高考文科数学第一轮开卷速查检测题20.docx
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高考文科数学第一轮开卷速查检测题20
开卷速查 规范特训
课时作业 实效精炼
开卷速查(43) 直线、平面垂直的判定与性质
一、选择题
1.设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是( )
A.若l⊥m,m⊂α,则l⊥α
B.若l⊥α,l∥m,则m⊥α
C.若l∥α,m⊂α,则l∥m
D.若l∥α,m∥α,则l∥m
解析:
若l⊥m,m⊂α,则l与α可能平行、相交或l⊂α;若l⊥α,l∥m,则m⊥α;若l∥α,m⊂α,则l与m可能平行或异面;若l∥α,m∥α,则l与m可能平行、相交或异面,故只有B选项正确.
答案:
B
2.已知m是平面α的一条斜线,点A∉α,l为过点A的一条动直线,那么下列情形可能出现的是( )
A.l∥m,l⊥α B.l⊥m,l⊥α
C.l⊥m,l∥αD.l∥m,l∥α
解析:
设m在平面α内的射影为n,当l⊥n且与α无公共点时,l⊥m,l∥α.
答案:
C
3.已知平面α与平面β相交,直线m⊥α,则( )
A.β内必存在直线与m平行,且存在直线与m垂直
B.β内不一定存在直线与m平行,不一定存在直线与m垂直
C.β内不一定存在直线与m平行,但必存在直线与m垂直
D.β内必存在直线与m平行,不一定存在直线与m垂直
解析:
如图,在平面β内的直线若与α,β的交线a平行,则有m与之垂直.但却不一定在β内有与m平行的直线,只有当α⊥β时才存在.
答案:
C
4.正方体ABCDA′B′C′D′中,E为A′C′的中点,则直线CE垂直于( )
A.A′C′B.BD
C.A′D′D.AA′
解析:
连接B′D′,
∵B′D′⊥A′C′,B′D′⊥CC′,且A′C′∩CC′=C′,
∴B′D′⊥平面CC′E.
而CE⊂平面CC′E,
∴B′D′⊥CE.
又∵BD∥B′D′,∴BD⊥CE.
答案:
B
5.已知l,m是不同的两条直线,α,β是不重合的两个平面,则下列命题中为真命题的是( )
A.若l⊥α,α⊥β,则l∥β
B.若l∥α,α⊥β,则l∥β
C.若l⊥m,α∥β,m⊂β,则l⊥α
D.若l⊥α,α∥β,m⊂β,则l⊥m
解析:
∵l⊥α,α∥β,∴l⊥β.又∵m⊂β,∴l⊥m.
答案:
D
6.设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列四个命题:
①若a⊥b,a⊥α,b⊄α,则b∥α ②若a∥α,a⊥β,则α⊥β ③若a⊥β,α⊥β,则a∥α或a⊂α ④若a⊥b,a⊥α,b⊥β,则α⊥β.
其中正确命题的个数为( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析:
对于①,由b不在平面α内知,直线b或者平行于平面α,或者与平面α相交,若直线b与平面α相交,则直线b与直线a不可能垂直,这与已知“a⊥b”相矛盾,因此①正确.对于②,由a∥α知,在平面α内必存在直线a1∥a,又a⊥β,所以有a1⊥β,所以α⊥β,②正确.对于③,若直线a与平面α相交于点A,过点A作平面α、β的交线的垂线m,则m⊥β,又α⊥β,则有a∥m,这与“直线a、m有公共点A”相矛盾,因此③正确.对于④,过空间一点O分别向平面α、β引垂线a1、b1,则有a∥a1,b∥b1,又a⊥b,所以a1⊥b1,所以α⊥β,因此④正确.综上所述,其中正确命题的个数为4.
答案:
D
7.如图,在斜三棱柱ABCA1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在( )
A.直线AB上
B.直线BC上
C.直线AC上
D.△ABC内部
解析:
由AC⊥AB,AC⊥BC1,∴AC⊥平面ABC1.
又∵AC⊂面ABC,∴平面ABC1⊥平面ABC.
∴C1在面ABC上的射影H必在两平面交线AB上.
答案:
A
8.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥ABCD,则在三棱锥ABCD中,下面命题正确的是( )
A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABC
解析:
在平面图形中CD⊥BD,折起后仍有CD⊥BD,由于平面ABD⊥平面BCD,故CD⊥平面ABD,CD⊥AB,又AB⊥AD,故AB⊥平面ADC,所以平面ABC⊥平面ADC.
答案:
D
9.已知矩形ABCD,AB=1,BC=
,将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中( )
A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直
B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直
C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直
D.对任意位置,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直
解析:
找出图形在翻折过程中变化的量与不变的量.
图
(1)
图
(2)
对于选项A,过点A作AE⊥BD,垂足为E,过点C作CF⊥BD,垂足为F,
在图
(1)中,由边AB,BC不相等可知点E,F不重合.
在图
(2)中,连接CE,若直线AC与直线BD垂直,
又∵AC∩AE=A,∴BD⊥面ACE,
∴BD⊥CE,与点E,F不重合相矛盾,故A错误.
对于选项B,若AB⊥CD,
又∵AB⊥AD,AD∩CD=D,∴AB⊥面ADC,
∴AB⊥AC,由AB 对于选项C,若AD⊥BC, 又∵DC⊥BC,AD∩DC=D,∴BC⊥面ADC, ∴BC⊥AC.已知BC= ,AB=1,BC>AB, ∴不存在这样的直角三角形.∴C错误. 由上可知D错误,故选B. 答案: B 10.已知三棱锥SABC中,底面ABC为边长等于2的等边三角形,SA垂直于底面ABC,SA=3,那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. 解析: 如图所示,过点A作AD⊥BC于点D,连接SD;作AG⊥SD于点G,连接GB. ∵SA⊥底面ABC,△ABC为等边三角形, ∴BC⊥SA,BC⊥AD. ∴BC⊥平面SAD. 又AG⊂平面SAD,∴AG⊥BC. 又AG⊥SD,∴AG⊥平面SBC. ∴∠ABG即为直线AB与平面SBC所成的角. ∵AB=2,SA=3,∴AD= ,SD=2 . 在Rt△SAD中,AG= = , ∴sin∠ABG= = = . 答案: D 二、填空题 11.如图,∠BAC=90°,PC⊥平面ABC,则在△ABC,△PAC的边所在的直线中: 与PC垂直的直线有__________;与AP垂直的直线有__________. 解析: ∵PC⊥平面ABC, ∴PC垂直于直线AB,BC,AC; ∵AB⊥AC,AB⊥PC,∴AB⊥平面PAC, ∴AB⊥PC. 与AP垂直的直线是AB. 答案: AB,BC,AC AB 12.如图,PA⊥圆O所在的平面,AB是圆O的直径,C是圆O上的一点,E、F分别是点A在PB、PC上的正投影,给出下列结论: ①AF⊥PB ②EF⊥PB ③AF⊥BC ④AE⊥平面PBC. 其中正确结论的序号是__________. 解析: 由题意知PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC. 又AC⊥BC,PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC. ∴BC⊥AF.∵AF⊥PC,BC∩PC=C, ∴AF⊥平面PBC,∴AF⊥PB,AF⊥BC. 又AE⊥PB,AE∩AF=A,∴PB⊥平面AEF. ∴PB⊥EF.故①②③正确. 答案: ①②③ 13.已知P为△ABC所在平面外一点,且PA、PB、PC两两垂直,则下列命题: ①PA⊥BC ②PB⊥AC ③PC⊥AB ④AB⊥BC. 其中正确的个数是__________. 解析: 如图所示. ∵PA⊥PC、PA⊥PB, PC∩PB=P, ∴PA⊥平面PBC. 又∵BC⊂平面PBC,∴PA⊥BC. 同理PB⊥AC、PC⊥AB.但AB不一定垂直于BC. 答案: 3 14.已知a、b、l表示三条不同的直线,α、β、γ表示三个不同的平面,有下列四个命题: ①若α∩β=a,β∩γ=b,且a∥b,则α∥γ ②若a、b相交,且都在α、β外,a∥α,a∥β,b∥α,b∥β,则α∥β ③若α⊥β,α∩β=a,b⊂β,a⊥b,则b⊥α ④若a⊂α,b⊂α,l⊥a,l⊥b,l⊄α,则l⊥α. 其中正确命题的序号是__________. 解析: ①在正方体A1B1C1D1ABCD中,可令平面A1B1CD为α,平面DCC1D1为β,平面A1B1C1D1为γ,又平面A1B1CD∩平面DCC1D1=CD,平面A1B1C1D1∩平面DCC1D1=C1D1,则CD与C1D1所在的直线分别表示a,b,因为CD∥C1D1,但平面A1B1CD与平面A1B1C1D1不平行,即α与γ不平行,故①错误.②因为a、b相交,假设其确定的平面为γ,根据a∥α,b∥α,可得γ∥α.同理可得γ∥β,因此α∥β,②正确.③由两平面垂直,在一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面垂直,易知③正确.④当a∥b时,l垂直于平面α内两条不相交直线,不可得出l⊥α,④错误. 答案: ②③ 三、解答题 15.[2014·石家庄质检一]如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,CD⊥平面PAD,PA⊥AD,PA=2,E为PC的中点,F在棱PA上. (1)求证: AC⊥DE; (2)求三棱锥EBDF的体积. 解析: (1)连接EO,E为PC的中点,则EO∥AP. ∵CD⊥平面PAD,CD⊂平面ABCD, ∴平面ABCD⊥平面PAD. 又∵平面ABCD∩平面PAD=AD,PA⊥AD, ∴PA⊥平面ABCD, ∴EO⊥平面ABCD, ∴EO⊥AC. 又∵AC⊥BD,BD∩OE=O, ∴AC⊥平面BED,∴AC⊥DE. (2)由 (1)知EO∥AP,EO⊂平面BED, 故AP∥平面BED. 又∵AC⊥平面BED, ∴AO即为点F到平面BED的距离. 又∵AO= ,S△BDE= BD·EO= × ×1= , ∴VE-BDF=VF-BDE= × × = . 答案: (1)证明略; (2) 16.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F分别是CD、A1D1的中点. (1)求证: AB1⊥BF; (2)求证: AE⊥BF; (3)棱CC1上是否存在点P,使BF⊥平面AEP? 若存在,确定点P的位置,若不存在,说明理由. 解析: (1)证明: 连接A1B,则AB1⊥A1B, 又∵AB1⊥A1F,且A1B∩A1F=A1, ∴AB1⊥平面A1BF. 又BF⊂平面A1BF,∴AB1⊥BF. (2)证明: 取AD中点G,连接FG,BG,则FG⊥AE, 又∵△BAG≌△ADE, ∴∠ABG=∠DAE. ∴AE⊥BG. 又∵BG∩FG=G,∴AE⊥平面BFG. 又BF⊂平面BFG,∴AE⊥BF. (3)存在.取CC1中点P,即为所求.连接EP,AP,C1D, ∵EP∥C1D,C1D∥AB1,∴EP∥AB1. 由 (1)知AB1⊥BF,∴BF⊥EP. 又由 (2)知AE⊥BF,且AE∩EP=E, ∴BF⊥平面AEP. 答案: (1)证明略; (2)证明略; (3)存在,P为CC1中点. 创新试题 教师备选 教学积累 资源共享 教师用书独具 1.设α,β,γ是三个不重合的平面,l是直线,给出下列命题 ①若α⊥β,β⊥γ,则α⊥γ ②若l上两点到α的距离相等,则l∥α ③若l⊥α,l∥β,则α⊥β ④若α∥β,l⊄β,且l∥α,则l∥β. 其中正确的命题是( ) A.①② B.②③ C.②④D.③④ 解析: 对于①: 若α⊥β,β⊥γ,则α⊥γ,前者不是后者 的充分条件,比如当α∥γ时,也有α⊥β,β⊥γ.对于②: 显然错误,当l⊥α,l∩α=A时,l上到A距离相等的两点到α的距离相等.③④显然正确. 答案: D 2.[2014·曲阜师大附中质检]如图所示,直线PA垂直于⊙O所在的平面,△ABC内接于⊙O,且AB为⊙O的直径,点M为线段PB的中点.现有结论: ①BC⊥PC;②OM∥平面APC;③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长.其中正确的是( ) A.①② B.①②③ C.① D.②③ 解析: 对于①,∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC.∵AB为⊙O的直径,∴BC⊥AC.∴BC⊥平面PAC.又PC⊂平面PAC,∴BC⊥PC;对于②,∵点M为线段PB的中点,∴OM∥PA.∵PA⊂平面PAC,∴OM∥平面PAC;对于③,由①知BC⊥平面PAC,∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离,故①②③都正确. 答案: B 3.如图,在三棱锥DABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列正确的是( ) A.平面ABC⊥平面ABD B.平面ABD⊥平面BDC C.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDE D.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE 解析: 要判断两个平面的垂直关系,就需固定其中一个平面,找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直.因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC,同理有DE⊥AC,于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内,所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE. 答案: C 4.[2014·忻州一中月考]正四棱锥SABCD的底面边长为2,高为2,E是BC的中点,动点P在四棱锥的表面上运动,并且总保持PE⊥AC,则动点P的轨迹的长为__________. 解析: 如图,设AC∩BD=O,连接SO,取CD的中点F,SC的中点G,连接EF,EG,FG,设EF交AC于点H,连接GH, 易知AC⊥EF,GH∥SO, ∴GH⊥平面ABCD, ∴AC⊥GH,∴AC⊥平面EFG, 故动点P的轨迹是△EFG,由已知易得EF= , GE=GF= ,∴△EFG的周长为 + ,故动点P的轨迹长为 + . 答案: + 5.[2014·蚌埠模拟]点P在正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线BC1上运动,给出下列四个命题: ①三棱锥AD1PC的体积不变 ②A1P∥平面ACD1 ③DP⊥BC1 ④平面PDB1⊥平面ACD1. 其中正确的命题序号是__________. 解析: 连接BD交AC于O,连接DC1交D1C于O1,连接OO1,则OO1∥BC1. ∴BC1∥平面AD1C,动点P到平面AD1C的距离不变, ∴三棱锥PAD1C的体积不变. 又VPAD1C=VAD1PC,∴①正确. ∵平面A1C1B∥平面AD1C,A1P⊂平面A1C1B, ∴A1P∥平面ACD1,②正确. 由于DB不垂直于BC1,显然③不正确; 由于DB1⊥D1C,DB1⊥AD1,D1C∩AD1=D1, ∴DB1⊥平面AD1C.DB1⊂平面PDB1, ∴平面PDB1⊥平面ACD1,④正确. 答案: ①②④ 6.[2014·珠海摸底]如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是梯形,AB∥CD,四边形ACFE是矩形,平面ACFE⊥平面ABCD,AD=DC=CB=AE=a,∠ACB= . (1)求证: BC⊥平面ACFE; (2)若M是棱EF上一点,AM∥平面BDF,求EM的长. 解析: (1)证明: ∵∠ACB= ,∴BC⊥AC. 又∵BC⊂平面ABCD,平面ACFE∩平面ABCD=AC,平面ACFE⊥平面ABCD,∴BC⊥平面ACFE. (2)记AC∩BD=O,在梯形ABCD中, ∵AD=DC=CB=a,AB∥CD, ∴∠ACD=∠CAB=∠DAC. ∴π=∠ABC+∠BCD=∠DAB+∠ACD+∠ACB=3∠DAC+ ,∴∠DAC= ,即∠CBO= . 又∵∠ACB= ,CB=a,∴CO= a. 连接FO,由AM∥平面BDF得AM∥FO, ∵四边形ACFE是矩形,∴EM=CO= a. 答案: (1)证明略; (2) a.
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