学年甘肃省兰州市第四片区高一上学期期末考试数学试题.docx
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学年甘肃省兰州市第四片区高一上学期期末考试数学试题
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2020-2021学年甘肃省兰州市第四片区高一上学期期末考试数学试题
注意事项:
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1.设全集为,集合,则()
A.B.C.D.
答案:
D
分析:
先求出,再利用交集的运算法则计算即可.
解:
因为,所以,
所以.
故选:
D.
2.下列函数中,既是奇函数又在定义域上是增函数的为().
A.B.C.D.
答案:
D
选项,在定义域上是增函数,但是是非奇非偶函数,故错;
选项,是偶函数,且在上是增函数,在上是减函数,故错;
选项,是奇函数且在和上单调递减,故错;
选项,是奇函数,且在上是增函数,故正确.
综上所述,故选.
3.若经过,两点的直线的倾斜角为,则
A.B.C.D.
答案:
C
解:
由题意可得,即,解得,故选C.
4.函数的零点所在的一个区间是()
A.B.C.D.
答案:
B
分析:
根据函数是连续函数,利用零点存在定理判断.
解:
函数是连续函数,
∵,
,
∴,
由零点判定定理可知函数的零点在.
故选:
B.
5.,是空间两条不同的直线,,是两个不同的平面,则下列命题中正确的是()
A.若,,,则
B.若,,,则
C.若,,,则
D.若,,,则
答案:
D
分析:
由,,可得m与n平行或相交或异面,即可判断A;画出图形可判断BC;由线面垂直的性质可判断D.
解:
对于A,若,,,则m与n平行或相交或异面,故A错误;
对于B,如图,,,,但m与n不垂直,故B错误;
对于C,如图,满足,,,但与不垂直,故C错误;
对于D,若,,则,又,则,故D正确.
故选:
D.
点评:
本题考查线面关系,面面关系的有关命题的判断,属于基础题.
6.某几何体的三视图如图所示(其中俯视图中的曲线是圆弧),则该几何体的表面积为()
A.B.C.D.
答案:
B
分析:
由三视图可知该几何体为圆柱体的一半,结合表面积公式可得结果.
解:
该几何体为一个圆柱体的一半,所以表面积.
点评:
本题主要考查根据几何体的三视图求几何体的表面、体积问题,属于基础题型.
7.函数的零点个数是()
A.0B.1C.2D.3
答案:
C
分析:
函数的零点,即方程的根,也就是两个函数与的交点的横坐标,画出两函数的图象,数形结合得答案.
解:
由,得,
作出函数与的图形如图,
由图可知,函数的零点个数是2.
故选:
C.
点评:
本题考查函数零点与方程的根,与两个函数图象交点横坐标之间的转化关系,关键是准确作出函数的图象,考查数形结合思想、转化与化归思想的应用.
8.用与球心距离为1的平面去截面面积为,则球的体积为
A.B.C.D.
答案:
D
截面半径,所以,所以体积,故选D.
9.在中,,,若使该三角形绕直线旋转一周,则所形成的几何体的体积是()
A.B.C.D.
答案:
A
分析:
首先确定空间几何体的结构特征,然后结合体积公式整理计算即可求得最终结果.
详解:
如图所示,△ABC中,绕直线BC旋转一周,则所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去了一个以ABD为轴截面的小圆锥后剩余的部分.
由于,,,
则,,
结合三棱锥的体积公式可得:
以ACD为轴截面的圆锥的体积:
,
以ABD为轴截面的小圆锥的体积:
,
则所形成的几何体的体积是.
本题选择A选项.
点睛:
本题主要考查椎体的体积公式,学生的空间想象能力,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10.如图,在正方体中,直线与平面所成的角的大小是()
A.90°B.60°C.45°D.30°
答案:
D
分析:
试题分析:
如图,连接,,连接,因为,,所以平面,所以即为所求角,并且,所以,故选D.
线面角
11.直三棱柱中,若,,则异面直线与所成的角等于
A.30°B.45°C.60°D.90°
答案:
C
解:
本试题主要考查异面直线所成的角问题,考查空间想象与计算能力.延长B1A1到E,使A1E=A1B1,连结AE,EC1,则AE∥A1B,∠EAC1或其补角即为所求,由已知条件可得△AEC1为正三角形,∴∠EC1B为,故选C.
12.已知正四棱锥的底面是边长为的正方形,若一个半径为的球与此四棱锥所有面都相切,则该四棱锥的高是()
A.B.C.D.
答案:
B
因为球O与正四棱锥所有面都相切,于是由等体积法知.
故选B.
二、填空题
13.如果三个球的表面积之比是,那么它们的体积之比是__________.
答案:
∵三个球的表面积之比是,∴三个球的半径之比是,∴三个球的体积之比是.
14.正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是上底面ABCD的中心,若正方体的棱长为a,则三棱锥O-AB1D1的体积为_____________.
答案:
试题分析:
棱锥体积
15.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为____.
答案:
设正方体边长为,则,
外接球直径为.
球
【名师点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有
(1)三条棱两两互相垂直时,可恢复为长方体,利用长方体的体对角线为外接球的直径,求出球的半径;
(2)直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行,借助球的对称性,球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点,再根据勾股定理求球的半径;(3)如果设计几何体有两个面相交,可过两个面的外心分别作两个面的垂线,垂线的交点为几何体的球心,本题就是第三种方法.
16.定义在R上的奇函数,当时,,则不等式的解集是________.
答案:
分析:
当时,,解不等式即可得结果,当时,根据为奇函数,可得在的解析式,结合题意,即可得结果.
解:
当时,因为,
所以,解得;
当时,,因为为奇函数,
所以,
所以当时,,
所以,解得.
综上的解集是,
故答案为:
点评:
本题考查函数的奇偶性的应用,对数的计算,考查计算化简的能力,属基础题.
三、解答题
17.已知:
函数,
(1)求函数f(x)的定义域;判断函数f(x)的奇偶性并说明理由;
(2)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性,并用定义加以证明.
答案:
(1)(﹣∞,0)∪(0,+∞),奇函数,理由见解析;
(2)增函数,证明见解析.
分析:
(1)使函数表达式有意义即可求出定义域;由函数的奇偶性定义即可判断;
(2)由函数单调性定义即可证明.
解:
(1)定义域:
(﹣∞,0)∪(0,+∞),定义域关于原点对称,
∵f(﹣x)=﹣xxf(x),
∴函数f(x)是奇函数;
(2)判断:
函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,
证明:
任取x1,x2∈(0,+∞)且x1<x2,
∴f(x1)﹣f(x2)()=(x1﹣x2)
(1),
∵x1<x2,x1,x2∈(0,+∞),
∴x1﹣x2<0,10,
∴f(x1)﹣f(x2)<0,
∴f(x1)<f(x2),
∴函数f(x)在(0,+∞)上是增函数.
点评:
本题考查了函数的定义域、奇偶性以及单调性,注意在判断单调性时,首先判断定义域是否关于原点对称,此题属于基础题.
18.如图,是正方形,直线底面,,是的中点.
(1)证明:
直线平面;
(2)求直线与平面所成角的正切值.
答案:
(1)证明见解析;
(2);
分析:
(1)连接,由三角形中位线可证得,根据线面平行判定定理可证得结论;
(2)根据线面角定义可知所求角为,且,由长度关系可求得结果.
解:
(1)连接,交于,连接
四边形为正方形为中点,又为中点
平面,平面平面
(2)平面直线与平面所成角即为
设,则
点评:
本题考查立体几何中线面平行关系的证明、直线与平面所成角的求解;证明线面平行关系常采用两种方法:
(1)在平面中找到所证直线的平行线;
(2)利用面面平行的性质证得线面平行.
19.如图,在四边形中,,,,,,求四边形绕直线旋转一周所成几何体的表面积及体积.
答案:
,.
分析:
可得四边形绕直线旋转一周所成几何体为一个圆台挖去一个圆锥,分别求出表面积和体积即可.
解:
可得四边形绕直线旋转一周所成几何体为一个圆台挖去一个圆锥,
,则是等腰直角三角形,,
,
,
.
20.已知幂函数在为减函数,且对数函数满足
(1)求、的解析式
(2)若实数a满足,求实数a的取值范围.
答案:
(1);;
(2).
分析:
(1)根据幂函数的定义与性质,列出不等式组,求出m的值即可.根据是对数函数,由,利用图象关于x=m的值求解.
(2)根据的单调性,由求解.
解:
(1)因为幂函数在为减函数,
∴,
解得,
∴;
又∵是对数函数,且,
∴设,
∴,
即,
解得,
∴;
(2)∵实数a满足,
且在上单调递增,
∴,
解得;
即,
∴实数a的取值范围是.
21.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点.
(1)求证:
PA⊥BD;
(2)求证:
平面BDE⊥平面PAC;
(3)当PA∥平面BDE时,求三棱锥E-BCD的体积.
答案:
(1)证明见解析;
(2)证明见解析;(3)
试题分析:
(Ⅰ)要证明线线垂直,一般转化为证明线面垂直;(Ⅱ)要证明面面垂直,一般转化为证明线面垂直、线线垂直;(Ⅲ)由即可求解.
试题解析:
(I)因为,,所以平面,
又因为平面,所以.
(II)因为,为中点,所以,
由(I)知,,所以平面.
所以平面平面.
(III)因为平面,平面平面,
所以.
因为为的中点,所以,.
由(I)知,平面,所以平面.
所以三棱锥的体积.
【名师点睛】线线、线面的位置关系以及证明是高考的重点内容,而其中证明线面垂直又是重点和热点,要证明线面垂直,根据判定定理可转化为证明线与平面内的两条相交直线垂直,也可根据性质定理转化为证明面面垂直.
22.如图:
在四棱锥中,底面是边长为2的正方形,其它四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形.
(1)求二面角的平面角的大小;
(2)求四棱锥的体积.
答案:
(1);
(2).
分析:
(1)取的中点,的中点,连,由正方形的性质可得由等腰三角形的性质可得,是二面角的平面角,证明是正三角形即可得结果;
(2)由
(1)知平面可得平面平面,过作,则平面,利用棱锥的体积公式可得结果.
解:
(1)取的中点,的中点,
连,
是边长为2的正方形
又
是二面角的平面角
在中,
,
同理
是正三角形
,
(2)由
(1)知平面
所以平面平面
过作,
则平面
,
,
所以,
.
点评:
本题主要考查锥体的体积公式、二面角的求法,属于难题.求二面角的大小既能考查线线垂直关系,又能考查线面垂直关系,同时可以考查学生的计算能力,是高考命题的热点,求二面角的方法通常有两个思路:
一是利用空间向量,建立坐标系,这种方法优点是思路清晰、方法明确,但是计算量较大;二是传统方法,求出二面角平面角的大小,这种解法的关键是找到平面角.
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- 学年 甘肃省 兰州市 第四 片区高一上 学期 期末考试 数学试题