微积分初步形考作业14答案.docx
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微积分初步形考作业14答案
电大【微积分初步】形考作业1-4答案
作业
(一)————函数,极限和连续
一、填空题(每小题2分,共20分)
1.函数的定义域是 .答案:
提示:
对于,要求分母不能为0,即,也就是;对于,要求,即;所以函数的定义域是
2.函数的定义域是 .答案:
提示:
对于,要求分母不能为0,即,也就是;对于,要求,即;所以函数的定义域是
3.函数的定义域是 .答案:
提示:
对于,要求分母不能为0,即,也就是;对于,要求,即;对于,要求,即且;所以函数的定义域是
4.函数,则.答案:
提示:
因为,所以
5.函数,则 .答案:
提示:
因为当是在区间,应选择进行计算,即
6.函数,则 .答案:
提示:
因为,所以
7.函数的间断点是 .答案:
提示:
若在有下列三种情况之一,则在间断:
①在无定义;②在极限不存在;③在处有定义,且存在,但。
题中在处无定义
8. .答案:
1;提示:
9.若,则 .答案:
2提示:
因为,所以
10.若,则 .答案:
1.5;提示:
因为,所以
二、单项选择题(每小题2分,共24分)
1.设函数,则该函数是( ).答案:
B
A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数
提示:
奇函数是指,关于坐标原点对称;偶函数是指,关于轴对称。
题中,所以函数是偶函数。
2.设函数,则该函数是( ).答案:
A
A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数提示:
因为,所以是奇函数。
3.函数的图形是关于( )对称.答案:
D
A. B.轴 C.轴D.坐标原点提示:
因为,是奇函数,所以的图形是关于坐标原点对称
4.下列函数中为奇函数是(无).
A.B.C.D.提示:
A.,即是偶函数;B.的图形只在一、四象限,既非奇函数,也非偶函数;C.的图形只在一、四象限,既非奇函数,也非偶函数;D.,既非奇函数,也非偶函数。
所以本题没有一个待选答案是奇函数
5.函数的定义域为().答案:
D
A.B.C.且D.且提示:
对于,要求分母不能为0,即;对于,要求,即。
的定义域为且
6.函数的定义域是( ).答案:
D
A. B. C.D.提示:
对于,要求分母不能为0,即;对于,要求,即。
所以函数的定义域是
7.设,则()答案:
C
A. B. C. D.
提示:
注意比少1,所以
8.下列各函数对中,()中的两个函数相等.答案:
D
A.,B.,
C.,D.提示:
两个函数相等,必须是对应的规则相同,定义域相同。
上述答案中,A定义域不同;B对应的规则不同;C定义域不同;D对应的规则相同,定义域相同
9.当时,下列变量中为无穷小量的是()答案:
C.
A. B.C. D.
提示:
以0为极限的变量称为无穷小量。
上述答案中,当时,A趋向∞;B的极限为1;C的极限为0;D趋向∞。
10.当()时,函数,在处连续.答案:
B
A.0 B.1C. D.
提示:
当时,称函数在连续。
因,所以当1时,函数,在处连续
11.当()时,函数在处连续答案:
D
A.0 B.1C. D.
提示:
当时,称函数在连续。
因为,所以当3时,函数,在处连续
12.函数的间断点是()答案:
A
A.B.C.D.无间断点
提示:
若在有下列三种情况之一,则在间断:
①在无定义;②在极限不存在;③在处有定义,且存在,但。
题中,分母,所以在和处无定义
三、解答题(每小题7分,共56分)
⒈计算极限.
解
2.计算极限
解
3.解
4.计算极限
解
5.计算极限.
解
6.计算极限.解
7.计算极限解
8.计算极限.
解
作业
(二)————导数、微分及应用
一、填空题(每小题2分,共20分)
1.曲线在点的斜率是 .答案:
提示:
若已知曲线方程,则它在任一点处的斜率为。
题中,将代入上式,得
2.曲线在点的切线方程是 .答案:
提示:
若已知曲线方程,则它在任一点处的斜率为。
若给定曲线上的一点,则通过该点的切线方程为。
题中,将代入上式,得,所以通过点(0,1)切线方程为,即
3.曲线在点处的切线方程是.答案:
提示:
若已知曲线方程,则它在任一点处的斜率为。
若给定曲线上的一点,则通过该点的切线方程为。
题中,将代入上式,得,所以通过点(0,1)切线方程为,即
4..答案:
提示:
根据复合函数求导法则计算。
5.若y=x(x–1)(x–2)(x–3),则(0)=.答案:
提示:
根据有限多个函数的乘积的求导法则(见P45),
+
6.已知,则= .答案:
提示:
7.已知,则= .答案:
提示:
,
8.若,则.答案:
9.函数的单调增加区间是 .答案:
10.函数在区间内单调增加,则a应满足 .答案:
提示;当时,函数单调增加。
题中,,所以函数在区间内单调增加,a应满足。
二、单项选择题(每小题2分,共24分)
1.函数在区间是() 答案:
D
A.单调增加 B.单调减少C.先增后减 D.先减后增
提示:
当时,函数单调增加当时,函数单调减少。
题中,,令,得驻点。
当时,,函数单调减少;当时,,函数单调增加。
所以函数在区间是先减后增。
2.满足方程的点一定是函数的()答案:
C.
A.极值点 B.最值点C.驻点 D.间断点
提示:
使的点,成为函数的驻点(P69定理3.2)
3.若,则=( ).答案:
C
A.2 B.1 C.-1 D.–2提示:
,
4.设,则( ).答案:
B
A.B.C.D.
提示:
5.设是可微函数,则().答案:
DA.B.C.D.提示:
6.曲线在处切线的斜率是().答案:
C
A.B.C.D.
提示:
若已知曲线方程,则它在任一点处的斜率为。
,将代入上式得
7.若,则().答案:
CA.B.C.D.提示:
8.若,其中是常数,则().答案C
A.B.C.D.提示:
,
9.下列结论中()不正确.答案:
CA.在处连续,则一定在处可微.B.在处不连续,则一定在处不可导.C.可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D.若在[a,b]内恒有,则在[a,b]内函数是单调下降的.提示:
极大值可能出现在:
①驻点(驻点是的点);②连续但导数不存在的点。
10.若函数f(x)在点x0处可导,则()是错误的.答案:
B
A.函数f(x)在点x0处有定义B.,但C.函数f(x)在点x0处连续D.函数f(x)在点x0处可微提示:
若函数在点可导,则它在点一定连续(P83定理2.5)。
,但即在点不连续。
11.下列函数在指定区间上单调增加的是().答案:
B
A.sinxB.exC.x2D.3–x
提示:
A是周期函数;B是单调增函数;C是偶函数,先减后增;D是单调减函数
12.下列结论正确的有().答案:
A
A.x0是f(x)的极值点,且(x0)存在,则必有(x0)=0B.x0是f(x)的极值点,则x0必是f(x)的驻点
C.若(x0)=0,则x0必是f(x)的极值点D.使不存在的点x0,一定是f(x)的极值点提示:
A正确;B不正确,因为驻点不一定是极值点;C不正确,(x0)=0就是驻点,驻点不一定是极值点;D不正确,因为极大值可能出现在:
①驻点和②连续但导数不存在的点。
三、解答题(每小题7分,共56分)
1设,求.解
2.设,求.
解3.设,求.解
4.设,求.
解
5.设是由方程确定的隐函数,求.
解对方程两边求导,得,,,
6.设是由方程确定的隐函数,求.
解对方程两边求导,得,,,
7.设是由方程确定的隐函数,求.
解对方程两边求导,得,,,
8.设,求.
解对方程两边求导,得,,
作业(三)———不定积分,极值应用问题
一、填空题(每小题2分,共20分)
1.若的一个原函数为,则。
答案:
`(c为任意常数)提示:
参见教材P90,根据定义4.1,若,则称为的原函数,根据题意,对求导的结果就是,即
2.若的一个原函数为,则。
答案:
提示:
参见教材P90,根据定义4.1,若,则称为的原函数,根据题意,对求导的结果就是,即,所以
3.若,则 .答案:
提示:
验算:
4.若,则 .答案:
提示:
验算:
5.若,则 .答案:
提示:
6.若,则 .答案:
提示:
7..答案:
提示:
是的原函数,对原函数求导就等于被积函数,所以对原函数求微分就等于被积函数的微分
8..答案:
提示:
9.若,则 .答案:
提示:
10.若,则 .
答案:
提示:
二、单项选择题(每小题2分,共16分)
1.下列等式成立的是( ).答案:
A
A. B.C. D.
提示:
对原函数求导等于被积函数本身
2.
3.若,则().答案:
A
A.B.C.D.
提示:
4.若,则().答案:
A
A.B.C.D.提示:
即对被积函数先求导再积分等于被积函数本身(加不定常数)。
5.以下计算正确的是()答案:
A
A.B.C.D.
提示:
6.()答案:
A
A.B.C.D.提示:
利用分部积分法,
设,,则,
上式中利用了“对被积函数先求导再积分等于被积函数本身(加不定常数)”。
7.=().答案:
C
A.B.C.D.提示:
所以对原函数求微分就等于被积函数的微分
8.如果等式,则()答案B
A.B.C.D.
提示:
,比较上式左右两边,可知
三、计算题(每小题7分,共35分)
1.解2.解
3.解
4.
解利用分步积分法:
设,,则,
5.
解利用分步积分法:
设,,则,
四、极值应用题(每小题12分,共24分)
1.设矩形的周长为120厘米,以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。
试求矩形的边长为多少时,才能使圆柱体的体积最大。
解
设矩形的一边边长为x厘米,则另一边边长为(60-x)厘米,边长为x厘米的边绕轴旋转得一圆柱体,其底面积为π(60-x)2,旋转体的体积为
令,即
其中是极小值点,此时体积为0;是极大值点,也是最大值点,对应的圆柱体最大体积值为
2.欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土地,并在正中用一堵墙将其隔成两块,问这块土地的长和宽选取多大尺寸,才能使所用建筑材料最省?
解设土地一边长为,另一边长为,共用材料为
于是=3
令得唯一驻点(舍去)10分
因为本问题存在最小值,且函数的驻点唯一,所以,当土地一边长为,另一边长为18时,所用材料最省.
五、证明题(本题5分)
1函数在(是单调增加的.
证只需证明当时,有因为当时,,即有所以,当时,是单调增加的。
作业(四)———定积分及应用、微分方程
一、填空题(每小题2分,共20分)
1.答案:
提示:
上式被积函数第一项和是奇函数,在对称积分限下的积分结果为
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