[8,8],'P1*x*P2',T,T');%进行DCT变换
M=[11100000
11000000
10000000
00000000
00000000
00000000
00000000
00000000];%保留6个DCT系数重构图像
Icpress=blkproc(Id,[8,8],'P1.*x',M);%压缩数据,只保留左上角低频数据
Iodct=blkproc(Icpress,[8,8],'P1*x*P2',T',T);%DCT反变换,得到压缩后的图像
cha=abs(Idouble-Iodct);
figure
(1);
subplot(121)
imshow(I)
title('原始图像','Fontsize',26);
subplot(122)
imshow(Iodct)
title('压缩图像(保留6个DCT系数)','Fontsize',26);
5.基于傅里叶变换的图像增强
(1)对原始图像f(x,y)进行傅里叶变换得到F(u,v);
(2)将F(u,v)与传递函数H(u,v)进行卷积运算得到g(u,v);
(3)将g(u,v)进行傅里叶逆变换得到增强图像g(x,y)。
源代码:
clearall;
I1=imread('monkey.gif');%转载图像
fftI1=fft2(I1);%二维离散傅立叶变换
sfftI1=fftshift(fftI1);%直流分量移到频谱中心
RR1=real(sfftI1);%取傅立叶变换的实部
II1=imag(sfftI1);%取傅立叶变换的虚部
A1=sqrt(RR1.^2+II1.^2);%计算频谱幅值
A1=(A1-min(min(A1)))/(max(max(A1))-min(min(A1)))*225;%归一化
%显示
subplot(221);imshow(I1,[]);title('原图像');
subplot(222);imshow(A1);title('图像频谱图');
subplot(223);imshow(RR1);title('傅里叶变换实部');
subplot(224);imshow(II1);title('傅里叶变换虚部');
snoise=0.1*randn(size(I1));
I1=imadd(I1,im2uint8(snoise));%受随机噪声干扰
figure,imshow(I1);%显示噪声图像
f=double(I1);%图像存储类型转换
g=fft2(f);%傅立叶变换
g=fftshift(g);%转换数据矩阵
[N1,N2]=size(g);%测量图像尺寸参数
n=2;
d0=50;
n1=fix(N1/2);
n2=fix(N2/2);
fori=1:
N1
forj=1:
N2
d=sqrt((i-n1)^+(j-n2)^2);
h=1/(1+0.414*(d/d0)^(2*n));%计算Butterworth低通转换函数
result(i,j)=h*g(i,j);
end
end
result=ifftshift(result);
X2=ifft2(result);
X3=uint8(real(X2));
%显示
figure;
subplot(121);imshow(I1);title('噪音图像');
subplot(122);imshow(X3);title('频域增强后的图像');
三.结束语
近年来,人们对一些新的变换技术产生了相当浓厚的兴趣,这些新的变换技术是专门面向图像压缩、边缘和特征检测以及纹理分析的。
傅里叶变换很好的理论背景,使其在空间滤波、光学信息处理中发挥着重要作用。
随着图像处理所用的计算机设备不断降价,随着支持傅里叶变换的硬件的出现,对图像处理运算来说,数字图像通过傅里叶一维或二维变换后,其空间域处理可转换为变换域处理,这种变换使算术运算次数大大减少,使得图像的批量处理成为可能,因此,对傅里叶变换在图像处理方面的研究有着深远的应用价值和发展前景。
傅里叶变换在数字图像处理领域将得到进一步发展。
四.参考文献
[1]张勇,数字图像修复关键技术的研究与实现[J]。
安阳师范学院学报,2014
(2):
32-35
[2]赵军芳,傅里叶变换在图像处理中的应用[J]。
国外电子测量技术,2004(6):
1-4
[3]杨帆,数字图像处理与分析[M]。
北京:
北京航空航天大学出版社,2010:
76-77
[4]计算机图形学/孙家广等主编。
3版。
北京:
清华大学出版社。
1998.9
[5]数字图像处理/(美)卡斯尔曼(Castleman,k.R)著;朱志刚等译。
北京:
电子工业出版社。
2002.2
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