普通高等学校招生全国统一考试湖南卷数学试题理科解析版.docx
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普通高等学校招生全国统一考试湖南卷数学试题理科解析版
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2010年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)
数学(理工农医类)
本试题包括选择题、填空题和解答题三部分,共6页.时量120分钟,满分150分.
1
参考公式:
锥体的体积公式为V=
Sh,其中S是锥体的底面积,h是锥体的高.
3
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的]
1.已知集合M={1,2,3},N={2,3,4},则
A.M⊆N
B.N⊆M
C.M⋂N={2,3}
D.M⋃N{1,4}
【答案】C
【解析】MN={1,2,3}{2,3,4}={2,3}故选C.
2.下列命题中的假.命.题.是()
A.∀x∈R,2x-1>0
B.∀x∈N*,(x-1)2>0
C.∃x∈R,lgx<1D.∃x∈R,tanx=2
【答案】B
【解析】对于B选项x=1时,(x-1)2=0,故选B.
⎧x=-1-t
⎩
3、极坐标方程ρ=cosθ和参数方程⎨y=2+3t(t为参数)所表示的图形分别是()
A、圆、直线B、直线、圆C、圆、圆D、直线、直线
4、在Rt∆ABC中,∠C=90°AC=4,则AB∙AC等于()
A、-16B、-8C、8D、16
5、⎰41dx等于()
2x
A、-2ln2
B、2ln2C、-ln2
D、ln2
6、在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若∠C=120°,c=
2a,则()
A、a>bB、a 【命题意图】本题考查余弦定理,特殊角的三角函数值,不等式的性质,比较法,属中档题。 7.在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字也许重复)表示一个信息,不同排列表示 不同信息,若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 () A.10B.11C.12D.15 【答案】B 4 【解析】与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类: 第一类: 与信息0110有两个对应位置上的数字相同有C2=6(个) d版+微信“hehezmv” 1 8.表示a,b两数中的最小值。 若函数 的图像关于直线x=-对 2 称,则t的值为() A.-2B.2C.-1D.1 【答案】D 【解析】由下图可以看出,要使函数 的图像关于直线x=-1对 2 称,则t=1. 【命题意图】本题通过新定义考察学生的创新能力, 考察函数的图象,考察考生数形结合的能力,属中档题。 二、填空题: 本大题共7小题,每小题5分,共35分.把答案填在答.题.卡.对应题号后的横线上。 9.已知一种材料的最佳加入量在110g到210g之间,若用0.618法安排试验,则第一次试点的加入量可以是g. 【答案】171.8或148.2 【解析】根据0.618法,第一次试点加入量为 110+(210-110)⨯0.618=171.8 或210-(210-110)⨯0.618=148.2 【命题意图】本题考察优选法的0.618法,属容易题。 图1 10.如图1所示,过O外一点P作一条直线与O交于A,B两点,已知PA=2,点P到O的切线长PT=4,则弦AB的长为. 【答案】6 【解析】根据切线长定理 2PT216 PT=PAPB,PB===8 PA2 所以AB=PB-PA=8-2=6 【命题意图】本题考察平面几何的切线长定理,属容易题。 11.在区间[-1,2]上随机取一个数x,则|x|≤1的概率为. 2 【答案】 3 1-(-1)2 【解析】P(|x|≤1)= = 2-(-1)3 【命题意图】本题考察几何概率,属容易题。 12.图2是求12+22+32+…+1002的值的程序框图,则正整数n=. 图2 13.图3中的三个直角三角形是一个体积为20cm3 的几何体的三视图,则h=cm. 14.过抛物线x2=2py(p>0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A,B两点,A,B在x轴上 的正射影分别为D,C.若梯形ABCD的面积为12,则p=. 【解析】抛物线的焦点坐标为F(0,p),则过焦点斜率为1的直线方程为y=x+p, 22 设A(x1,y1),B(x2,y2)(x2>x1),由题意可知y1>0,y2>0 ⎧y=x+p 由⎪2,消去y得x2-2px-2p2=0, ⎪⎩x2=2py 由韦达定理得,x+x=2p,xx =-p2 1212 所以梯形ABCD的面积为: S=1(y+y)(x-x)=1(x+x+p)(x-x) 2122121221 =13P (x+x)2-4xx=13P 4p2+4p2 2 =32p2 12122 所以32p2=122,又p>0,所以p=2 【命题意图】本题考查抛物线的焦点坐标,直线的方程,直线与抛物线的位置关系,考察考生的运算能力,属中档题 15.若数列{a}满足: 对任意的n∈N*,只有有限个正整数m使得a<n成立,记这样的m的个 nm 数为(a)*,则得到一个新数列{(a)*}.例如,若数列{a}是1,2,3…,n,…,则数列{(a)*}是 0,1,2,…,n-1,….已知对任意的n∈N*,a=n2,则(a)*=,((a)*)*=. n5n 【答案】2,n2 【解析】因为am<5,而an =n2,所以m=1,2,所以(a)*=2. 5 1 因为(a)*=0, 234 (a)*=1,(a)*=1,(a)*=1, 56789 (a)*=2,(a)*=2,(a)*=2,(a)*=2,(a)*=2, (a)*=3,(a)*=3,(a)*=3,(a)*=3,(a)*=3,(a)*=3,(a )*=3, 10111213141516 所以((a)*)*=1,((a)*)*=4,((a)*)*=9,((a)*)*=16, 1234 n 猜想((a)*)*=n2 【命题意图】本题以数列为背景,通过新定义考察学生的自学能力、创新能力、探究能力,属难题。 三、解答题: 本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)已知函数f(x)= (Ⅰ)求函数f(x)的最大值; (II)求函数f(x)的零点的集合。 3sin2x-2sin2x. 33 P(X=0)=C0⨯0.93=0,729,P(X=1)=C1⨯0.1⨯0.92=0,243 33 P(X=2)=C2⨯0.12⨯0.9=0,027,P(X=3)=C3⨯0.13=0,001 故随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.729 0.243 0.027 0.001 X的数学期望为EX=3⨯0.1=0.3 【命题意图】本题考查频率分布直方图、二项分布、离散型随机变量的分布列与数学期望。 属中档题 18.(本小题满分12分) 如图5所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱DD1的中点。 (Ⅰ)求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值; A1D1 B1C1E AD BC 图5 (Ⅱ)在棱C1D1上是否存在一点F,使B1F//平面A1BE? 证明你的结论。 【解析】 所以x=z,y=1z,取z=2,得n=(2,1,2). 2 设F是棱C1D1上的点,则F(t,1,1)(0≤t≤1),又B1(1,0,1),所以 B1F=(t-1,1,0),而B1F⊄平面A1BE,于是 B1F//平面A1BE⇔B1Fn=0⇔(t-1,1,0)(2,1,2)=0⇔2(t-1)+1=0 ⇔t=2⇔F为C1D1的中点。 这说明在在棱C1D1上是否存在一点F(C1D1的中点),使B1F//平面A1BE 解法2如图(a)所示,取AA1的中点M,连结EM,BM,因为E是DD1的中点,四边形ADD1A1 为正方形,所以EM//AD。 又在正方体ABCD-A1B1C1D1中。 AD⊥平面ABB1A1,所以EM⊥ABB1A1,从而BM为直线BE 在平面ABB1A1上的射影,∠EBM直线BE与平面ABB1A1所成的角. 设正方体的棱长为2,则EM=AD=2,BE= 22+21+12=3,于是 在RT△BEM中,sin∠EBM=EM=2 BE3 19.(本小题满分13分) 为了考察冰川的融化状况,一支科考队在某冰川上相距8km的A,B两点各建一个考察基地.视冰川面为平面形,以过A,B两点的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系 (图6).在直线x=2的右侧,考察范围为到点B的距离不超过 km的区域;在直线x=2的 5 左侧,考察范围为到A,B两点的距离之和不超过4 (Ⅰ)求考察区域边界曲线的方程; km的区域. (Ⅱ)如图6所示,设线段P1P2,P2P3是冰川的部分边界线(不考虑其他边界),当冰川融化时,边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动,第一年移动0.2km,以后每年移动的距离为前一年的2倍,求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间. 化区域 P(-83,6)y P(8,6) 233 融 已冰 P1(-53,-1) A(-4,0)O B(4,0)x 川 x=2 【解析】(Ⅰ)设边界曲线上点P的坐标为(x,y).当x≥2时,由题意知(x-4)2+y2=36 5 当x<2时,由|PA|+|PB|=4 5知,点P在以A,B焦点,长轴长为2a=45
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