高考总复习资料一轮复习训练高考总复习资料大题专项练5 高考总复习资料中的解析几何.docx
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高考大题专项练五 高考中的解析几何
1.已知椭圆M:
=1(a>0)的一个焦点为F(-1,0),左、右顶点分别为A,B.经过点F的直线l与椭圆M交于C,D两点.
(1)求椭圆方程;
(2)当直线l的倾斜角为45°时,求线段CD的长;
(3)记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2,求|S1-S2|的最大值.
2.(2017全国Ⅰ,文20)设A,B为曲线C:
y=上两点,A与B的横坐标之和为4.
(1)求直线AB的斜率;
(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.
3.已知抛物线C:
y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.
(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.
4.已知中心在原点O,左焦点为F1(-1,0)的椭圆C的左顶点为A,上顶点为B,F1到直线AB的距离为|OB|.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C1的方程为:
=1(m>n>0),椭圆C2的方程为:
=λ(λ>0,且λ≠1),则称椭圆C2是椭圆C1的λ倍相似椭圆.如图,已知C2是椭圆C的3倍相似椭圆,若椭圆C的任意一条切线l交椭圆C2于两点M,N,试求弦长|MN|的取值范围.
5.(2017北京,文19)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:
△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.
6.已知椭圆C:
=1(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+=0相切,过点P(4,0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A,B两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求的取值范围;
(3)若B点关于x轴的对称点是E,证明:
直线AE与x轴相交于定点.
7.
如图,已知椭圆=1的左焦点为F,过点F的直线交椭圆于A,B两点,线段AB的中点为G,AB的垂直平分线与x轴和y轴分别交于D,E两点.
(1)若点G的横坐标为-,求直线AB的斜率;
(2)记△GFD的面积为S1,△OED(O为原点)的面积为S2.试问:
是否存在直线AB,使得S1=S2?
说明理由.
8.设椭圆=1(a>)的右焦点为F,右顶点为A.已知,其中O为原点,e为椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直线l的斜率.
参考答案
高考大题专项练五 高考中的解析几何
1.解
(1)因为F(-1,0)为椭圆的焦点,所以c=1.
又b2=3,所以a2=4,所以椭圆方程为=1.
(2)因为直线的倾斜角为45°,所以直线的斜率为1,
所以直线方程为y=x+1,和椭圆方程联立得到消掉y,得到7x2+8x-8=0,
所以Δ=288,x1+x2=-,x1x2=-,所以|CD|=|x1-x2|=.
(3)当直线l无斜率时,直线方程为x=-1,
此时D,C,
△ABD,△ABC面积相等,|S1-S2|=0.
当直线l斜率存在(显然k≠0)时,设直线方程为y=k(x+1)(k≠0),设C(x1,y1),D(x2,y2),
与椭圆方程联立得到
消掉y得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,
显然Δ>0,方程有根,且x1+x2=-,x1x2=,
此时|S1-S2|=2||y1|-|y2||
=2|y1+y2|=2|k(x2+1)+k(x1+1)|
=2|k(x2+x1)+2k|=
≤
所以|S1-S2|的最大值为.
2.解
(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≠x2,y1=,y2=,x1+x2=4,于是直线AB的斜率k==1.
(2)由y=,得y'=.
设M(x3,y3),由题设知=1,解得x3=2,于是M(2,1).
设直线AB的方程为y=x+m,故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.
将y=x+m代入y=得x2-4x-4m=0.
当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x1,2=2±2.
从而|AB|=|x1-x2|=4.
由题设知|AB|=2|MN|,
即4=2(m+1),解得m=7.
所以直线AB的方程为y=x+7.
3.解由题设知F.
设l1:
y=a,l2:
y=b,则ab≠0,且A,B,P,Q,R.
记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.
(1)证明:
由于F在线段AB上,故1+ab=0.
记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,
则k1==-b=k2.
所以AR∥FQ.
(2)设l与x轴的交点为D(x1,0),
则S△ABF=|b-a||FD|=|b-a|,
S△PQF=.
由题设可得|b-a|,
所以x1=0(舍去),x1=1.
设满足条件的AB的中点为E(x,y).
(分类讨论)
当AB与x轴不垂直时,由kAB=kDE可得(x≠1).
而=y,所以y2=x-1(x≠1).
当AB与x轴垂直时,E与D重合.
所以,所求轨迹方程为y2=x-1.
4.解
(1)设椭圆C的方程为=1(a>b>0),
∴直线AB的方程为=1.
∴F1(-1,0)到直线AB的距离d=b,a2+b2=7(a-1)2.
又b2=a2-1,解得a=2,b=,
故椭圆C的方程为=1.
(2)椭圆C的3倍相似椭圆C2的方程为=1,
①若切线l垂直于x轴,则其方程为x=±2,易求得|MN|=2.
②若切线l不垂直于x轴,可设其方程为y=kx+b,
将y=kx+b代入椭圆C的方程,得(3+4k2)x2+8kbx+4b2-12=0,
∴Δ=(8kb)2-4(3+4k2)(4b2-12)=48(4k2+3-b2)=0,
即b2=4k2+3,(*)
设M,N两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
将y=kx+b代入椭圆C2的方程,得(3+4k2)x2+8kbx+4b2-36=0,
此时x1+x2=-,x1x2=,
|x1-x2|=,
∴|MN|=
=4=2.
∵3+4k2≥3,∴1<1+,
即2<2≤4.
综合①②,得弦长|MN|的取值范围为[2,4].
5.
(1)解设椭圆C的方程为=1(a>b>0).
由题意得解得c=.
所以b2=a2-c2=1.
所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)证明设M(m,n),
则D(m,0),N(m,-n).
由题设知m≠±2,且n≠0.
直线AM的斜率kAM=,
故直线DE的斜率kDE=-.
所以直线DE的方程为y=-·(x-m),直线BN的方程为y=·(x-2).
联立
解得点E的纵坐标yE=-.
由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2.
所以yE=-n.
又S△BDE=|BD|·|yE|=|BD|·|n|,
S△BDN=|BD|·|n|,
所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.
6.
(1)解由题意知,=b,即b=.
又a2=b2+c2,所以a=2,b=.
故椭圆的方程为=1.
(2)解由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-4),
由
可得(3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则Δ=322k4-4(3+4k2)(64k2-12)>0,
所以0≤k2<.
则x1+x2=,x1x2=.①
所以=x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1-4)(x2-4)
=(1+k2)x1x2-4k2(x1+x2)+16k2
=(1+k2)·-4k2·+16k2=25-.
因为0≤k2<,所以-≤-<-,
则-4≤25-,即.
(3)证明因为B,E关于x轴对称,所以可设E(x2,-y2),则直线AE的方程为y-y1=(x-x1).
令y=0,可得x=x1-.
因为y1=k(x1-4),y2=k(x2-4),
所以x==1,
所以直线AE与x轴交于定点(1,0).
7.解
(1)依题意可知,直线AB的斜率存在,设其方程为y=k(x+1),
将其代入=1,
整理得(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=-.
故点G的横坐标为=-,
解得k=±.
(2)假设存在直线AB,使得S1=S2,显然直线AB不能与x轴或y轴垂直.
由
(1)可得G.
设点D坐标为(xD,0).
因为DG⊥AB,所以·k=-1,
解得xD=-,
即D.
因为△GFD∽△OED,且S1=S2,
所以|GD|=|OD|.
所以,
整理得8k2+9=0.
因为此方程无解,所以不存在直线AB,使得S1=S2.
8.解
(1)设F(c,0).
由,即,可得a2-c2=3c2,又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.
所以,椭圆的方程为=1.
(2)设直线l的斜率为k(k≠0),则直线l的方程为y=k(x-2).
设B(xB,yB),由方程组消去y,
整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.
解得x=2或x=,由题意得xB=,从而yB=.
由
(1)知,F(1,0),设H(0,yH),有=(-1,yH),.
由BF⊥HF,得=0,
所以=0,
解得yH=.
因此直线MH的方程为y=-x+.
设M(xM,yM),
由方程组消去y,
解得xM=.
在△MAO中,∠MOA=∠MAO⇔|MA|=|MO|,即(xM-2)2+,化简得xM=1,即=1,解得k=-或k=.
所以,直线l的斜率为-.
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