八年级数学竞赛培优专题及答案15 多边形的边与角.docx
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八年级数学竞赛培优专题及答案15多边形的边与角
专题15 多边形的边与角
阅读与思考
两个几何图形的全等是指两个图形之间的一种关系,其中最基本的关系是两个图形的点的对应关系,以及对应边之间、对应角之间的相等关系.全等三角形是研究三角形、四边形等图形性质的主要工具,是解决有关线段、角等问题的一个出发点,证明线段相等、线段和差相等、角相等、两直线位置关系等问题总要直接或间接用到全等三角形,我们把这种应用全等三角形来解决问题的方法称为全等三角形法.
我们实际遇到的图形,两个全等三角形并不重合在一起,而是处于各种不同的位置,但其中一个是由另一个经过平移、翻折、旋转等变换而成的.了解全等变换的这几种形式,有助于发现全等三角形、确定对应元素.善于在复杂的图形中发现、分解、构造基本的全等三角形是解题的关键,应熟悉涉及有关会共边、公共角的以下两类基本图形:
例题与求解
【例1】考查下列命题:
①全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等;
②两边和其中一边上的中线(或第三边上的中线)对应相等的两个三角形全等;
③两角和其中一角的角平分线(或第三角的角平分线)对应相等的两个三角形全等;
④两边和其中一边上的高(或第三边上高)对应相等的两个三角形全等.
其中正确命题的个数有( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
(山东省竞赛试题)
解题思路:
真命题给出证明,假命题举出一个反例.
【例2】如图,已知BD、CE是△ABC的高,点P在BD的延长线上,BP=AC,点Q在CE上,CQ=AB.
求证:
(1)AP=AQ;
(2)AP⊥AQ.
(第十六届江苏省竞赛试题)
解题思路:
(1)证明对应的两个三角形全等;
(2)证明∠PAQ=90°.
【例3】如图,已知为AD为△ABC的中线,求证:
AD<
.
(陕西省中考试题)
解题思路:
三角形三边关系定理是证明线段不等关系的基本工具,关键是设法将AB,AC,AD集中到同一个三角形中,从构造2AD入手.
【例4】如图,已知AC∥BD,EA、EB分别平分∠CAB、∠DBA,CD过点E.
求证:
AB=AC+BD.
(“希望杯”邀请赛试题)
解题思路:
本例是线段和差问题的证明,截长法(或补短法)是证明这类问题的基本方法,即在AB上截取AF,使AF=AC,以下只要证明FB=BD即可,于是将问题转化为证明两线段相等.
【例5】如图1,CD是经过∠BCA顶点C的一条直线,CA=CB,E,F分别是直线CD上两点,且∠BEC=∠CFA=∠
.
(1)若直线CD经过∠BCA内部,且E,F在射线CD上,请解决下面两个问题:
①如图2,若∠BCA=90°,∠
=90°,则BE____CF,EF____
(填“>”、“<”或“=”);
②如图3,若0°<∠BCA<180°,请添加一个关于∠
与∠BCA关系的条件____,使①中的两个结论仍然成立,并证明这两个结论;
(2)如图4,若直线CD经过∠BCA的外部,∠
=∠BCA,请提出EF,BE、AF三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明).
(台州市中考试题)
解题思路:
对于②,可用①进行逆推,寻找△BCE≌△CAF应满足的条件.对于
(2)可用归纳类比方法提出猜想.
【例6】如图,在四边形ABCD中,∠ACB=∠BAD=105°,∠ABC=∠ADC=45°.
求证:
CD=AB.
(天津市竞赛试题)
解题思路:
由已知易得∠CAB=30°,∠GAC=75°,∠DCA=60°,∠ACB+∠DAC=180°,由特殊度数可联想到特殊三角形、共线点等.
能力训练
A级
1.如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=40,AD是∠BAC的平分线交BC于D,且DC︰DB=3︰5,则点D到AB的距离是____.
2.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,分别过B,C作经过点A的直线的垂线BD,CE,若BD=3cm,CE=4cm,则DE=____.
3.如图,△ABE和△ACF分别是以△ABC的边AB、AC为边的形外的等腰直角三角形,CE和BF相交于O,则∠EOB=____.
4.如图,四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,若AC平分∠DAB,且AB=AE,AC=AD.有如下四个结论:
①AC⊥BD;②BC=DE;③∠DBC=
∠DAB;④△ABE是等边三角形.请写出正确结论的序号____.(把你认为正确结论的序号都填上)
(天津市中考试题)
5.如图,点E在△ABC外部,点D在BC边上,DE交AC于F,若∠1=∠2=∠3,AC=AE,则( )
A.△ABD≌△AFDB.△AFE≌△ADC
C.△AFE≌△DFCD.△ABC≌△ADE
6.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB交BC于D,DE⊥AB于E.若AB=6cm,则△DEB的周长为( )
A.5cmB.6cmC.7cmD.8cm
7.如图,从下列四个条件:
①BC=B'C;②AC=A′C;③∠A′CA=∠B′CB;④AB=A′B′中,任取三个为题设,余下的一个为结论,则最多可以构成的正确命题的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
(北京市东城区中考试题)
8.如图1,在锐角△ABC中,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,AD与BE交于F,且BF=AC.
(1)求证:
ED平分∠FEC;
(2)如图2,若△ABC中,∠C为钝角,其他条件不变,
(1)中结论是否仍然成立?
若不成立,请说明理由;若成立,请给予证明.
9.在等腰Rt△AOB和等腰Rt△DOC中,∠AOB=∠DOC=90°,连AD,M为AD中点,连OM.
(1)如图1,请写出OM与BC的关系,并说明理由;
(2)将图1中的△COD旋转至图2的位置,其他条件不变,
(1)中结论是否成立?
请说明理由.
10.如图,已知∠1=∠2,EF⊥AD于P,交BC延长线于M.
求证:
∠M=
.(天津市竞赛试题)
11.如图,已知△ABC中,∠A=60°,BE,CD分别平分∠ABC,∠ACB,P为BE,CD的交点.
求证:
BD+CE=BC.
12.如图,已知点D为等腰直角△ABC内一点,∠CAD=∠CBD=15°,E为AD延长线上的一点,且CE=CA.
(1)求证:
DE平分∠BDC;
(2)若点M在DE上,且DC=DM,求证:
ME=BD.
(日照市中考试题)
B级
1.在△ABC中,高AD和BE交于H点,且BH=AC,则∠ABC=____.
(武汉市竞赛试题)
2.在△ABC中,AD为BC边上的中线,若AB=5,AC=3,则AD的取值范围是____.
(“希望杯”竞赛试题)
3.如图,在△ABC中,AB>AC,AD是角平分线,P是AD上任意一点,在AB
AC与BP
PC两式中,较大的一个是____.
4.如图,已知AB∥CD,AC∥DB,AD与BC交于O,AE⊥BC于E,DF⊥BC于F,那么图中全等的三角形有( )
A.5对B.6对C.7对D.8对
5.如图,AD是△ABC的中线,E,F分别在AB,AC上,且DE⊥DF,则( )
A.BE+CF>EFB.BE+CF=EF
C.BE+CF<EFD.BE+CF与的大小关系不确定
(第十五届江苏省竞赛试题)
6.如果两个三角形的两条边和其中一边上的高分别对应相等,那么这两个三角形的第三边所对的角( )
A.相等B.不相等C.互余D.互补或相等
(北京市竞赛试题)
7.如图,在△ABE和△ACD中,给出以下四个论断:
①AB=AC;②AD=AE;③AM=AN;④AD⊥DC,AE⊥BE.以其中三个论断为题设,填入下面的“已知”栏中,一个论断为结论,填入下面的“求证”栏中,使之组成一个真命题,并写出证明过程.
已知:
___________________.
求证:
___________________.
(荆州市中考试题)
8.如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,过C作CE⊥AB于E,并且AE=
,求∠ABC+∠ADC的度数.(上海市竞赛试题)
9.在四边形ABCD中,已知AB=
,AD=6,且BC=DC,对角线AC平分∠BAD,问
与
的大小符合什么条件时,有∠B+∠D=180°,请画出图形并证明你的结论.
(河北省竞赛试题)
10.如图,在△ABC中,∠ABC=60°,AD,CE:
分别平分∠BAC,∠ACB.
求证:
AC=AE+CD.
(武汉市选拔赛试题)
11.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AP,CQ分别平分∠BAC,∠BCA.AP交CQ于I,连PQ.
求证:
为定值.
12.在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD丄MN于O,BE⊥MN于E.
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:
DE=AD+BE;
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,求证:
DE=AD
BE;
(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,试问:
DE,AD,BE有怎样的等量关系?
请写出这个等
量关系,并加以证明.(海口市中考试题)
13.CD是经过∠BCA顶点C的一条直线,CA=CB,E,F分别是直线CD上两点,且∠BEC=∠CFA=∠
.
(1)若直线CD经过∠BCA内部,且E,F在射线CD上,请解决下面两个问题:
①如图1,若∠BCA=90°,∠
=90°,则BE____CF,EF____
(填“>”、“<”或“=”);
②如图2,若0°<∠BCA<180°,请添加一个关于∠
与∠BCA关系的条件____,使①中的两个结论仍然成立,并证明这两个结论;
(2)如图3,若直线CD经过∠BCA的外部,∠
=∠BCA,请提出EF,BE、AF三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明).
(台州市中考试题)
专题15全等三角形
例1C命题③、④是假命题例2证明△ABP≌△AQC
例3提示:
延长AD至E,使DE=AD,连结BE,则△ACD≌△EBD
例4如图,在AB上截取AF,使AF=AC,连结EF由△ACE≌△AFE,得∠C=∠AFE.
∵AC//BD,∴∠C+∠D=180°而∠5+∠AFE=180°,则∠5=∠D.在△BFE≌△BDE中,
∵∠5=∠D,∠3=∠4,BE=BE∴△BFE≌△BDE,得BF=BD.∴AB=AF+BF=AC+BD.
例5
(1)①=,=②∠a+∠BCA=180°,先证明∠BCE=∠CAF,再证△BCE≌△CAF
(2)EF=BE+AF
例6如图,过点A作AE丄AB交BC的延长线于点E,则AB=AE,∠E=∠D
在△ADC与△CEA中∵
∴△ADC≌△CEA得CD=AE=AB.
A级
1.152.7cm3.90°4.②③5.D6.B7.B
8.
(1)如图,先证∠DBF=∠DAC,再证△BDF≌△ADC.最后由D点作DS丄BF于S,DT丄AC于T,由S△BDF=S△ADC,可知DS=DT∴ED平分∠FEC
(2)类比
(1)可证.
9.
(1)2OM=BC理由如下:
延长OM至N,使OM=NM,连DN,可先证:
△OMA≌△NMD再证△COB≌△ODN.∴ON=BC即2OM=BC
(2)类比
(1)可证2OM=BC
10.提示:
△AEP≌△AFP,∠M=∠ACB-∠MFC=∠ACB-∠AFE=∠ACB-(∠ABC+∠M)
11.在BC上截取BF=BD,则△BDP≌△BPF以下只要证明CF=CE,充分利用角平分线构造全等三角形.∵∠BPC=90°+
∠A=120°,∴∠BPD=∠BPF=∠CPF=∠CPE60°,又∠1=∠2,CP=CP,∴△CPF≌△CPE,得CF=CE.故BC=BF+CF=BD+CE
12.
(1)略
(2)连CM,证明△CBD≌△CEM.
B级
1.45°或135°提示:
对高的位置进行讨论2.1<AD<43.AB-AC4.C
5.A提示:
延长ED到G,DG=ED,连结CG6.D提示:
符合条件的两个三角形不一定全等
7..略
8.如图,作CF丄AD,AB+AD=2AE=AE+AF∴AB-AE=AF-AD.即BE=DF.
∴Rt△CBE≌Rt△CDF,得∠ABC=∠CDF.∴∠ABC+∠ADC=∠CDF+∠ADC=180°.
9.
(1)a≠b,不妨设a>b,如图所示,在AB上截取AE=AD,连结EC,则△ADC≌△AEC
∴∠AEC=∠D,CE=CD=CB,∴∠B+∠D=∠CEB+∠AEC=180°,
(2)当a=b,则△ACD≌△ABC,得∠D=∠B.欲使∠D+∠B=180°,则需∠D=∠B=90°,所以当a≠b时,一定有∠B+∠D=180°;当a=b时,只有∠D=∠B=90°,才有∠B+∠D=180°.
10.提示:
如图作∠AOC平分线OF交AC于F,由∠ABC=60°,AD,CE分别平分∠BAC,∠ACB,可证:
∠AOC=120°,∴∠AOE=∠AOF=∠COD=60°.∴可证△AEO≌△AFO,△CFO≌△CDO,∴AC=AE+CD.
11.在AC是截取CP=CD,连ID,在AC上截取AE=AQ,连IE,过P作PN⊥CQ于N,过D作DM⊥IE于M,易证:
△CPI≌△CDI,△AQI≌△AEI,由题意可证:
∠AIC=90+
∠B=135°,∴∠CIP=∠CID=∠AIQ=∠AIE=∠DIE=45°,再证△PIN≌△DMI,∴PN=DM,
∴
,
,∴
,∴
12.
(1)先证明△ADC≌△CEB,从而AD=CE,DC=BE,DE=AD+BE.
(2)同
(1)(3)DE=CD-EC=BE-AD
13.
(1)①=;=②
,先证明∠B=∠ACF,再证明△BCE≌△CAF.
(2)EF=BE+AF.
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