数学单位1.docx

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数学单位1

谈谈单位1

（2011-05-0321:

36:

25）

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      有好几位老师问我：

你认为自然数“自然”在哪？

我好像在哪看到过一个解释，但确实也记不得了。

但既然是问我个人的看法，我也说一说，供大家参考。

举个最简单的例子吧，1条鱼有1.1公斤。

这句话中出现了1和1.1两个数。

很显然，按照我们对自然数的界定，1是自然数，1.1不是自然数。

原因就是鱼的条数是天然单位，确定起来容易，没什么可争议的。

但1.1公斤是鱼的重量，如果拿更精确的秤来称，可能是1.11公斤呢？

可见自然与否，还是显然易见的。

那哪个数是第一个自然数呢？

这是一个存在争议的问题。

在数论专家看来，1是第一个自然数。

而在集合论研究者看来，0才是第一个自然数。

那么中小学老师该听谁的呢？

听教育部的。

专家说的都是浮云，只有教育部制定的课程标准才是最硬的。

而从数学史的角度来说，人们认识1远比认识0要早。

在所有自然数中，即便1当不了领头羊，它也有着自己的独特魅力。

那就是1还可以升级为抽象意义中的单位1。

森林里有很多树。

当我们说“一棵树”时，就是将一棵树看作是1个单位。

当我们说“一片树林”时，就是将一片树林看作是1个单位。

1就好像是孙悟空的金箍棒，可变大也可缩小，看你怎么用着方便就好。

下面这个故事中的小学生就把单位1的思想用到了极致。

古时候，一位国王问身边的大臣：

“王宫前面的水池里共有几杯水?

”

大臣回禀：

“这种问题只要问一个小学生就能得到正确的答复。

”

于是一个小学生被召来了。

“王宫前面的水池里面共有几杯水?

”国王问他。

“要看是怎样的杯子，”小学生不假思索地应声而答，“如果杯子和水池一般大，那就是一杯，如果杯子只有水池的一半大，那就是两杯，如果杯子只有水池的三分之一大。

那就是三杯。

如果……”

“你说得完全对!

”国王说着，奖赏了小学生。

池子里的水当然可以看作是1个单位，至于找不找得到承载“这1个单位”的水的容器，那是另外一回事了。

还有一个小气鬼做帽子的故事也很有意思。

有个小气鬼拿了一块布去请一个裁缝做一顶帽子。

他问布够不够？

裁缝量了布之后说：

布够了。

但是，这个小气鬼疑心裁缝要赚他的布。

于是，他就问这块布够不够做两顶帽子？

裁缝看透了他的心思，就回答说：

够做。

小气鬼还不罢休，又问够不够做三顶帽子？

……他添上一顶又一顶，直到五顶，裁缝总说能够做。

就这样，他们谈妥了，这块布做五顶帽子。

等到约定取帽子的那一天，小气鬼到了裁缝店。

他看到裁缝拿出做好的五顶帽子，小得只能套在手指头上。

小气鬼发现自己上了当，于是就到桑丘总督那里告裁缝的状。

在法庭上，原告小气鬼坚持要裁缝赔他的布，而被告裁缝却坚持要小气鬼付工钱。

桑丘总督听了两人的话之后，作了这样的判决：

裁缝不准要工钱，小气鬼也不准要布；做好的帽子充公，送到牢里给囚犯用。

那么裁缝与小气鬼的争吵，究竟是因为什么而引起的呢？

其实就是对单位1的看法不同。

裁缝认为只要每顶帽子的基本部件齐全，就是一顶合格的帽子，小一点就小一点。

一个单位1分解之后，可以得到很多个单位1。

而小气鬼也是自作自受，只讲数量，也没指定一定要符合自己头的大小尺寸。

单位1就像孙悟空的毫毛一样，一根毫毛可以变出很多东西来。

单位1在小学数学解题中很有作用，在奥数题中的作用更是让人吃惊。

下面两道小学奥数题，我原以为都是要列三元一次方程才能解决的，结果单位1出马，轻松搞定！

例1：

张、王、李三人共有54元，张用了自己钱数的3/5，王用了自己钱数的3/4，李用了自己钱数的2/3，各买了一支相同的钢笔。

张和李两人剩下的钱共有多少元?

解法1：

设张、王、李各有x、y、z元，列方程:

x+y+z=54，3/5x=3/4y=2/3z，则x=10/9z，y=8/9z，z=18；所以（1-3/5）x+（1-2/3）z=7/9z=14。

解法2：

设钢笔价格为单位1，则张有5/3，王有4/3，李有3/2，这样钢笔价格是54÷（5/3+4/3+3/2）=12元。

张剩下12×（5/3-1）=8，李剩下12×（3/2-1）=6，所以张和李共剩下8+6=14元。

例2：

甲、乙、丙三个好朋友去超市买了100元的商品。

如果甲付钱，那么甲剩下的钱将是乙、丙剩下钱的2/13；如果乙付钱，那么乙剩下的钱将是甲、丙剩下钱的9/16；如果丙付钱，丙用他的会员卡就可以享受9折优惠，只需付90元，那么丙剩下的钱将是甲、乙剩下钱的1/3。

问：

甲、乙、丙开始时一共带了多少钱？

解法1：

设甲乙丙各带x，y，z元,列方程:

x-100=2/13×（y+z）

y-100=9/16×（x+z）

z-90=1/3×（x+y）

解得：

x=200，y=370，z=280。

解法2：

将总钱数少100看做单位“1”。

甲剩下的钱占“2/15”,乙剩下的钱占“9/25”,那么丙全部的钱加100元占整体的1-2/15-9/25=38/75，这样丙花90元，是“38/75”少190元。

此时剩下的钱是丙的4倍，是“152/75”少760元。

而这个数目应当是“1”多10元。

因此“1”是（760+10）÷（152/75-1）=750元。

甲带钱750×2/15+100=200；乙带钱750×9/25+100=370；丙带钱750×38/75-100=280。

所以说，当你看到一个小学奥数题，切莫轻易下判断，这要用中学的知识才能解，更不着大声批判：

奥数题就是拿高年级的题为难低年级的学生。

我在《“提前学”还是“温故知新”》一文中说过：

当我们遇到一个问题解答不了，我们应该反思：

是数学知识储备还不够，还是知识储备够了，只是我们没有灵活地运用？

如果是知识储备不够，那么我们就应该去多学一点；如果是没有灵活运用已有知识，那么我们就应该多思考，“温故”也是“知新”的一条途径。

下面是《天龙八部》中一段，很让人受启发。

枯荣大师道：

“本因，咱们练功习艺，所为何来？

”

本因没料到师叔竟会如此询问，微微一愕，答道：

“为的是弘法护国。

”

枯荣大师道：

“外魔来时，若是吾等道浅，难用佛法点化，非得出手降魔不可，该用何种功夫？

”

本因道：

“若不得已而出手，当用一阳指。

”

枯荣大师部道：

“你在一阳指上的修为，已到了第几品境界？

”

本因额头出汗，答道：

“弟子根钝，又兼未能精进，只修得到第四品。

”

枯荣大师再问：

“以你所见，大理段氏的一阳指与少林牛花指、多罗叶指、无相劫指三项指法相较，孰优孰劣？

”

本因道：

“指法无优劣，功力有高下。

”枯荣大师道：

“不错。

咱们的一阳指若能练到第一品，那便如何？

”

本因道：

“渊深难测，弟子不敢妄说。

”

枯荣道：

“倘若你再活一百风，能练到第几品？

”

本因额上汗水涔涔而下，颤声道：

“弟子不知。

”

枯荣道：

“能修到第一品么？

”

本因道：

“决计不能。

”

枯荣大师就此不再说话。

本因道：

“师叔指点甚是，咱们自己的一阳指尚自修习不得周全，要旁人的武学奇经作甚？

明王远来辛苦，待敝寺设斋接风。

”这么说，自是拒绝大轮明王的所求了。

彭翕成pxc417@

武汉华中师范大学国家数字化学习工程技术研究中心430079

部分网友回帖：

小马过河

此前从没有收藏过个人的博客，彭老师的我收藏了，这才叫传播数学。

我儿子快三年级，很喜欢数学。

虽然只能懂很少的一部分，但也会很受用的。

我想他一定会喜欢彭老师的文章的。

路亨老师

很好

很多五年级学生在刚接触分数时，并不清楚单位1有什么样神奇的效用，所以很多学生会觉得工程问题难，会觉得分数应用题不知所云。

其实，如果能明白单位1是一个整体，它可大可小，那么，把题目条件多读几遍，选择出合适的单位1，无论是工程，还是牛吃草，还是部分与比例相关的应用题，其实都是很好理解的

大嘴

讲的很透！

好贴！

！

曹文雯

我观武侠受我父影响，独尊金庸。

盖以金庸所写，不仅武，不仅侠。

能令人有所悟。

话说我们小时候单位“1”是要求加引号的，或者，“1”就表示单位“1”之类的。

那时看学校发的数学报纸，亦有谈论“1”的妙用的。

与此文相比，实例多些，但不免有就题论题之感。

观彭老多篇文章，皆旁证博引，除数学外，亦令人有所悟。

得见大师文章，吾辈之幸。

xmgao

非常有意思！

我以为大师的文章我只能顶膜相拜，原来也深入浅出。

功力啊

再谈单位“1”

（2011-05-2215:

21:

46）

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桌上有什么？

1个苹果。

再放1个上去呢？

那就是2个苹果。

可不可以将两个苹果合二为一，看作是一个整体呢？

这不太合适吧！

如果用一个盘子把两个苹果装起来呢？

那就行了，可称之为一盘苹果。

可问题是没有盘子啊？

哎，什么时候你才能达到“手中无盘，心中有盘”的境界！

有人曾建议，将单位“1”用整体“1”来代替。

理由是小学生在学习时，觉得“一个苹果可看作是单位“1”，怎么两个苹果还可以看作是单位“1”啊，难以理解。

这位老师的提议也不是没有道理。

从1个单位发展成为单位“1”，是从具体到抽象，使得1异常简单的数字包罗万象，从此它不仅仅代表一个物品或是一个计量单位，它还表示由一些物品组成的整体。

这一新观点的产生，可认为是人们认识上的一大飞跃。

小学生出现理解上的偏差，是完全可以理解的。

单位“1”中的“1”具有双重身份。

在计算过程中,它与自然数1一样计算,但在概念上,它们有着本质的区别。

单位“1”中的“1”在分数中表示分率,在百分数中表示百分之百,为区别自然数1,我们通常将单位“1”中的“1”加上了双引号。

“苹果比香蕉多5斤”，可以等价转化为“香蕉比苹果少5斤。

”但“苹果比香蕉多1/2”与“香蕉比苹果少1/2”则不能简单地换算。

假设香蕉是10斤，按前一句话，苹果应该是15斤；按后一句话，苹果应该是20斤。

怎么回事呢？

就是看似同样的1/2，其基准不一样，也就是所取单位“1”有区别。

前者是以苹果为单位“1”，后者则是以香蕉为单位“1”。

与此相关的，有一个非常经典的数学问题。

水结成冰后，体积增加了原来的1/11，冰化成水后，体积减少了几分之几？

水结成冰时，体积增加了原来的1/11，即11单位体积水变成12单位体积冰。

反过来，冰化成水后，12单位体积冰变成11单位体积水，所以它的体积减少了冰的（12-11）/12=1/12。

单位“1”在小学阶段非常重要，原因之一就是，它是构建分数概念的前提。

什么是分数？

把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫分数。

大家平时对“平均分”强调较多，对单位“1”则有所忽视。

可你要知道，脱离单位“1”的分数只是一堆没有意义的符号。

什么是1/2，其实指的是单位“1”的1/2，单纯地提1/2是没有意义的。

单位“1”的思想在解题中实在太有用了。

略举两则数学趣题。

顺水逆水

小刚沿某公路步行上学，沿途发现每隔9分钟有一辆公共汽车从后面超过他，每隔7分钟遇到一辆迎面而来的公共汽车，若汽车发车的间隔相同，汽车的速度也相同，公共汽车发车的间隔是多少分钟？

解：

每两辆公共汽车之间的距离相等，设该距离为单位“1”。

由每隔9分钟后面超越，可知车与人速度差为每分钟1/9。

由每隔7分钟迎面遇上，可知车与人速度和为每分钟1/7。

（1/9+1/7）÷2=8/63，即为车的速度。

那么单位“1”的距离，两车之间间隔时间为1÷（8/63）=63/8分钟。

船在水中行走，分顺水和逆水两种情况。

此题与之相似，只不过条件隐藏更深。

三车追赶

客车在前，货车在中，小车在后。

在某一时刻，客车与货车、货车与轿车的距离相等。

从这一刻起，10分钟后小车追上货车，又过5分钟，小车又追上客车，再过多少分钟后货车通追上客车。

解：

假设当时每车之间的距离是单位“1”，可知：

小车速度-货车速度=1/10，小车速度-客车速度=2/（10+5），那么货车速度-客车速度=2/15-1/10=1/30,货车总共需要30分钟追上客车。

30-10-5=15分钟，所以再过15分钟后货车追上客车。

彭翕成pxc417@

武汉华中师范大学国家数字化学习工程技术研究中心430079