最新高中数学第1章常用逻辑用语11.docx
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最新高中数学第1章常用逻辑用语11
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2019-2020最新高中数学第1章常用逻辑用语1
(1)
______年______月______日
____________________部门
学习目标 1.理解含有一个量词的命题的否定的意义.2.会对含有一个量词的命题进行否定.3.掌握全称命题的否定是存在性命题,存在性命题的否定是全称命题.
知识点一 全称命题的否定
思考 尝试写出下面含有一个量词的全称命题的否定,并归纳写全称命题否定的方法.
(1)所有矩形都是平行四边形;
(2)每一个质数都是奇数;
(3)∀x∈R,x2-2x+1≥0.
答案
(1)将量词“所有”换为“存在一个”,然后将结论否定,即“不是平行四边形”,所以原命题的否定为:
“存在一个矩形不是平行四边形”;
(2)存在一个质数不是奇数;
(3)∃x∈R,x2-2x+1<0.
梳理 写全称命题的否定的方法:
(1)更换量词,将全称量词换为存在量词;
(2)将结论否定.
对于含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论:
全称命题p:
∀x∈M,p(x),它的否定綈p:
∃x∈M,綈p(x).
全称命题的否定是存在性命题.
知识点二 存在性命题的否定
思考 尝试写出下面含有一个量词的存在性命题的否定,并归纳写存在性命题否定的方法.
(1)有些实数的绝对值是正数;
(2)某些平行四边形是菱形;
(3)∃x∈R,x2+1<0.
答案
(1)先将存在量词“有些”改写为全称量词“所有”,然后将结论“实数的绝对值是正数”否定,即“实数的绝对值不是正数”,于是得原命题的否定为:
“所有实数的绝对值都不是正数”;
(2)所有平行四边形都不是菱形;
(3)∀x∈R,x2+1≥0.
梳理 写存在性命题的否定的方法:
(1)将存在量词改写为全称量词;
(2)将结论否定.
对于含一个量词的存在性命题的否定,有下面的结论:
存在性命题p:
∃x∈M,p(x),它的否定綈p:
∀x∈M,綈p(x).存在性命题的否定是全称命题.
1.命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”.(×)
2.命题綈(p∧q)是假命题,则命题p,q中至少有一个是假命题.(×)
3.全称命题的否定一定是存在性命题.(√)
类型一 全称命题的否定
例1 判断下列命题的真假,并写出它们的否定.
(1)对任意x∈R,x3-x2+1≤0;
(2)所有能被5整除的整数都是奇数;
(3)对任意的x∈Q,x2+x+1是有理数.
解
(1)当x=2时,23-22+1=5>0,故
(1)是假命题.
命题的否定:
存在x∈R,x3-x2+1>0.
(2)10能被5整除,10是偶数,故
(2)是假命题.
命题的否定:
存在一个能被5整除的整数不是奇数.
(3)有理数经过加、减、乘运算后仍是有理数,故(3)是真命题.
命题的否定:
存在x∈Q,x2+x+1不是有理数.
反思与感悟 1.全称命题的否定
全称命题的否定是一个存在性命题,给出全称命题的否定时既要否定全称量词,又要否定性质,所以找出全称量词,明确命题所提供的性质是解题的关键.
2.常见词语的否定
原词
否定词
原词
否定词
原词
否定词
等于
不等于
是
不是
至少一个
一个也没有
大于
不大于
都是
不都是
任意
某个
小于
不小于
至多一个
至少两个
所有的
某些
跟踪训练1 写出下列全称命题的否定:
(1)任何一个平行四边形的对边都平行;
(2)数列:
1,2,3,4,5中的每一项都是偶数;
(3)任意a,b∈R,方程ax=b都有唯一解;
(4)可以被5整除的整数,末位是0.
解
(1)其否定:
存在一个平行四边形,它的对边不都平行.
(2)其否定:
数列:
1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数.
(3)其否定:
存在a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一或不存在.
(4)其否定:
存在能被5整除的整数,末位不是0.
类型二 存在性命题的否定
例2 写出下列存在性命题的否定,并判断其真假.
(1)p:
∃x∈R,2x+1≥0;
(2)q:
∃x∈R,x2-x+<0;
(3)r:
有些分数不是有理数.
考点 存在量词的否定
题点 含存在量词的命题的否定
解
(1)綈p:
∀x∈R,2x+1<0,綈p为假命题.
(2)綈q:
∀x∈R,x2-x+≥0.
∵x2-x+=2≥0,
∴綈q是真命题.
(3)綈r:
一切分数都是有理数,綈r是真命题.
反思与感悟 存在性命题的否定是全称命题,写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词.即p:
∃x∈M,p(x)成立⇒綈p:
∀x∈M,綈p(x)成立.
跟踪训练2 写出下列存在性命题的否定,并判断其否定的真假.
(1)p:
存在x>1,使x2-2x-3=0;
(2)p:
有些素数是奇数;
(3)p:
有些平行四边形不是矩形.
解
(1)其否定:
任意x>1,x2-2x-3≠0(假).
(2)其否定:
所有的素数都不是奇数(假).
(3)其否定:
所有的平行四边形都是矩形(假).
类型三 含量词的命题的应用
例3 已知命题“对于任意x∈R,x2+ax+1≥0”是假命题,求实数a的取值范围.
考点 含有一个量词的命题
题点 由含有一个量词的命题的真假求参数的取值范围
解 因为全称命题“对于任意x∈R,x2+ax+1≥0”的否定形式为:
“存在x∈R,x2+ax+1<0”.
由“命题真,其否定假;命题假,其否定真”可知,这个否定形式的命题是真命题.
由于函数f(x)=x2+ax+1是开口向上的抛物线,
借助二次函数的图象易知Δ=a2-4>0,
解得a<-2或a>2.
所以实数a的取值范围是(-∞,-2)∪(2,+∞).
引申探究
把本例中“假命题”改为“真命题”,求实数a的取值范围.
解 由题意知Δ=a2-4≤0,解得a∈[-2,2].
故实数a的取值范围为[-2,2].
反思与感悟 含有一个量词的命题与参数范围的求解策略
(1)对于全称命题“∀x∈M,a>f(x)(或a<f(x))”为真的问题,实质就是不等式恒成立问题,通常转化为求函数f(x)的最大值(或最小值),即a>f(x)max(a<f(x)min).
(2)对于存在性命题“∃x∈M,a>f(x)(或a<f(x))”为真的问题,实质就是不等式能成立问题,通常转化为求函数f(x)的最小值(或最大值),即a>f(x)min(或a<f(x)max).
(3)若全称命题为假命题,通常转化为其否定形式——存在性命题为真命题解决,同理,若存在性命题为假命题,通常转化为其否定形式——全称命题为真命题解决.
跟踪训练3 已知函数f(x)=x2-2x+5.
(1)是否存在实数m,使不等式m+f(x)>0对于任意x∈R恒成立,并说明理由;
(2)若存在一个实数x,使不等式m-f(x)>0成立,求实数m的取值范围.
考点 含有一个量词的命题
题点 由含有一个量词的命题的真假求参数的取值范围
解
(1)不等式m+f(x)>0可化为m>-f(x),
即m>-x2+2x-5=-(x-1)2-4.
要使m>-(x-1)2-4对于任意x∈R恒成立,
只需m>-4即可.
故存在实数m,使不等式m+f(x)>0对于任意x∈R恒成立,此时,只需m>-4.
(2)不等式m-f(x)>0可化为m>f(x),若存在一个实数x,使不等式m>f(x)成立,只需m>f(x)min.
又f(x)=(x-1)2+4,
∴f(x)min=4,∴m>4.
∴所求实数m的取值范围是(4,+∞).
1.命题“∀x∈R,x>sinx”的否定是________________.
考点 全称量词的否定
题点 含全称量词的命题的否定
答案 ∃x∈R,x≤sinx
2.已知a>0且a≠1,命题“∃x>1,logax>0”的否定是________________.
答案 ∀x>1,logax≤0
解析 a>0且a≠1,命题“∃x>1,logax>0”的否定是“∀x>1,logax≤0”.
3.对∀x>0,a 答案 (-∞,2) 解析 因为x>0,故x+≥2=2, 当且仅当x=1时等号成立, 又a 故a 4.由命题“存在x∈R,使e|x-1|-m≤0”是假命题,得m的取值范围是(-∞,a),则实数a的值是________. 考点 含有一个量词的命题 题点 含一个量词的命题的否定 答案 1 解析 其否定为: ∀x∈R,使e|x-1|-m>0, 且为真命题.m<e|x-1|. 只需m<(e|x-1|)min=1.故a=1. 5.对下列命题的否定说法错误的是________.(填序号) ①p: 能被2整除的数是偶数;非p: 存在一个能被2整除的数不是偶数; ②p: 有些矩形是正方形;非p: 所有的矩形都不是正方形; ③p: 有的三角形为正三角形;非p: 所有的三角形不都是正三角形; ④p: ∃n∈N,2n≤100;非p: ∀n∈N,2n>100. 答案 ③ 解析 “有的三角形为正三角形”为存在性命题,其否定为全称命题: “所有的三角形都不是正三角形”,故③错误. 1.对含有全称量词的命题进行否定需两步操作: 第一步,将全称量词改写成存在量词,即将“任意”改为“存在”;第二步,将结论加以否定,如: 将“≥”否定为“<”. 2.对含有存在量词的命题进行否定需两步操作: 第一步,将存在量词改写成全称量词;第二步,将结论加以否定.含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题.注意命题中可能省略了全称或存在意义的量词,要注意判断. 3.全称命题的否定是存在性命题,存在性命题的否定是全称命题,因此在书写时,要注意量词以及形式的变化,熟练掌握下列常见词语的否定形式: 原词语 否定词语 原词语 否定词语 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有(n-1)个 小于 不小于 至多有n个 至少有(n+1)个 任意的 某个 能 不能 所有的 某些 等于 不等于 一、填空题 1.命题“至少有一个正实数x满足方程x2+2(a-1)x+2a+6=0”的否定是________________________________________________________________________. 考点 存在量词的否定 题点 含存在量词的命题的否定 答案 ∀x∈(0,+∞),x2+2(a-1)x+2a+6≠0 2.下列命题中假命题有________个. ①∀x∈(0,+∞),+1≥x; ②∃x,y∈Z,使得x+y=3; ③∃x∈R,x2-2x-3=0; ④所有正方形都是菱形; ⑤∀x∈R,|x|≥x. 答案 1 解析 ①为假命题,②③④⑤为真命题. 3.已知命题p: ∀x∈R,sinx≤1,则綈p是____________. 答案 ∃x∈R,sinx>1 解析 所给命题为全称命题,故其否定为存在性命题,∃x∈R,sinx>1. 4.命题“∀n∈N*,f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是________________________. 答案 ∃n∈N*,f(n)∉N*或f(n)>n 解析 “f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定为“f(n)∉N*或f(n)>n”,全称命题的否定为存在性命题. 5.已知p: ∀x∈R,9x2-6x+1>0,q: ∃x∈R,sinx+cosx=,则p∨q是________命题.(填“真”“假”) 考点 含有一个量词的命题 题点 含一个量词的命题真假判断 答案 真 解析 由于9x2-6x+1=(3x-1)2≥0,所以p为假命题.因为sinx+cosx=sin≤, 所以q为真命题, 因此p∨q是真命题. 6.命题“对任何x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是________________________. 答案 存在x∈R,|x-2|+|x-4|≤3 解析 全称命题的否定为存在性命题. 7.命题“每个函数都有奇偶性”的否定是______________. 答案 有些函数没有奇偶性 解析 命题的量词是“每个”,即为全称命题,因此其否定是存在性命题,用量词“有些、有的、存在一个、至少有一个”等,再否定结论. 8.若“∀x∈,tanx≤m”是真命题,则实数m的最小值为________. 答案 1 解析 ∵0≤x≤,∴0≤tanx≤1,∵“∀x∈, tanx≤m”是真命题,∴m≥1,∴实数m的最小值为1. 9.已知p(x): x2+2x-m>0,如果p (1)是假命题,p (2)是真命题,则实数m的取值范围是________. 考点 全称量词的否定 题点 含全称量词的命题的真假求参数的取值范围 答案 [3,8) 解析 因为p (1)是假命题, 所以1+2-m≤0,解得m≥3. 又因为p (2)是真命题,所以4+4-m>0,解得m<8, 故实数m的取值范围是[3,8). 10.设命题p: ∀x∈R,x2+ax+2<0,若綈p为真,则实数a的取值范围是________. 考点 全称量词的否定 题点 含全称量词的命题的真假求参数的取值范围 答案 (-∞,+∞) 解析 綈p: ∃x∈R,x2+ax+2≥0为真命题, 显然a∈R. 11.已知命题p: ∃x∈R,x-2>lgx,命题q: ∀x∈R,sinx ①命题p∨q是假命题; ②命题p∧q是真命题; ③命题p∧(綈q)是真命题; ④命题p∨(綈q)是假命题. 答案 ③ 解析 对于命题p: 取x=10,则有10-2>lg10, 即8>1,故命题p为真命题; 对于命题q,取x=-, 则sinx=sin=-1, 此时sinx>x,故命题q为假命题, 因此命题p∨q是真命题,命题p∧q是假命题, 命题p∧(綈q)是真命题,命题p∨(綈q)是真命题. 二、解答题 12.已知命题p: ∀x∈R,4x-2x+1+m=0,若綈p是假命题,求实数m的取值范围. 考点 全称量词的否定 题点 含全称量词的命题的真假求参数的取值范围 解 ∵綈p是假命题, ∴p是真命题. 也就是∀x∈R,有m=-(4x-2x+1), 令f(x)=-(4x-2x+1)=-(2x-1)2+1, ∴对任意x∈R,f(x)≤1. ∴m的取值范围是(-∞,1]. 13.已知命题p: “至少存在一个实数x∈[1,2],使不等式x2+2ax+2-a>0成立”为真,试求参数a的取值范围. 解 由已知得綈p: ∀x∈[1,2],x2+2ax+2-a≤0成立. ∴设f(x)=x2+2ax+2-a, 则 ∴解得a≤-3, ∵綈p为假, ∴a>-3,即a的取值范围是(-3,+∞). 三、探究与拓展 14.已知函数f(x)=x2-mx+1,命题p: “对任意x∈R,都有f(x)>0”,命题q: “存在x∈R,使x2+m2<9”.若命题p的否定与q均为真命题,则实数m的取值范围为________. 答案 (-3,-2]∪[2,3) 解析 由于命题p: “对任意x∈R,都有f(x)>0”,所以命题p的否定为“不等式f(x)≤0在实数集上有解”,故Δ=m2-4≥0,得m≤-2或m≥2.又命题q: “存在x∈R,使x2+m2<9”,即不等式x2<9-m2在实数集上有解,故9-m2>0,所以-3 15.已知p: ∀x∈R,2x>m(x2+1),q: ∃x∈R,x2+2x-m-1=0,且p∧q为真,求实数m的取值范围. 解 2x>m(x2+1)可化为mx2-2x+m<0. 若p: ∀x∈R,2x>m(x2+1)为真, 则mx2-2x+m<0对任意的x∈R恒成立. 当m=0时,不等式可化为-2x<0,显然不恒成立; 当m≠0时,由m<0且Δ=4-4m2<0, 所以m<-1. 若q: ∃x∈R,x2+2x-m-1=0为真, 则方程x2+2x-m-1=0有实根, 所以Δ=4+4(m+1)≥0,所以m≥-2. 又p∧q为真,故p,q均为真命题. 所以m<-1且m≥-2, 所以m的取值范围为[-2,-1).
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