届北师大版不等式与线性规划2单元测试.docx
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届北师大版不等式与线性规划2单元测试
专题限时集训(十八)不等式与线性规划
[建议A、B组各用时:
45分钟]
[A组 高考题、模拟题重组练]
一、基本不等式
1.(2016·安庆二模)已知a>0,b>0,a+b=+,则+的最小值为( )
A.4 B.2
C.8D.16
B [由a+b=+,有ab=1,
则+≥2=2.]
2.(2016·长沙一模)若实数a,b满足+=,则ab的最小值为( )
【导学号:
04024156】
A.B.2
C.2D.4
C [依题意知a>0,b>0,则+≥2=,当且仅当=,即b=2a时,“=”成立,因为+=,所以≥,即ab≥2,所以ab的最小值为2,故选C.]
3.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是________.
30 [一年的总运费为6×=(万元).
一年的总存储费用为4x万元.
总运费与总存储费用的和为万元.
因为+4x≥2=240,当且仅当=4x,即x=30时取得等号,
所以当x=30时,一年的总运费与总存储费用之和最小.]
4.若a,b∈R,ab>0,则的最小值为________.
4 [∵a,b∈R,ab>0,
∴≥=4ab+≥2=4,
当且仅当即时取得等号.
故的最小值为4.]
二、线性规划问题
5.(2017·全国卷Ⅲ)设x,y满足约束条件则z=x-y的取值范围是( )
A.[-3,0]B.[-3,2]
C.[0,2]D.[0,3]
B [画出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示.
由题意可知,当直线y=x-z过点A(2,0)时,z取得最大值,即zmax=2-0=2;当直线y=x-z过点B(0,3)时,z取得最小值,即zmin=0-3=-3.
所以z=x-y的取值范围是[-3,2].
故选B.]
6.若变量x,y满足则x2+y2的最大值是( )
【导学号:
04024157】
A.4 B.9
C.10D.12
C [作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示.x2+y2表示平面区域内的点到原点距离的平方,由得A(3,-1),由图易得(x2+y2)max=|OA|2=32+(-1)2=10.故选C.]
7.若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是( )
A.B.
C.D.
B [根据约束条件作出可行域如图阴影部分,
当斜率为1的直线分别过A点和B点时满足条件,联立方程组求得A(1,2),联立方程组求得B(2,1),可求得分别过A,B点且斜率为1的两条直线方程为x-y+1=0和x-y-1=0,由两平行线间的距离公式得距离为=,故选B.]
8.(2015·全国卷Ⅰ)若x,y满足约束条件则的最大值为________.
3 [画出可行域如图阴影所示,∵表示过点(x,y)与原点(0,0)的直线的斜率,
∴点(x,y)在点A处时最大.
由得∴A(1,3).
∴的最大值为3.]
[B组 “12+4”模拟题提速练]
一、选择题
1.(2017·成都模拟)若a>b>0,c<d<0,则一定有( )
A.> B.<
C.>D.<
B [由c<d<0得->->0,又a>b>0,则->->0,即<,故选B.]
2.(2016·长春一模)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为,则f(ex)>0的解集为( )
A.{x|x<-1或x>-ln3}
B.{x|-1<x<-ln3}
C.{x|x>-ln3}
D.{x|x<-ln3}
D [f(x)>0的解集为,
则由f(ex)>0得-1<ex<,
解得x<-ln3,即f(ex)>0的解集为{x|x<-ln3}.]
3.(2017·平顶山一模)若对于任意的x>0,不等式≤a恒成立,则实数a的取值范围为( )
A.a≥B.a>
C.a<D.a≤
A [由x>0得=≤=.
当且仅当x=1时等号成立,则a≥,故选A.]
4.已知g(x)是R上的奇函数,当x<0时,g(x)=-ln(1-x),函数f(x)=若f(2-x2)>f(x),则实数x的取值范围是( )
【导学号:
04024158】
A.(-∞,1)∪(2,+∞)
B.(-∞,-2)∪(1,+∞)
C.(1,2)
D.(-2,1)
D [设x>0,则-x<0,所以g(-x)=-ln(1+x),因为g(x)是R上的奇函数,所以g(x)=-g(-x)=ln(1+x),所以f(x)=易知f(x)是R上的单调递增函数,所以原不等式等价于2-x2>x,解得-2<x<1.故选D.]
5.(2016·德阳模拟)已知P(x,y)为区域内的任意一点,当该区域的面积为4时,z=2x-y的最大值是( )
A.6 B.0
C.2 D.2
A [由作出可行域如图,
易求得A(a,-a),B(a,a),
由题意知S△OAB=·2a·a=4,得a=2.
∴A(2,-2),
当y=2x-z过A点时,z最大,zmax=2×2-(-2)=6.故选A.]
6.(2017·郑州二模)已知直线y=k(x+1)与不等式组表示的区域有公共点,则k的取值范围为( )
【导学号:
04024159】
A.[0,+∞)B.
C.D.
C [不等式组表示的平面区域是以点(0,0),(4,0),(1,3)为顶点的三角形区域(不包含x轴上的点)(图略).当直线经过点(1,3)时,k取得最大值,因为直线恒过定点(-1,0),所以直线与不等式组表示的区域有公共点,k必须大于0,所以0<k≤,故选C.]
7.若变量x,y满足约束条件则(x-2)2+y2的最小值为( )
A.B.
C.D.5
D [作出不等式组对应的平面区域如图,
设z=(x-2)2+y2,则z的几何意义为区域内的点到定点D(2,0)的距离的平方,由图知C,D间的距离最小,此时z最小.
由得
即C(0,1),
此时zmin=(x-2)2+y2=4+1=5,故选D.]
8.(2016·石家庄模拟)已知x,y满足约束条件若目标函数z=y-mx(m>0)的最大值为1,则m的值是( )
【导学号:
04024160】
A.-B.1
C.2D.5
B [作出可行域,如图所示的阴影部分.
∵m>0,∴当z=y-mx经过点A时,z取最大值,由解得即A(1,2),∴2-m=1,解得m=1.故选B.]
9.(2017·江西师大附中模拟)若关于x,y的不等式组表示的平面区域是等腰直角三角形,则其表示的区域面积为( )
A.1或B.或
C.1或D.或
D [可行域由三条直线x=0,x+y=0,kx-y+1=0所围成,因为x=0与x+y=0的夹角为,所以x=0与kx-y+1=0的夹角为或x+y=0与kx-y+1=0的夹角为.当x=0与kx-y+1=0的夹角为时,可知k=1,此时等腰三角形的直角边长为,面积为;当x+y=0与kx-y+1=0的夹角为时,k=0,此时等腰三角形的直角边长为1,面积为,所以选D.]
10.(2017·泰安模拟)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当取得最小值时,x+2y-z的最大值是( )
A.0B.
C.2D.
C [==-3+≥2-3=1,当且仅当=,即x=2y时等号成立.
此时z=x2-3xy+4y2=(2y)2-3·2y·y+4y2=2y2.
∴x+2y-z=2y+2y-2y2=-2(y-1)2+2,
∴当y=1,x=2,z=2时,x+2y-z取最大值,最大值为2,故选C.]
11.(2016·武汉二模)设m>1,x,y满足约束条件且目标函数z=x+my的最大值为2,则m的取值为( )
【导学号:
04024161】
A.2B.1+
C.3D.2+
B [因为m>1,由约束条件作出可行域如图,
直线y=mx与直线x+y=1交于B,目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直,且在B处取得最大值,
由题意可知=2,
又因为m>1,解得m=1+.]
12.已知x,y满足时,z=+(a≥b>0)的最大值为2,则a+b的最小值为( )
A.4+2B.4-2
C.9D.8
A [由约束条件作出可行域如图,
联立解得A(2,6),
化目标函数z=+为y=-x+bz,
由图可知,当直线y=-x+bz过点A时,
直线在y轴上的截距最大,z有最大值为+=2,
即+=1.
所以a+b=(a+b)=4++≥4+2=4+2.
当且仅当
即a=+1,b=3+时取等号.]
二、填空题
13.(2016·全国卷Ⅱ)若x,y满足约束条件则z=x-2y的最小值为________.
-5 [不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.
由z=x-2y得y=x-z.
平移直线y=x,易知经过点A(3,4)时,z有最小值,最小值为z=3-2×4=-5.]
14.(2016·青岛模拟)定义运算“⊗”:
x⊗y=(x,y∈R,xy≠0),当x>0,y>0时,x⊗y+(2y)⊗x的最小值为________.
【导学号:
04024162】
[当x>0,y>0时,x⊗y+(2y)⊗x=+=≥=.所以所求的最小值为.]
15.设不等式组表示的平面区域为M,若直线l:
y=k(x+2)上存在区域M内的点,则k的取值范围是________.
[作出不等式组对应的平面区域,如图所示.
直线y=k(x+2)过定点D(-2,0),
由图象可知当直线l经过点A时,直线斜率最大,
当经过点B时,直线斜率最小,
由解得
即A(1,3),此时k===1,
由解得
即B(1,1),此时k==,
故k的取值范围是.]
16.(2017·武汉联考)已知函数f(x)=若f(a)=f(b)(0<a<b),则+取最小值时,f(a+b)=________.
1-2lg2 [由题意知,0<a<1<b,由f(a)=f(b)得-lga=lgb,即lga+lgb=0,所以ab=1,从而+≥2=4,当且仅当即时等号成立,所以f(a+b)=f=lg=1-2lg2.]
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