中考数学复习之挑战压轴题解答题相似形综合题.docx
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中考数学复习之挑战压轴题解答题相似形综合题
2020年中考数学复习之挑战压轴题(解答题):
相似形综合题
1.(2019•洛阳一模)
(1)问题发现
如图1,在和中,,,点时线段上一动点,连接.
填空:
①的值为 ;②的度数为 .
(2)类比探究
如图2,在和中,,,点是线段上一动点,连接.请判断的值及的度数,并说明理由;
(3)拓展延伸
如图3,在
(2)的条件下,将点改为直线上一动点,其余条件不变,取线段的中点,连接、,若,则当是直角三角形时,线段的长是多少?
请直接写出答案.
2.(2018•禹会区一模)如图
(1),为所在平面上一点,且,则点叫做的费马点.
(1)如果点为锐角的费马点,且.
①求证:
;
②若,,则 .
(2)已知锐角,分别以、为边向外作正和正,和相交于点.如图
(2)
①求的度数;
②求证:
点为的费马点.
3.(2018•淮阳县一模)如图1,过等边三角形边上一点作交边于点,分别取,的中点,,连接.
(1)发现:
在图1中, ;
(2)应用:
如图2,将绕点旋转,请求出的值;
(3)拓展:
如图3,和是等腰三角形,且,,分别是底边,的中点,若,请直接写出的值.
4.(2016•东河区一模)如图1,已知中,,,.点由出发沿方向向点匀速运动,同时点由出发沿方向向点匀速运动,它们的速度均为.以、为边作平行四边形,连接,交于点.设运动的时间为(单位:
.解答下列问题:
(1)用含有的代数式表示 .
(2)当为何值时,平行四边形为矩形.
(3)如图2,当为何值时,平行四边形为菱形.
5.(2015•武汉模拟)已知:
正方形的边长为4,点为的中点,点为上一动点,沿翻折得到,直线交边于点,交直线于点,联接.
(1)如图,当时,求的长;
(2)如图,当点在射线上时,,,求关于的函数关系式,并写出的取值范围;
(3)延长交直线于点,若与相似,求的长.
6.(2018•兰山区一模)在矩形中,点在上,,.将直角尺的顶点放在处,直角尺的两边分别交,于点,,连接(如图①.
(1)当点与点重合时,点恰好与点重合(如图②,求的长;
(2)探究:
将直尺从图②中的位置开始,绕点顺时针旋转,当点和点重合时停止.在这个过程中,请你观察、猜想,并解答:
①的值是否发生变化?
请说明理由;
②直接写出从开始到停止,线段的中点经过的路线长.
7.(2015•槐荫区一模)如图,等腰的直角边长为,点为斜边的中点,点为上任意一点,连接,以为直角边作等腰,连接.
(1)求证:
;
(2)请你判断与有什么位置关系?
并说明理由.
(3)当点在线段上运动时,设,的面积为,求与之间的函数关系式.
8.(2014•自贡)阅读理解:
如图①,在四边形的边上任取一点(点不与、重合),分别连接、,可以把四边形分成三个三角形,如果其中有两个三角形相似,我们就把叫做四边形的边上的“相似点”;如果这三个三角形都相似,我们就把叫做四边形的边上的“强相似点”.解决问题:
(1)如图①,,试判断点是否是四边形的边上的相似点,并说明理由;
(2)如图②,在矩形中,、、、四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为的格点(即每个小正方形的顶点)上,试在图②中画出矩形的边上的强相似点;
(3)如图③,将矩形沿折叠,使点落在边上的点处,若点恰好是四边形的边上的一个强相似点,试探究与的数量关系.
9.(2015•丽水)如图,在矩形中,为的中点,为上的一点,连结并延长交于点,交射线于点.
(1)当为中点时,求证:
;
(2)若,求的值;
(3)若,当为何值时,?
10.(2015•南昌)我们把两条中线互相垂直的三角形称为“称为中垂三角形”,例如图1,图2,图3中,,是的中线,,垂足为,像这样的三角形均称为“中垂三角形”,设,,.
特例探索
(1)如图1,当,时, , .
如图2,当,时, , .
归纳证明
(2)请你观察
(1)中的计算结果,猜想,,三者之间的关系,用等式表示出来,并利用图3证明你发现的关系式.
拓展应用
(3)如图4,在中,点、、分别是,,的中点,,,,求的长.
11.(2014•宛城区一模)在中,,,是边的中点,交于点.动点从点出发沿射线以每秒厘米的速度运动.同时,动点从点出发沿射线运动,且始终保持.设运动时间为秒.
(1)与相似吗?
以图1为例说明理由;
(2)若,厘米.
①求动点的运动速度;
②设的面积为(平方厘米),求与的函数关系式;
(3)探求、、三者之间的数量关系,以图1为例说明理由.
12.(2014•天水)如图
(1),在平面直角坐标系中,点,点.中,,,,直角边在轴上,且点与点重合.沿轴正方向平行移动,当点运动到点时停止运动.解答下列问题:
(1)如图
(2),当运动到点与点重合时,设交于点,求的度数.
(2)如图(3),在的运动过程中,当经过点时,求的长.
(3)在的运动过程中,设,与的重叠部分的面积为,请写出与之间的函数关系式,并求出面积的最大值.
13.(2014•南宁模拟)如图,梯形中,,,,,,边上有一动点(不与、重合),连接,作,使得交射线于点,设.
(1)求的长.
(2)当为何值时,是等腰三角形?
(3)求的长(用含的代数式表示);
(4)是否存在点,使得经过点?
若存在,求出相应的的长;若不存在,请说明理由.
14.(2014•东莞市)如图,在中,,于点,,.点从点出发,在线段上以每秒的速度向点匀速运动,与此同时,垂直于的直线从底边出发,以每秒的速度沿方向匀速平移,分别交、、于、、,当点到达点时,点与直线同时停止运动,设运动时间为秒.
(1)当时,连接、,求证:
四边形为菱形;
(2)在整个运动过程中,所形成的的面积存在最大值,当的面积最大时,求线段的长;
(3)是否存在某一时刻,使为直角三角形?
若存在,请求出此时刻的值;若不存在,请说明理由.
15.(2014•大连)如图1,中,,点在的延长线上,点在上,,点是与的交点,且
.
(1)图1中是否存在与相等的角?
若存在,请找出,并加以证明,若不存在,说明理由;
(2)求证:
;
(3)若将“点在的延长线上,点在上”和“点是与的交点,且”分别改为“点在上,点在的延长线上”和“点是的延长线与的交点,且”,其他条件不变(如图.当,时,求的长(用含、的式子表示).
2020年中考数学复习之挑战压轴题(解答题):
相似形综合题(15题)
参考答案与试题解析
一、解答题(共15小题)
1.(2019•洛阳一模)
(1)问题发现
如图1,在和中,,,点时线段上一动点,连接.
填空:
①的值为 1 ;②的度数为 .
(2)类比探究
如图2,在和中,,,点是线段上一动点,连接.请判断的值及的度数,并说明理由;
(3)拓展延伸
如图3,在
(2)的条件下,将点改为直线上一动点,其余条件不变,取线段的中点,连接、,若,则当是直角三角形时,线段的长是多少?
请直接写出答案.
【考点】:
相似形综合题
【专题】:
图形的相似;554:
等腰三角形与直角三角形;32:
分类讨论
【分析】
(1)由直角三角形的性质可得,可得,通过证明,可得的值;
(2)通过证明,可得的值,,即可求的度数;
(3)分点在线段上和延长线上两种情况讨论,由直角三角形的性质可证,即可求,由相似三角形的性质可得,,
由勾股定理可求的长.
【解答】解:
(1),
,
,
,且,
故答案为:
1,
(2),
理由如下:
,,
,
,,
,且
,
(3)若点在线段上,如图,
由
(2)知:
,
,,
,
,且点是中点,
,
是直角三角形
,
,
若点在线段延长线上,如图
同理可得:
,
,
,
综上所述:
的长为或
【点评】本题是相似形综合题,考查了相似三角形的判定和性质,勾股定理,等腰三角形的性质,直角三角形的性质,证明是本题的关键.
2.(2018•禹会区一模)如图
(1),为所在平面上一点,且,则点叫做的费马点.
(1)如果点为锐角的费马点,且.
①求证:
;
②若,,则 .
(2)已知锐角,分别以、为边向外作正和正,和相交于点.如图
(2)
①求的度数;
②求证:
点为的费马点.
【考点】:
相似形综合题
【专题】:
图形的相似;11:
计算题;15:
综合题
【分析】
(1)①根据题意,利用内角和定理及等式性质得到一对角相等,利用两角相等的三角形相似即可得证;
②由三角形与三角形相似,得比例,将与的长代入求出的长即可;
(2)①根据三角形与三角形为等边三角形,利用等边三角形的性质得到两对边相等,两个角为,利用等式的性质得到夹角相等,利用得到三角形与三角形全等,利用全等三角形的对应角相等得到,再由对顶角相等,得到,即可求出所求角度数;
②由三角形与三角形相似,得到比例式,变形得到积的恒等式,再由对顶角相等,利用两边成比例,且夹角相等的三角形相似得到三角形与三角形相似,利用相似三角形对应角相等得到为,由,求出为,进而确定出与都为,即可得证.
【解答】
(1)证明:
①,,
,
又,
,
②解:
,
,
,
;
故答案为:
;
(2)解:
①与都为等边三角形,
,,,
,即,
在和中,
,
,
,
,
;
②证明:
,
,
,
,
.
,
,
,
,
点为的费马点.
【点评】此题属于相似形综合题,涉及的知识有:
相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,费马点的定义,以及等边三角形的性质,熟练掌握判定与性质是解本题的关键.
3.(2018•淮阳县一模)如图1,过等边三角形边上一点作交边于点,分别取,的中点,,连接.
(1)发现:
在图1中, ;
(2)应用:
如图2,将绕点旋转,请求出的值;
(3)拓展:
如图3,和是等腰三角形,且,,分别是底边,的中点,若,请直接写出的值.
【考点】:
相似形综合题
【分析】
(1)如图1中,作于,连接.只要证明四边形时矩形,即可解决问题.
(2)如图2中,连接、.只要证明,利用相似比为即可解决问题.
(3)如图3中,连接、,延长交于,交于.由,推出,只要证明时等腰直角三角形即可解决问题.
【解答】解:
(1)如图1中,作于,连接.
,,
,
时等边三角形,
,
,
,
,
平分线段,
,
、、共线,
,
四边形时矩形,
,
,
故答案为.
(2)如图2中,连接、.
,都是等边三角形,,,
,,
,,
,
,
,
,
.
(3)如图3中,连接、,延长交于,交于.
,,,,
,,
,
,
,
,
,,
,
.
,
,
,
,
,,
,
,
,
,
,,
,
,
,
,
.
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形或相似三角形解决问题,属于中考压轴题.
4.(2016•东河区一模)如图1,已知中,,,.点由出发沿方向向点匀速运动,同时点由出发沿方向向点匀速运动,它们的速度均为.以、为边作平行四边形,连接,交于点.设运动的时间为(单位:
.解答下列问题:
(1)用含有的代数式表示 .
(2)当为何值时,平行四边形为矩形.
(3)如图2,当为何值时,平行四边形为菱形.
【考点】:
相似形综合题
【分析】
(1)首先利用勾股定理求得,然后表示出,利用平行四边形对角线互相平分表示出线段即可;
(2)利用矩形的性质得到,利用相似三角形对应边的比相等列出比例式即可求得值;
(3)利用菱形的性质得到.
【解答】解:
(1)中,,,
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