海淀区学年第一学期期末高三数学理科试题.docx
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海淀区学年第一学期期末高三数学理科试题
级第一学期期末练习
数学(理科)2010.1
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.函数的值域为
A.B.
C.D.
2.如图,、分别是圆的割线和切线(C为切点),若,则的长为
A.B.6
C.D.3
3.已知双曲线,那么它的焦点到渐近线的距离为
A.1B.C.3D.4
A.B.
C.D.上有不同的两个点到的距离相等
5.先后两次抛掷一枚骰子,在得到点数之和不大于6的条件下,先后出现的点数中有3的概率为
A.B.C.D.
6.如图,向量等于
A.B.
C.D.
7.某校在高二年级开设选修课,其中数学选修课开三个班.选课结束后,有四名同学要求改修数学,但每班至多可再接收2名同学,那么不同的分配方案有
A.72种B.54种C.36种D.18种
8.点在曲线:
上,若存在过的直线交曲线于点,交直线:
于点,满足或,则称点为“H点”,那么下列结论正确的是
A.曲线..上的所有点都是“H点”
B.曲线上仅有有限个点是“H点”
C.曲线上的所有点都不是“H点”
D.曲线上有无穷多个点(但不是所有的点)是“H点”
第II卷(共110分)
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.
9.若直线的参数方程为,则直线的斜率为_______________.
10.阅读右图所示的程序框图,若运行该程序后输出的y值为,
则输入的实数x值为________________.
11.一个几何体的三视图如下图所示,则该几何
体的表面积为__________________.
12.设关于的不等式的解集中整数的个数为,数列的前项和为,则的值为_______________________.
13.在区间上任取两个数,那么函数无零点的概率为_________.
14.考虑以下数列,:
①;②;③.
其中满足性质“对任意正整数,都成立”的数列有(写出满足条件的所有序号);若数列满足上述性质,且,,则的最小值为.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.(本小题满分13分)
(Ⅰ)求,的值;
(Ⅱ)求的值.
16.(本小题满分13分)
某地区教研部门要对高三期中数学练习进行调研,考察试卷中某道填空题的得分情况.已知该题有两空,第一空答对得3分,答错或不答得0分;第二空答对得2分,答错或不答得0分.第一空答对与否与第二空答对与否是相互独立的.从所有试卷中随机抽取1000份试卷,其中该题的得分组成容量为1000的样本,统计结果如下表:
第一空得分情况
第二空得分情况
得分
0
3
得分
0
2
人数
198
802
人数
698
302
(Ⅰ)求样本试卷中该题的平均分,并据此估计这个地区高三学生该题的平均分;
(Ⅱ)这个地区的一名高三学生因故未参加考试,如果这名学生参加考试,以样本中各种得分情况的频率(精确到0.1)作为该同学相应的各种得分情况的概率.试求该同学这道题第一空得分不低于第二空得分的概率.
17.(本小题满分13分)
已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,PD⊥底面ABCD,E,F分别为棱BC,AD的中点.
(Ⅰ)求证:
DE∥平面PFB;
(Ⅱ)已知二面角P-BF-C的余弦值为,求四棱锥P-ABCD的体积.
18.(本小题满分13分)
已知函数(其中).
(Ⅱ)求函数的单调区间.
已知抛物线经过点A(2,1),过A作倾斜角互补的两条不同直线.
(Ⅰ)求抛物线的方程及准线方程;
(Ⅱ)当直线与抛物线相切时,求直线与抛物线所围成封闭区域的面积;
(Ⅲ)设直线分别交抛物线于B,C两点(均不与A重合),若以线段BC为直径的圆与抛物线的准线相切,求直线BC的方程.
20.(本小题满分14分)
给定项数为的数列,其中.
若存在一个正整数,若数列中存在连续的k项和该数列中另一个连续的k项恰好按次序对应相等,则称数列是“k阶可重复数列”,
例如数列
因为与按次序对应相等,所以数列是“4阶可重复数列”.
(Ⅰ)分别判断下列数列
①②
是否是“5阶可重复数列”?
如果是,请写出重复的这5项;
(Ⅱ)若数为的数列一定是“3阶可重复数列”,则的最小值是多少?
说明理由;
(III)假设数列不是“5阶可重复数列”,若在其最后一项后再添加一项0或1,均可使新数列是“5阶可重复数列”,且,求数列的最后一项的值.
海淀区高三年级第一学期期末练习
数学(理)
参考答案及评分标准2010.1
说明:
合理答案均可酌情给分,但不得超过原题分数
第Ⅰ卷(选择题共40分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
B
C
C
D
B
D
第Ⅱ卷(非选择题共110分)
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,有两空的小题,第一空3分,第二空2分,共30分)
9.10.11.12.1010013.14.②③;28
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
解:
(Ⅰ)由已知,,,
因为,
即,………………..1分
解得.………………..3分
由余弦定理可得:
………………..5分
所以.………………..7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)有,………………..9分
由于A是三角形的内角,
易知,………………..10分
所以………………..11分
.………………..13分
16.(本小题满分13分)
解:
(Ⅰ)设样本试卷中该题的平均分为,则由表中数据可得:
,……………….4分
据此可估计这个地区高三学生该题的平均分为3.01分.……………….5分
(Ⅱ)依题意,第一空答对的概率为0.8,第二空答对的概率为0.3,……………….7分
记“第一空答对”为事件,“第二空答对”为事件,则“第一空答错”为事件,“第二空答错”为事件.若要第一空得分不低于第二空得分,则发生或与同时发生,
……………….9分
故有:
.……………….12分
17.(本小题满分13分)
解:
(Ⅰ)因为E,F分别为正方形ABCD的两边BC,AD的中点,
所以,所以,为平行四边形,……………….2分
得,……………….3分
又因为平面PFB,且平面PFB,……………….4分
所以DE∥平面PFB.……………….5分
(Ⅱ)如图,以D为原点,射线DA,DC,DP分
别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.设PD=a,
可得如下点的坐标:
P(0,0,a),F(1,0,0),B(2,2,0)
则有:
……………….6分
因为PD⊥底面ABCD,所以平面ABCD的
一个法向量为,……………….7分
设平面PFB的一个法向量为,则可得
即
令x=1,得,所以.……………….9分
由已知,二面角P-BF-C的余弦值为,所以得:
……………….10分
解得a=2.……………….11分
因为PD是四棱锥P-ABCD的高,
所以,其体积为.……………….13分
18.(本小题满分13分)
解:
由,可得.……………….2分
(Ⅰ)因为函数在点处的切线为,得:
……………….4分
解得……………….5分
(Ⅱ)令,得…①……………….6分
当,即时,不等式①在定义域内恒成立,所以此时函数的单调递增区间为和.……………….8分
当,即时,不等式①的解为或,
……………….10分
又因为,所以此时函数的单调递增区间为和,单调递减区间为和.
.……………….12分
所以,当时,函数的单调递增区间为和;
当时,函数的单调递增区间为和,
单调递减区间为和..……………….13分
19.(本小题满分14分)
解:
(Ⅰ)由于A(2,1)在抛物线上,所以,即.……………….2分
故所求抛物线的方程为,其准线方程为.……………….3分
(Ⅱ)当直线与抛物线相切时,由,可知直线的斜率为1,其倾斜角为,所以直线的倾斜角为,故直线的斜率为,所以的方程为…….4分
将其代入抛物线的方程,得,解得,…….5分
所以直线与抛物线所围成封闭区域的面积为:
……………….6分
……………….8分
(Ⅲ)不妨设直线AB的方程为,……………….9分
由
得,……………….10分
易知该方程有一个根为2,所以另一个根为,
所以点B的坐标为,
同理可得C点坐标为,……………….11分
所以
……………….12分
线段BC的中点为,因为以BC为直径的圆与准线相切,
所以,由于,解得.…………….13分
此时,点B的坐标为,点C的坐标为,
直线BC的斜率为,
所以,BC的方程为,即.…….14分
20.(本小题满分14分)
解:
(Ⅰ)记数列①为,因为与按次序对应相等,所以数列①是“5阶可重复数列”,重复的这五项为0,0,1,1,0;
记数列②为,因为、、、、、没有完全相同的,所以不是“5阶可重复数列”.……………….3分
(Ⅱ)因为数列的每一项只可以是0或1,所以连续3项共有种不同的情形.若m=11,则数列中有9组连续3项,则这其中至少有两组按次序对应相等,即项数为11的数列一定是“3阶可重复数列”;若m=10,数列0,0,1,0,1,1,1,0,0,0不是“3阶可重复数列”;则时,均存在不是“3阶可重复数列”的数列.所以,要使数列一定
是“3阶可重复数列”,则m的最小值是11.……………….8分
(III)由于数列在其最后一项后再添加一项0或1,均可使新数列是“5阶可重复数列”,即在数列的末项后再添加一项,则存在,
使得与按次序对应相等,或与按次序对应相等,
如果与不能按次序对应相等,那么必有,,使得、与按次序对应相等.
此时考虑和,其中必有两个相同,这就导致数列中有两个连续的五项恰按次序对应相等,从而数列是“5阶可重复数列”,这和题设中数列不是“5阶可重复数列”矛盾!
所以与按次序对应相等,从而
……………….14分
说明:
其它正确解法按相应步骤给分.
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- 关 键 词:
- 海淀区 学年 第一 学期 期末 数学 理科 试题