函数应用题40道汇编含答案.docx

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函数应用题40道汇编含答案

函数应用题40道汇编

一．解答题（共40小题）

1．某农机租赁公司共有50台收割机，其中甲型20台，乙型30台，现将这50台联合收割机派往A，B两地区收割水稻，其中30台派往A地区，20台派往B地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如表：

每台甲型收割机的租金

每台乙型收割机的租金

A地区

1800元

1600元

B地区

1600元

1200元

（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y元，求y关于x的函数关系式；

（2）若使农机租赁公司这50台收割机一天所获租金不低于79600元，试写出满足条件的所有分派方案；

（3）农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司50台收割机每天获得租金最高，并说明理由．

2．为响应新农村建设，某村计划对现有旧水渠进行改造，已知旧水渠的横断面是一段抛物线弧，顶点为水渠最底端（如图），渠宽为4m，渠深为2m．

（1）考虑到农村耕地面积的减少，为节约水资源，要减少水渠的过水量，在原水渠内填土，使其成为横断面为等腰梯形的新水渠，新水渠底面与地面平行（不改变渠宽）．问新水渠底宽为多少时，所填土的土方量最少？

（2）考虑到新建果园的灌溉需求，要增大水渠的过水量，现把旧水渠改挖（不能填土）成横断面为等腰梯形的新水渠，使水渠的底面与地面平行（不改变渠深），要使所挖土的土方量最少，请你设计水渠改挖后的底宽，并求出这个底宽．

3．为配合上海迪斯尼游园工作，某单位设计人数的数学模型（n∈N+）：

以f（n）=表示第n时进入人数，以g（n）=表示第n个时刻离开园区的人数；设定以15分钟为一个计算单位，上午9点15分作为第1个计算人数单位，即n=1：

9点30分作为第2个计算单位，即n=2；依此类推，把一天内从上午9点到晚上8点15分分成45个计算单位：

（最后结果四舍五入，精确到整数）．

（1）试计算当天14点到15点这一个小时内，进入园区的游客人数f（21）+f（22）+f（23）+f（24）、离开园区的游客人数g（21）+g（22）+g（23）+g（24）各为多少？

（2）从13点45分（即n=19）开始，有游客离开园区，请你求出这之后的园区内游客总人数最多的时刻，并说明理由：

4．经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂商拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量P万件与促销费用x万元满足P=3﹣（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该批产品P万件还需投入成本10+2P万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．

（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；

（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

5．某公司生产甲，乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需消耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需消耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品利润300元，每桶乙产品利润400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．那么该公司每天如何生产获得利润最大？

最大利润是多少？

（作出图象）

6．某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗的能量为E=cvnT，其中v为进行时相对于水的速度，T为行进时的时间（单位：

h），c为常数，n为能量次级数，如果水的速度为4km/h，该生物探测器在水中逆流行进200km．

（1）求T关于v的函数关系式；

（2）①当能量次级数为2时，求探测器消耗的最少能量；

②当能量次级数为3时，试确定v的大小，使该探测器消耗的能量最少．

7．某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l1、l2，海岸边界MPN近似地看成一条曲线段．为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB，且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P（即直线与曲线相切），如图所示．若曲线段MPN是函数图象的一段，点M到l1、l2的距离分别为8千米和1千米，点N到l2的距离为10千米，点P到l2的距离为2千米．以l1、l2分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy．

（1）求曲线段MPN的函数关系式，并指出其定义域；

（2）求直线AB的方程，并求出公路AB的长度（结果精确到1米）．

8．某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为吨，（0≤t≤24）

（1）从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？

最少水量是多少吨？

（2）若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：

在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象．

9．某公司经销某产品，第x天（1≤x≤30，x∈N*）的销售价格为p=a+|x﹣20|（a为常数）（元∕件），第x天的销售量为q=50﹣|x﹣16|（件），且公司在第18天该产品的销售收入为2016元．

（1）求该公司在第20天该产品的销售收入是多少？

（2）这30天中该公司在哪一天该产品的销售收入最大？

最大收入为多少？

10．某公司生产的某批产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足P=（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本6（P+）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+）元/件．

（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；

（2）促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？

11．在一次水下考古活动中，潜水员需潜入水深为30米的水底进行作业．其用氧量包含以下三个方面：

①下潜时，平均速度为每分钟x米，每分钟的用氧量为升；②水底作业需要10分钟，每分钟的用氧量为0.3升；③返回水面时，速度为每分钟米，每分钟用氧量为0.2升；设潜水员在此次考古活动中的总用氧量为y升．

（1）将y表示为x的函数；

（1）若x∈[4，8]，求总用氧量y的取值范围．

12．某公司经过测算投资x百万元，投资项目A与产生的经济效益y之间满足：

y=f（x）=﹣+2x+12，投资项目B产生的经济效益y之间满足：

y=h（x）=﹣+4x+1．

（1）现公司共有1千万资金可供投资，应如何分配资金使得投资收益总额最大？

（2）投资边际效应函数F（x）=f（x+1）﹣f（x），当边际值小于0时，不建议投资，则应如何分配投资？

13．某企业参加A项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元．根据现实的需要，从A项目中调出x人参与B项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润10（a﹣）万元（a＞0），A项目余下的工人每年创造利润需要提高0.2x%．

（1）若要保证A项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B项目从事售后服务工作？

（2）在

（1）的条件下，当从A项目调出的人数不能超过总人数的40%时，才能使得A项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a的取值范围．

14．已知某城市2015年底的人口总数为200万，假设此后该城市人口的年增长率为1%（不考虑其他因素）．

（1）若经过x年该城市人口总数为y万，试写出y关于x的函数关系式；

（2）如果该城市人口总数达到210万，那么至少需要经过多少年（精确到1年）？

15．上海磁悬浮列车工程西起龙阳路地铁站，东至浦东国际机场，全线长35km．已知运行中磁悬浮列车每小时所需的能源费用（万元）和列车速度（km/h）的立方成正比，当速度为100km/h时，能源费用是每小时0.04万元，其余费用（与速度无关）是每小时5.12万元，已知最大速度不超过C（km/h）（C为常数，0＜C≤500）．

（1）求列车运行全程所需的总费用y与列车速度v的函数关系，并求该函数的定义域；

（2）当列车速度为多少时，运行全程所需的总费用最低？

16．经市场调查，某商品每吨的价格为x（1＜x＜14）百元时，该商品的月供给量为y1万吨，y1=ax+a2﹣a（a＞0）；月需求量为y2万吨，y2=﹣x2﹣x+1．当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量．该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积．

（1）若a=，问商品的价格为多少时，该商品的月销售额最大？

（2）记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格，若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，求实数a的取值范围．

17．某种产品具有一定时效性，在这个时期内，由市场调查可知：

每件产品获利a元，在不作广告宣传的前提下可卖出b件；若作广告宣传，广告费为n+1（n∈N）千元时比广告费为n千元时多卖出件，设作n（n∈N）千元广告时销售量为Cn件．

（1）试写出销售量Cn与n（n∈N）的函数关系式．

（2）当a=10，b=4000时，厂家应作几千元广告，才能获取最大利润？

18．某工厂生产某种黑色水笔，每百支水笔的成本为30元，并且每百支水笔的加工费为m元（其中m为常数，且3≤m≤6）．设该工厂黑色水笔的出厂价为x元/百支（35≤x≤40），根据市场调查，日销售量与ex成反比例，当每百支水笔的出厂价为40元时，日销售量为10万支．

（1）当每百支水笔的日售价为多少元时，该工厂的利润y最大，并求y的最大值．

（2）已知工厂日利润达到1000元才能保证工厂的盈利．若该工厂在出厂价规定的范围内，总能盈利，则每百支水笔的加工费m最多为多少元？

（精确到0.1元）

19．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=（万元）．当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．

（Ⅰ）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；

（Ⅱ）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

20．为了提高产品的年产量，某企业拟在2013年进行技术改革，经调查测算，产品当年的产量x万件与投入技术改革费用m万元（m≥0）满足x=3﹣（k为常数）．如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件．已知2013年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．由于市场行情较好，厂家生产均能销售出去，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍（生产成本包括固定投入和再投入两部分资金）

（1）试确定k的值，并将2013年该产品的利润y万元表示为技术改革费用m万元的函数（利润=销售金额﹣生产成本﹣技术改革费用）；

（2）该企业2013年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

并求出最大利润．

21．我国发射的天宫一号飞行器需要建造隔热层．已知天宫一号建造的隔热层必须使用20年，每厘米厚的隔热层建造成本是6万元，天宫一号每年的能源消耗费用C（万元）与隔热层厚度x（厘米）满足关系式：

，若无隔热层，则每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和．

（I）求C（x）和f（x）的表达式；

（II）当隔热层修建多少厘米厚时，总费用f（x）最小，并求出最小值．

22．某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x万件，需另投入的成本为C（x）（单位：

万元），当年产量小于80万件时，C（x）=x2+10x；当年产量不小于80万件时，C（x）=51x+﹣1450．假设每万件该产品的售价为50万元，且该厂当年生产的该产品能全部销售完．

（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数关系式；

（2）年产量为多少万件时，该厂在该产品的生产中所获利润最大？

最大利润是多少？

23．某厂生产一种机器的固定成本（即固定收入）为0.5万元，但每生产一台，需要增加可变