初等数论练习题.docx
- 文档编号:1232808
- 上传时间:2022-10-19
- 格式:DOCX
- 页数:14
- 大小:89.86KB
初等数论练习题.docx
《初等数论练习题.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《初等数论练习题.docx(14页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
初等数论练习题
初等数论练习题
信阳职业技术学院
2010年12月
初等数论练习题一
一、填空题
1、d(2420)=___________;(2420)=___________。
2、设a,n是大于1的整数,若an-1是质数,则a=___________。
3、模9的绝对最小完全剩余系是___________。
4、同余方程9x+12≡0(mod37)的解是__________。
5、不定方程18x-23y=100的通解是___________。
6、分母是正整数m的既约真分数的个数为_______。
7、18100被172除的余数是___________。
8、=___________。
9、若p是素数,则同余方程xp-1≡1(modp)的解数为。
二、计算题
1、解同余方程:
3x2+11x-20≡0(mod105)。
2、判断同余方程x2≡42(mod107)是否有解?
3、求(127156+34)28除以111的最小非负余数。
三、证明题
1、已知p是质数,(a,p)=1,证明:
(1)当a为奇数时,ap-1+(p-1)a≡0(modp);
(2)当a为偶数时,ap-1-(p-1)a≡0(modp)。
2、设a为正奇数,n为正整数,试证≡1(mod2n+2)。
3、设p是一个素数,且1≤k≤p-1。
证明:
≡(-1)k(modp)。
4、设p是不等于3和7的奇质数,证明:
p6≡1(mod84)。
初等数论练习题二
一、填空题
1、d(1000)=__________;σ(1000)=__________。
2、2010!
的标准分解式中,质数11的次数是__________。
3、费尔马(Fermat)数是指Fn=+1,这种数中最小的合数Fn中的n=_________。
4、同余方程13x≡5(mod31)的解是__________。
5、分母不大于m的既约真分数的个数为_________。
6、设7∣(80n-1),则最小的正整数n=__________。
7、使41x+15y=C无非负整数解的最大正整数C=__________。
8、=__________。
9、若p是质数,n∣p-1,则同余方程xn≡1(modp)的解数为。
二、计算题
1、试求被19除所得的余数。
2、解同余方程3x14+4x10+6x-18≡0(mod5)。
3、已知a=5,m=21,求使ax≡1(modm)成立的最小自然数x。
三、证明题
1、试证13|(54m+46n+2000)。
(提示:
可取模13进行计算性证明)。
2、证明Wilson定理的逆定理:
若n>1,并且(n-1)!
≡-1(modn),则n是素数。
3、证明:
设ps表示全部由1组成的s位十进制数,若ps是素数,则s也是一个素数。
4、证明:
若2p+1是奇素数,则(p!
)2+(-1)p≡0(mod2p+1)。
5、设p是大于5的质数,证明:
p4≡1(mod240)。
初等数论练习题三
一、单项选择题
1、若n>1,ϕ(n)=n-1是n为质数的()条件。
A.必要但非充分条件B.充分但非必要条件
C.充要条件D.既非充分又非必要条件
2、设n是正整数,以下各组a,b使为既约分数的一组数是( )。
A.a=n+1,b=2n-1B.a=2n-1,b=5n+2C.a=n+1,b=3n+1D.a=3n+1,b=5n+2
3、使方程6x+5y=C无非负整数解的最大整数C是( )。
A.19B.24C.25D.30
4、不是同余方程28x≡21(mod35)的解为( )。
A.x≡2(mod35)B.x≡7(mod35)C.x≡17(mod35)D.x≡29(mod35)
5、设a是整数,
(1)a≡0(mod9)
(2)a≡2010(mod9)
(3)a的十进位表示的各位数码字之和可被9整除
(4)划去a的十进位表示中所有的数码字9,所得的新数被9整除
以上各条件中,成为9|a的充要条件的共有( )。
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题
1、σ(2010)=__________;(2010)=__________。
2、数的标准分解式中,质因数7的指数是__________。
3、每个数都有一个最小质因数.所有不大于10000的合数的最小质因数中,最大者是___。
4、同余方程24x≡6(mod34)的解是__________。
5、整数n>1,且(n-1)!
+1≡0(modn),则n为_______(填:
素数或合数)。
6、3103被11除所得余数是__________。
7、=__________。
三、计算题
1、判定(ⅰ)2x3-x2+3x-1≡0(mod5)是否有三个解;
(ⅱ)x6+2x5-4x2+3≡0(mod5)是否有六个解?
2、设n是正整数,求的最大公约数。
3、已知a=18,m=77,求使ax≡1(modm)成立的最小自然数x。
四、证明题
1、若质数p≥5,且2p+1是质数,证明:
4p+1必是合数。
2、设p、q是两个大于3的质数,证明:
p2≡q2(mod24)。
3、若x,y∈R+,
(1)证明:
[xy]≥[x][y];
(2)试讨论{xy}与{x}{y}的大小关系。
注:
我们知道,[x+y]≥[x]+[y],{x+y}≤{x}+{y}。
此题把加法换成乘法又如何呢?
4、证明:
存在一个有理数,其中d<100,能使
=。
(提示:
由(73,100)=1,利用裴蜀恒等式来证明)
初等数论练习题四
一、单项选择题
1、若Fn=是合数,则最小的n是()。
A.2B.3C.4D.5
2、记号ba‖a表示ba|a,但ba+1a.以下各式中错误的一个是()。
A.218‖20!
B.105‖50!
C.119‖100!
D.1316‖200!
3、对于任意整数n,最大公因数(2n+1,6n-1)的所有可能值是()。
A.1B.4C.1或2D.1,2或4
4、设a是整数,下面同余式有可能成立的是()。
A.a2≡2(mod4)B.a2≡5(mod7)C.a2≡5(mod11)D.a2≡6(mod13)
5、如果a≡b(modm),c是任意整数,则下列错误的是( )
A.ac≡bc(modmc)B.m|a-bC.(a,m)=(b,m)D.a=b+mt,t∈Z
二、填空题
1、d(10010)=_________;φ(10010)=_________。
2、对于任意一个自然数n,为使自N起的n个相继自然数都是合数,可取N=_________。
3、为使3n-1与5n+7的最大公因数达到最大的可能值,则整数n应满足条件________。
4、在5的倍数中,选择尽可能小的正整数来构成模12的一个简化系,则这组数是______。
5、同余方程26x+1≡33(mod74)的解是_________。
6、不定方程5x+9y=86的正整数解是_________。
7、=_________。
三、计算题
1、设n的十进制表示是,若792∣n,求x,y,z。
2、求3406的末二位数。
3、求(214928+40)35被73除所得余数。
四、证明题
1、设a1,a2,,am是模m的完全剩余系,证明:
(1)当m为奇数时,a1+a2++am≡0(modm);
(2)当m为偶数时,a1+a2++am≡(modm)。
2、证明:
若m>2,a1,a2,,aϕ(m)是模m的任一简化剩余系,则
3、设m>0是偶数,{a1,a2,,am}与{b1,b2,,bm}都是模m的完全剩余系,证明:
{a1+b1,a2+b2,,am+bm}不是模m的完全剩余系。
4、证明:
(1)2730∣x13-x;
(2)24∣x(x+2)(25x2-1);
(3)504∣x9-x3;
(4)设质数p>3,证明:
6p∣xp-x。
初等数论练习题五
一、单项选择题
1、设x、y分别通过模m、n的完全剩余系,若()通过模mn的完全剩余系。
A.m、n都是质数,则my+nxB.m≠n,则my+nx
C.(m,n)=1,则my+nxD.(m,n)=1,则mx+ny
2、1×3×5×…×2003×2005的标准分解式中11的幂指数是()。
A.100B.101C.99D.102
3、n为正整数,若2n-1为质数,则n是()。
A.质数B.合数C.3D.2k(k为正整数)
4、从100到500的自然数中,能被11整除的数的个数是()。
A.33B.34C.35D.36
5、模100的最小非负简化剩余系中元素的个数是()。
A.100B.10C.40D.4
二、填空题
1、同余方程ax+b≡0(modm)有解的充分必要条件是______。
2、高斯称反转定律是数论的酵母,反转定律是指____________。
3、20112011被3除所得的余数为______。
4、设n是大于2的整数,则(-1)(n)=______。
5、单位圆上的有理点的坐标是____________。
6、若3258×a恰好是一个正整数的平方,则a的最小值为______。
7、=_________
三、计算题
1、求32008×72009×132010的个位数字。
2、求满足ϕ(mn)=ϕ(m)+ϕ(n)的互质的正整数m和n的值。
3、甲物每斤5元,乙物每斤3元,丙物每三斤1元,现在用100元买这三样东西共100斤,问各买几斤?
四、证明题
1、已知2011是质数,则有2011|。
2、设p是4n+1型的质数,证明若a是p的平方剩余,则p-a也是p的平方剩余.
3、已知p,q是两个不同的质数,且ap-1≡1(modq),aq-1≡1(modp),
证明:
apq≡a(modpq)。
4、证明:
若m,n都是正整数,则ϕ(mn)=(m,n)ϕ([m,n])。
初等数论练习题六
一、填空题
1、为了验明2011是质数,只需逐个验算质数2,3,5,…p都不能整除2011,此时,质数p至少是__________。
2、最大公因数(4n+3,5n+2)的可能值是__________。
3、设3α∣40!
,而3α+140!
,即3α‖40!
,则α=__________。
4、形如3n+1的自然数中,构成模8的一个完全剩余系的最小的那些数是__________。
5、不定方程x2+y2=z2,2|x,(x,y)=1,x,y,z>0的整数解是且仅是_________。
6、21x≡9(mod43)的解是__________。
7、=__________。
二、计算题
1、将写成三个既约分数之和,它们的分母分别是3,5和7。
2、若3是质数p的平方剩余,问p是什么形式的质数?
3、判断不定方程x2+23y=17是否有解?
三、证明题
1、试证对任何实数x,恒有〔x〕+〔x+〕=〔2x〕。
2、证明:
(1)当n为奇数时,3∣(2n+1);
(2)当n为偶数时,3(2n+
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 初等 数论 练习题