福建省福州市八县市学年高二上学期期末联考数学理科试题Word版含答案.docx
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福建省福州市八县市学年高二上学期期末联考数学理科试题Word版含答案
福建省福州市八县(市)2019-2020学年上学期期末联考
高二数学(理科)试题
【完卷时间:
120分钟满分:
150分】
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.双曲线
的焦距为()
A.
B.
C.
D.
2.“
”是“
”的()条件
A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要
3.已知向量
分别是直线
的方向向量,若
,则( )
A.
B.
C.
D.
4.对抛物线
,下列描述正确的是()
A.开口向上,焦点为
B.开口向上,焦点为
C.开口向右,焦点为
D.开口向右,焦点为
5.下列有关命题的说法正确的是()
A.命题“若
”的否命题为:
“若
”
B.“
”是“
”的必要不充分条件
C.命题“
”的否定是:
“
”
D.命题“若
”的逆否命题为真命题
6.已知两点
,
,且
是
与
的等差中项,则动点
的轨迹方程是()
A.
B.
C.
D.
7.如图,在正方体
中,
为
的中点,则异面直线
与
所成的角为()
A.
B.
C.
D.
8.斜率为
的直线经过抛物线
的焦点,且与抛物线相交于A,B两点,则
=()
A.8B.6C.12D.
9.在四面体
中,点
为棱
的中点.设
,
,那么向量
用基底
可表示为()
(A)
(B)
(C)
(D)
10.下列三图中的多边形均为正多边形,分别为正三角形、正四边形、正六边形,
、
是多边形的顶点,椭圆过
且均以图中的
为焦点,设图①、②、③中椭圆的离心率分别为
,则()
A.
B.
C.
D.
11.设
、
是双曲线
的左、右两个焦点,若双曲线右支上存在一点P,使
(
为坐标原点)且
则
的值为()
A.
B.2C.
D.3
12.如右图,在四棱锥
中,侧面
为正三角形,底面
为正方形,侧面
,
为底面
内的一个动点,且满足
,则点
在正方形
内的轨迹为下图中的()
第Ⅱ卷
(非选择题,共90分)
二、填空题:
本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卡相应横线上.
13.在空间直角坐标系中,已知
,
.若
,则
.
14.过双曲线
的右焦点且与
轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于
,
两点,则
.
15.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说“是乙或丙获奖”,乙说“甲、丙都未获奖”,丙说”我获奖了”,丁说“是乙获奖”。
四位歌手的话只有两位是真的,则获奖的歌手是_____.
16.在直角坐标系内,点
实施变换
后,对应点为
,给出以下命题:
①圆
上任意一点实施变换
后,对应点的轨迹仍是圆
;
②若直线
上每一点实施变换
后,对应点的轨迹方程仍是
则
;
③椭圆
上每一点实施变换
后,对应点的轨迹仍是离心率不变的椭圆;
④曲线
:
上每一点实施变换
后,对应点的轨迹是曲线
,
是曲线
上的任意一点,
是曲线
上的任意一点,则
的最小值为
.
以上正确命题的序号是(写出全部正确命题的序号).
三、解答题:
本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知椭圆
:
,直线
交椭圆
于
两点.
(Ⅰ)求椭圆
的焦点坐标及长轴长;
(Ⅱ)求以线段
为直径的圆的方程.
18(12分)已知命题
:
方程
表示焦点在y轴上的椭圆,命题
:
双曲线
的离心率
,若
只有一个为真,求实数
的取值范围.
19.(12分)如图,在四棱锥
中,底面
是直角梯形,
垂直于
和
,侧棱
,且
.
(1)求四棱锥
的体积;
(2)求点
到平面
的距离。
20.(12分)平面直角坐标系
中,抛物线
的顶点在坐标原点,焦点为双曲线
的右顶点.
⑴求抛物线
的方程;
⑵经过已知双曲线的左焦点作抛物线
的切线,求切线方程.
21.(12分)如图
,
是边长为
的等边三角形,
,
分别为
,
靠近
,
的三等分点,点
为
边的中点,线段
交线段
于
点,将
沿
翻折,使平
面
⊥平面
,连接
,
,
形成如图
所示的几何体.
(Ⅰ)求证:
⊥平面
;
(Ⅱ)求二面角
的余弦值.
22.(14分)椭圆
的离心率
.
(1)求椭圆
的方程;
(2)如图所示,A、B、D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意一点,直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m.证明:
2m-k为定值.
福建省福州市八县(市)2019-2020学年上学期期末联考
高二数学(理科)试题参考答案
一、选择题
1、D2、B3、D4、A5、D6、C7、D8、A9、B10、C11、B12、A
二、填空题
13、
14、
15、丙16、①③④
三、解答题
17、解:
(Ⅰ)原方程等价于
.
由方程可知:
,
,
,
.……………………3分
所以椭圆
的焦点坐标为
,
,长轴长
为
.……………6分
(Ⅱ)由
可得:
.
解得:
或
.
所以点
的坐标分别为
,
.………………………8分
所以
中点坐标为
,
.……………10分
所以以线段
为直径的圆的圆心坐标为
,半径为
.
所以以线段
为直径的圆的方程为
.…………………12分
18、若P真,则
,解得
…………3分
若q真,则
,解得
…………6分
若p真q假,则
,解集为空集;…………8分
p假q真,则
,解得
…………10分
故
…………12分
19、解:
(1)
…………5分
(2)法一:
…………7分
设平面
的法向量为
则
取
…………9分
因为,
所以,点
到平面
的距离
…………12分
法二:
设点
到平面
的距离为
,
…………9分
易知,
所以,
因为,
所以,
,所以,
…………12分
20、解:
⑴依题意,设抛物线
的方程为
……1分
……3分,
所以
,抛物线
的方程为
……5分
⑵双曲线
的左焦点为
……6分
显然
不是抛物线
的切线,设所求切线为
……8分
由
及
得,
,依题意
……8分,解得
……11分
切线方程为
……12分
21、解:
(Ⅰ)证明:
在图1中,由△ABC是等边三角形,E,D分别为AB,AC的三等分点,点G为BC边的中点,
则DE⊥AF,DE⊥GF,DE∥BC.
在图2中,因为DE⊥AF,DE⊥GF,AF∩FG=F,所以DE⊥平面AFG.
又DE∥BC,所以BC⊥平面AFG.………6分
(Ⅱ)解:
因为平面AED⊥平面BCDE,平面AED∩平面BCDE=DE,AF⊥DE,
所以,
平面
又因为DE⊥GF,
所以FA,FD,FG两两垂直.………7分
以点F为坐标原点,分别以FG,FD,FA所在的直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz.则
A(0,0,2
),B(
,-3,0),E(0,-2,0),
所以
=(
,-3,-2
),
=(-
,1,0).
设平面ABE的法向量为n=(x,y,z),
则
即
取x=1,则y=
,z=-1,则n=(1,
,-1).………9分
显然m=(1,0,0)为平面ADE的一个法向量,
所以cos〈m,n〉=
=
.………11分
由图形可知二面角B-AE-D为钝角,
所以,二面角B-AE-D的余弦值为-
.………12分
22、
(1)解 因为e=
=
,
所以a=
c,b=
c.
代入a+b=3得,c=
,a=2,b=1.
故椭圆C的方程为
+y2=1.………5分
(2)证明 因为B(2,0),点P不为椭圆顶点,
则可设直线BP的方程为y=k(x-2)(k≠0,k≠±
),①………6分
①代入
+y2=1,解得P
.
直线AD的方程为y=
x+1.②
①与②联立解得M
.………8分
由D(0,1),P
,N(x,0)三点共线知
=
,解得N
.………10分
所以MN的斜率为m=
=
=
.………12分
则2m-k=
-k=
(定值).………14分
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