完整word版概率论公式总结.docx
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完整word版概率论公式总结
第1章随机事件及其概率
加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)=0时,P(A+B)=P(A)+P(B)
减法公式
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当BA时,P(A-B)=P(A)-P(B)
当A=Q时,P(B)=1-P(B)
乘法公式
乘法公式:
P(AB)P(A)P(B/A)
更一般地,对事件A,A,…A,若P(A1A2…An-1)>0,则有
P(A1A2…An)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)......P(An|A1A2…An1)
独立性
1两个事件的独立性
设事件A、B满足P(AB)P(A)P(B),则称事件A、B是相互独立的。
若事件A、B相互独立,且P(A)0,则有
P(B|A)P(AB)P(A)P(B)P(B)
P(A)P(A)
2多个事件的独立性
设ABC是三个事件,如果满足两两独立的条件,
P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P(A)
并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
全概公式
P(A)P(B1)P(A|B1)P(B2)P(A|B2)P(Bn)P(A|Bn)。
贝叶斯公式
P(Bi/A)nP(Bi)P(A/Bi),i=1,2,.n。
P(Bj)P(A/Bj)
j1
此公式即为贝叶斯公式。
P(Bi),(i1,2,…,n),通常叫先验概率。
P(Bj/A),(i1,2,…,
n),通常称为后验概率。
贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律,并作出了
“由果朔因”的推断。
第二章随机变量及其分布
设F(x)是随机变量X的分布函数,若存在非负函数f(x),对任意实数x,有
x
F(x)f(x)dx
密度函数具有下面性质:
f(X)0
f(x)dx1
离连随量系
散续机的
与型变关
P(Xx)P(xXxdx)f(x)dx。
积分元f(x)dx在连续型随机变量理论
中所起的作用与P(Xxk)Pk在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。
0-1分布P(X=1)=P,P(X=0)=q
设X为随机变量,x是任意实数,则函数F(x)P(Xx)称为随机变量X的分布函数,
本质上是一个累积函数。
P在刃重贝努里试式验中:
b)设事件a)A可以得到概率落入区间事件,bA发生
率。
分布函数F(x)表示随机变量是随区变量,设为内的概率。
能取值为O,1,2,,n。
1.0F(x)1,
(5)八
大分布)
巳项分布3°
F(x0)
随机变量,
PX F (1)P,0imPF(%)k00,1,2,F(,n,) F(x),即F(x则是右连续机变量5X服从参X数年衣) F(x) X1X其时,有中 limF(x)1; P的X二(项。 分对于离散记为 xp;加0.1,这 泊松分布 P(X 则称随机变量 者P()° k k)—e,k! 畫X服从参数为 0,k0,1,2, 的泊松分布,记为X~()或 超几何分布 P(Xk) Ckocnkk CM? CNMf _n1 0,1,2,l CNlmin(M,n) 随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布,记为H(n,N,M)° 几何分布 P(Xk) k1 qP,k1,2,3, ,其中pA0,q=1-p° 随机变量X服从参数为P的几何分布,记为G(P)° 设随机变量 X的值只落在[a,1 b]内,其密度函数f(X)在[a,b] 上为常数— —,即 b a 均匀分布 当awX1 1 awXwb (为,X2)内的概率为 f(X)b J a其他 X2X-i 0, P(X1XX2)'1 ba XkX X-B(n,P)。 当n1时,P(Xk) Pk;对于连续型随机变量,。 F(X) 就是(0-1)分布,所以(0-1)分布是二项分布的特例。 设随机变量X的分布律为 f(X)彳 指数分布 正态分布 函数分布 离散型 I0, 其中0,则称随机变量 X的分布函数为 r1ex F(x) 0, 设随机变量X的密度函数为 X0, X服从参数为的指数分布。 x<0。 记住积分公式 Xnexdxn! 0 1j f(x)e2 0为常数,则称随机变量X服从参数为 2 其中 正态分布或高斯(Gauss)分布,记为X~N(,)。 f(X)具有如下性质: 1°f(x)的图形是关于x 对称的; 1 为最大值; V2 若X~N(,),则X的分布函数为 2°当x时,f() 2 1 F(X)石 (t)2 X2~ e2dt (X)是不可求积函数,其函数值,已编制成表可供查用。 12 ①(-X)=1-①(X)且①(0)=—。 如果X~N(,2),则 C X N(0,1) P(XiXX2) 。 Xi 已知X的分布列为 X1,X2,,xn, P(XXi)p1,p2,,pn, Yg(X)的分布列(yg(Xi)互不相等)如下: Y P(YVi) 若有某些g(xi g(xl),g(x2),,g(Xn), 斤自等,^则则应将对应的'Pi相加作为g(Xi)的概率。 连续型 先利用X的概率密度fx(x)写出丫的分布函数R(y)=P(g(X)< y),再利用变上下限积分的求导公式求出 fY(y)。 第三章 维随机变量及其分布 连续型 对于二维随机向量(X,Y),如果存在非负函数 f(x,y)( y),使对任意一个其邻边 分别平行于坐标轴的矩形区域D,即D={(X,Y)|a 有 P{(X,Y) 并称f(x,y) D}f(x,y)dxdy,则称为连续型随机向量; D 为=(X,Y)的分布密度或称为X和丫的联合分 布密度。 分布密度f(x,y)具有下面两个性质: (1)f(x,y)>0; (2) f(x,y)dxdy1. 离散型与连续型的关系 边缘分布 P(Xx,Yy)P(xXxdx,yYydy)f(x,y)dxdy X的边缘分布为 P? P(XXi) 离散型 连续型 离散型 连续型 随机变量的 函数 Y的边缘分布为 P? jP(Yyj) X的边缘分布密度为 fx(X) Pij(i,j1,2,); j Pij(i,j1,2,)。 i f(x,y)dy; Y的边缘分布密度为 fY(y) f(x,y)dx. PijPi? P? j 有零不独立 f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判断,充要条件: ①可分离变量②正概率密度区间为矩形 若X1,X2,…XmXm+1,…X.相互独立,h,g为连续函数,则: h(X1,X2,…Xm)和g(Xm+1,…Xn)相互独立。 特例: 若X与丫独立,则: h(X)和g(Y)独立。 例如: 若X与丫独立,则: 3X+1和5Y-2独立。 根据定义计算: Fz(z)P(Zz)P(XYz) Z=X+Y 态分布的和仍为正态分布(12,22)。 函数分布 Cii,i n个相互独立的正态分布的线性组合,仍服从正态分布。 2厂22 Cii i Fmin(X) 1[1h(X)]? [1Fx2(X)][1Fxn(x)] 设n个随机变量X1,X2,,Xn相互独立,且服从标准正态分 布,可以证明它们的平方和 n WXi2我们称随机变量w服从自由度为n的2分布记为 2分布 i1I1 W2(n) 所谓自由度是指独立正态随机变量的个数,它是随机变量分布中的一个重要参数。 2分布满足可加性: 设Y 2 (ni),则 k 2 nJ ZYi~(n1n2 i1 t分布 设X,Y是两个相互独立的随机变量,且X~N(0,1),Y~2(n),可 X 以证明函数T我们称随机变量T服从自由度为n的t分布, (Y/n 记为T〜t(n)。 t1(n)t(n) F分布 设X~2(n1),Y~2(n2),且X与丫独立,可以证明 X/ni我们称随机变量F服从第一个自由度为ni,第二个 丫/门2 自由度为n2的F分布,记为F〜f(ni,n2). 1 Fl(ni,n2)卞而 (1) 维 机 量 数 特 随变的字征 (2)期的质 第四章 随机变量的数字特征 离散型 连续型 设X是离散型随机变量, 其分布 设X是连续型随机变 期望 律为P(XXk) =p^, 量,其概率密度为 f(x), 期望就是平均值 k=1,2,…,n, n E(X) xf(x)dx E(X)XkPk k1 (要求绝对收敛) (要求绝对收敛) Y=g(X) Y=g(X) 函数的期望 n E(Y)g(Xk)Pk k1 E(Y) g(x)f(x)dx 方差 D(X)=E[X-E(X)]2, 标准差 2 D(X)[XkE(X)]Pk k D(X) [XE(X)]2 (X) VD(X), (1) E(C)=C (2) E(CX)=CE(X) (3) E(X+Y)=E(X)+E(Y), nn E(CiXi)CiE(Xi) i1i1 (4) E(XY)=E(X)E(Y), 充分条件: X和丫独立;充要条件: X和丫不相关。 f(x)dx (3) (1)D(C)=O;E(C)=C 2 (2)D(aX)=aD(X);E(aX)=aE(X) 2 (3)D(aX+b)=aD(X); E(aX+b)=aE(X)+b 方差 (4)D(X)=E(X2)-E 2(X) 的性 (5)D(X±Y)=D(X)+D(Y): ,充分条件: X和丫独立; 质 充要条件: X和丫不相关。 D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))] ,无条件成立。 而E(X+Y)=E(X)+E(Y),无条件成立。 期望 方差 0-1分布B(1,p) P P(1P) 二项分布B(n,p) np np(1P) 泊松分布P() (4) 1 P 1P 2 P 常见分布 几何分布G(p) 的期望和 超几何分布 nM nM MNn *1 方差 H(n,M,N) N N 1 NN1 均匀分布U(a,b) ab 2 (ba)2 12 指数分布e() 丄 丄 正态分布N(,2) 2 2分布 n 2n t分布 0 —(n>2)n2 n E(X) XiPi? i1 E(X) xfX(x)dx 期望 n 二维 E(Y) yjP? j E(Y) yfY(y)dy 随机 j1 变量 E[G(X,Y)]= E[G(X,Y)]= 函数的期望 ij G(Xi,yj)Pij G(x,y)f(x,y)dxdy —— 方差 对于随机变量X与Y,称它们的二阶混合中心矩11为X与丫的协方差 协方差 XY11E[(XE(X))(YE(Y))]. 与记号XY相对应,X与丫的方差D(X)与D(Y)也可分别记为XX与 YY。 ,则称 对于随机变量X与丫,如果D(X)>0,D(Y)>0 相关系数 0时,称X与丫不相关。 以下五个命题是等价的: ①XY0; ②cov(X,Y)=0;③E(XY)=E(X)E(Y);④D(X+Y)=D(X)+D(Y);⑤ D(X-Y)=D(X)+D(Y). COV(X,Y)=cov(Y,X);cov(aX,bY)=abcov(X,Y);cov(X1+X2,Y)=cov(Xi,Y)+cov(X2,丫);cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y). 若随机变量X与丫相互独立,则XY0;反之不真。 设随机变量X1,的数 X2,…相互独立,服从同一分布,且具有学 中心极限定 2 N(—) n 常见统计量及其性质 列维― 林德伯 格定理 棣莫弗-拉普拉斯定理 E(Xk) D(Xk) Yn 的分布函数 0(k1,2,), n Xkn k1 则随机变量 Fn(X)对任意的实数 n Xk k1 limFn(X)limP= nnVn X,有 此定理也称为独立同分布的中心极限定理。 设随机变量Xn为具有参数 n,p(0 任意实数 limP n X,有 Xnnp Jnp(1p) 第六章样本及抽样分布 样本均值 样本方差 样本标准差 1n-Xi. ni1 样本k阶原点矩 样本k阶中心矩 E(X) 其中S*2 ,D(X) X)2 t2 X— e2dt. 的二项分布,则对于 t2 ^dt. n_ (XiX)2. i1 4n 1/_\2 —(Xix). 1i1 E(S2) 2 E(S*) ,为二阶中心矩 正态分布 t分布 设X1,X2,,Xr 本函数 为来自正态总体N(,2)的一个样本,则样 def u— 设X1,X2,,Xn为来自正态总体N(,2)的一个样本,则样 (2)正总体下四大分布 defX 本函数t~t(n1), s/Jn 其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。 2分布 设X1,X2,,Xn为来自正态总体N(,2)的一个样本,则 2 w塁r_~2(n1), 2 表示自由度为分 n-1的分布 F分布 yi,y2, 函数 yn为来自正态总体 2 N(,2)的一个样本,则样本 fX2/ 2 S;/t~f(n11,n2 1),其中 S2 1n1- LFX)2'E2 1 n21 n2_ (Viy)2; i1 F(ni 1,门21)表示自由度为ni1, 当总体X为连续型随机变量时,设其分布密度为 f(X; 1,2,,m),其中为未知 参数。 又设X1,X2,,Xn为总体的一个样本,称 为样本的似然函数,简记为Ln. n L(1,2,,m)f(Xi;1,2,,m i1 当总体X 为离型随机变量时,设其分布律为P{Xx}p(x; 1,2,,m),则 L(X1,X2, n Xn;1,2,,m)P(Xi;1,2,,m)为样本的似然函数。 若似然函数 i1 m的最大似然估计值,相应的统计量称为最大似然估计量。 InLn 0,i1,2,,m若为的极大似然估.
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