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高数第一册习题及答案
高数第一册习题及答案
第一章初等函数及其图形
练习1.1初等函数及其图形
一.确定下列各函数中哪些是偶函数,哪些是奇函数:
x,xf(x),a,a1.();a,0
x,xx,x,,,,,,?
f,x,a,a,fx?
fx,a,a解:
为偶函数.
1,xf(x),ln2.;1,x
1,x1,x1,x解:
,,,,,,,为奇函数.?
fx,ln?
f,x,ln,,ln,,fx1,x1,x1,x
23.f(x),ln(x,1,x)
122,,,,,,,,?
f,x,ln,x,1,x,ln,,lnx,1,x,,fx解:
2x,1,x
2为奇函数.,,,,?
fx,lnx,1,x
二.设f(sinx),3,cos2x,求f(cosx)。
22,,,,?
fsinx,3,cos2x,2,2sinx?
fcosx,2,2cosx解:
f(x),,x,0,x,0三.设f(x)在(0,)上定义,。
求证:
若单调上升,则12xf(x,x),f(x),f(x)。
1212
fx,,,,fx,,,,,,?
gx,x,gx,解:
令gx,,?
单调上升,121xx
,,,,,,gx,x,gxx,x,0,故12212
,,,,,,,,,,,,,,fx,x,x,xgx,x,xgx,x,xgx,x,xgx,xgx1212121122121122
,,,,,fx,fx.12
f(x),arccosx,g(x),sinxf(g(x)),g(f(x))四.设,试求复合函数的定义域和值域,并
作图。
,,,,,,,,,,fgx,arccossinxD,,,.,,R,0,,解:
,,,,,,,,,,,gfx,sinarccosxD,,1,1R,0,1,,.
x,1,x,0,,0xx,,f(x),,求复合函数。
五.设(),f(g(x)),g(f(x))gx,,2,x,x,0xx,0,,
x,1,,1,x,0,,,1,,0xx,,2,,,,,,gfx,,1,x,x,,1,解:
fgx,,,,,,2x,1,x,0,2,,x,x,0,
第二章极限与连续
2.1数列极限
一.填空:
n,12,n|x,1|,,x,1.设,对于任意的正数,当大于正整数[,1]时,,所以N,nnn,1,
4n|x,1|,10;当大于正整数19.999时,。
limx,1N,nnn,,
22,na|a|,x,n|x,1|,,2.设,对于任意的正数,当大于正整数[]时,,N,nnn2,所以。
limx,1nn,,
ncos12,3.对于任意的正整数,存在正整数[],当时,,所以|,0|,,N,n,N,n
n,cos2。
lim,0n,,n
1二.用定义证明lim,0。
2n,,n
11112n,,0,,证.,要使,即,,,只要n,,即.取正整数,,,022,,nn
,,111,0,,N,,则当时,就有,即lim,0.n,N,,22n,,n,n,,
xx,ax,ax,a三.对于数列,若(),(),证明:
k,,k,,n2k2k,1nn,,()。
?
x,a?
,K,Z2k,2K证.,(),,只要,就有;,,,0k,,x,a,,2k112k又
x,a?
,K,Z2k,1,2K,1因(),,只要,就有.取k,,x,a,,2k,1222k,1
n,,x,a,,N,max2K,2K,1,只要,就有,因此有().n,Nx,a,,n12n
2.2函数极限一.填空
0,x,x,,1.极限limf(x),,的定义是:
对于任意的,存在,当时,就M,0,,00,x,x0
有。
,,fx,M
2.极限的定义是:
对于任意的,存在,当时,就有limf(x),,,M,0X,0x,Xx,,
,,fx,,M。
0,x,x,,3.极限limf(x),A的定义是:
对于任意>0,存在,当时,就有,,00,x,x0
。
,,fx,A,,
,4.对于任意的正数,存在正数=,当0,|x,2|,,时,因此,5x,2,12,,5
。
lim(5x,2),12x,2
|x|,,fxf(x),二.求在处的左、右极限,并说明在处的极限是否存在。
x,0x,0x
xxxxxx,lim,lim,1lim,lim,,1?
lim,lim解:
,由于,所以,,,,,,x,0x,0x,0x,0x,0x,0xxxxxx
,,fx在处的极限不存在.x,0
2limx,4三.用定义证明:
。
x,2
2证:
不妨设,即,从而,,x,4,x,2,x,2,5x,21,x,3,,,0x,2,1
,,,2,min1,要使,只要x,2,.于是取,则当x,4,5x,2,,,,,55,,
22limx,4时,就有,因此.x,4,,0,x,2,,x,2
x,x,,fx四.用极限定义证明:
函数当时极限存在的充要条件是左、右极限各自存在且0相等。
,,证:
必要性.若limfx,A,,,当时,就有,,,0,,,00,x,x,,0x,x0
0,x,x,,,,.因而,当时,有,所以;同limfx,A,,,,fx,A,,fx,A,,0,x,x0
0,x,x,,,,时当时,有,所以.limfx,A,,fx,A,,0,x,x0
0,x,x,,,,,,,,,0充分性.若limfx,A,limfx,A.,,当时,就,,,0011,,x,xx,x00
0,x,x,,,,,0有,也,当时,有.取,,,,fx,A,,fx,A,,022
,,,min,,,,则当时,就有.所以,,.limfx,A,,0,x,x,,fx,A,,120x,x0
2.3-2.4极限的运算法则,极限存在准则
一.判断题(正确的结论打“?
”,错误的结论打“×”):
1.若存在,不存在,则不存在。
(?
)limf(x)limg(x)lim[f(x),g(x)]x,xx,xx,x000
,,反证.若存在,则存在,矛盾.lim[f(x),g(x)]limg(x),lim[f(x),g(x),fx]x,xx,xx,x000
2.若,均不存在,则不存在。
limf(x)limg(x)limf(x)g(x)x,xx,xx,x000(×)
1,x,0,1,x,0,,例如:
fx,gx,,,,均不存在,但limf(x)limg(x),,,,,,x,0x,0,1,x,01,x,0,,
,,limf(x)g(x),lim,1,,1x,0x,0
3.,则。
limf(x),Alimf(n),Ax,,,n,,,(?
)
,,,,fx,gx4.若,又limf(x)与limg(x)均存在,则limf(x)>limg(x)。
x,xx,xx,xx,x0000(×)
2121例如.时,,但lim,lim,0,x,0x,,x,,xxxx
5.。
lim|f(x)|,0,limf(x),0x,ax,a
(?
)
二.填空:
xe,b,,lima,1.已知,则_____,_____。
b,x,0(x,a)(x,1)
xxaxae,b(,)(,1)?
,lim,即lim,,0,?
a,0,b,1x,0x,0x(xa)(x1),,b1,eb,
2xaxb,,a,lim,2,则_____,_____。
2.已知b,2x,2xx,,2
由所给极限存在知,,得,又由4,2a,b,0b,,2a,4
2,,,,2,4xaxbxaalim,lim,,2,知a,2,b,,82x,2x,2,13x,,2xx
三.计算题:
2x,6x,8lim1.;2x,4x,5x,4
2xx,,,,xxx,6,8,4,2,22lim,lim,lim,.解:
2x,4x,4x,4,,,,xxx,1,4,13xx,5,4
22lim(x,x,x,x)2.;x,,,
解:
xx2222xxxxlim(,,,),lim,lim,122x,,,x,,,x,,,,,11xxxx,,,x1,,1,,,xx,,
3x,13;limx,1x,1
3xxx1112,,,,,,,limlim解.,,32x,x,1133x1,,,,,xxx11,,,
1,2,?
,nn4.;lim(,)n,,n,22
1,2,?
,nnnn,1n,n1,,lim(,),lim(,),lim,,解.n,,n,,n,,,,n,22nn,222n,42
N1lim5.。
,,N1,2,?
,n,1n
11211,,?
,,2,解.,,,,nn,1,,1,2,?
,nnn,1nn,1,,
2
N1111111,,,,,,,,,,2121,,,,,?
,,,,,,,,,,,,,,,12n223NN1N1,,?
,,,,,,,,,,,,1n,,
N11,,?
lim,lim21,,2,,,N,,N,,nN1,2,?
,,1,,1n,
四.利用极限准则证明以下极限存在,并求极限。
111n,,?
,;1.lim()222n,,n,,n,,n,n,2
n111n,,,,?
,,,解.?
nn()n22222,,,,,,,,,,nnnn2nnn
nn11nnlim,,lim,1lim,,lim,1而,,故22n,,n,,n,,n,,,,nnn,,,,1,1,2nn
111nlim(,,?
,),1222n,,n,n,nn,,,2,
x2.设x=10,,()。
试证数列{}的极限存在,并求此极限。
n,1,2,?
x,6,xn1n,1n
x,xx,10x,x证:
由,,知.假设,则有x,6,x,4kk,111221
nx,x.由数学归纳法知,对一切正整数,有,x,6,x,6,x,xnn,1k,1kk,1k,2
,,xx,0n,1,2,?
x即数列{}单调减少.又显然,,即{}有界.故存在.limxnnnn,,n
2a,6,a令,对两边取极限得,从而有a,a,6,0,limx,ax,6,xnn,1n,,n
?
x,0,?
a,0?
a,3,或,但,故limx,3a,,2nnn,,
2.5两个重要极限
一.求下列极限:
2sinx,sin2x1.;lim3x,0x
x22sinxxx2sin1,cos2sin2解.原式=lim,,lim,,122x,0x,0xxxx,,4,,2,,
sinmx2.lim(为整数);m,nx,,sinnx
解.原式
mtsinm令,x,,t,,,,,mmtmtsin,,1sinmm,nm,nmt,,,,,lim,lim,lim,1,,1nsinntt,0t,0t,0,,sinn,,ntn,,nt,1sin
nt
nxcos(arccos)n3.(为奇数);limx,0x
解.原式
,,,cosn,ns令t,,s,,k,1令令arccosx,tn,2k,1n,12,,cosnt,1sinns2,,2,,,lim,lim,lim,,1ns,0s,0,,cost,sins,,t,2cos,s,,2,,
lim[cosn,1,cosn]4.;n,,,
n1nn1n,,,,lim2sinsin,解.原式=n,,,22
n,1,nsinn,1,nn,1,n1,,2,lim,2sin,0?
n,1,n,,,,,n,,,22n,1,nn,1,n,,
2
2limsin(,n,1)5.。
n,,,
n22,,,,limsin(,n,,n,1,n,),lim,1sin,n,1,n解.原式=,,,,,,nn
2,,,
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