数学模型第三版高等教育出版社课后习题答案.docx
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数学模型第三版高等教育出版社课后习题答案
《数学模型》作业解答
第七章(2008年12月4日)
1.对于7.1节蛛网模型讨论下列问题:
(1)因为一个时段上市的商品不能立即售完,其数量也会影响到下一时段的价格,所以第时段的价格由第和第时段的数量和决定,如果仍设仍只取决于,给出稳定平衡的条件,并与7.1节的结果进行比较.
(2)若除了由和决定之外,也由前两个时段的价格和确定.试分析稳定平衡的条件是否还会放宽.
解:
(1)由题设条件可得需求函数、供应函数分别为:
在点附近用直线来近似曲线,得到
由
(2)得
(1)代入(3)得
对应齐次方程的特征方程为
特征根为
当时,则有特征根在单位圆外,设,则
即平衡稳定的条件为与的结果一致.
(2)此时需求函数、供应函数在处附近的直线近似表达式分别为:
由(5)得,
将(4)代入(6),得
对应齐次方程的特征方程为
代数方程(7)无正实根,且不是(7)的根.设(7)的三个非零根分别为,则
对(7)作变换:
则
其中
用卡丹公式:
其中
求出,从而得到,于是得到所有特征根的条件.
2.已知某商品在时段的数量和价格分别为和,其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为和.试建立关于商品数量的差分方程模型,并讨论稳定平衡条件.
解:
已知商品的需求函数和供应函数分别为和.
设曲线和相交于点,在点附近可以用直线来近似表示曲线和:
----------------------
(1)
--------------------
(2)
从上述两式中消去可得
,-----------(3)
上述(3)式是我们所建立的差分方程模型,且为二阶常系数线性非齐次差分方程.
为了寻求点稳定平衡条件,我们考虑(3)对应的齐次差分方程的特征方程:
容易算出其特征根为
---------------(4)
当8时,显然有
-----------(5)
从而2,在单位圆外.下面设,由(5)式可以算出
要使特征根均在单位圆内,即,必须.
故点稳定平衡条件为.
3.已知某商品在时段的数量和价格分别为和,其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为和.试建立关于商品数量的差分方程模型,并讨论稳定平衡条件.
解:
已知商品的需求函数和供应函数分别为和.
设曲线和相交于点,在点附近可以用直线来近似表示曲线和:
--------------------
(1)
-------------------
(2)
由
(2)得--------------------(3)
(1)代入(3),可得
,--------------(4)
上述(4)式是我们所建立的差分方程模型,且为二阶常系数线性非齐次差分方程.
为了寻求点稳定平衡条件,我们考虑(4)对应的齐次差分方程的特征方程:
容易算出其特征根为
---------------(4)
当8时,显然有
-----------(5)
从而2,在单位圆外.下面设,由(5)式可以算出
要使特征根均在单位圆内,即,必须.
故点稳定平衡条件为.
《数学模型》作业解答
第八章(2008年12月9日)
1.证明8.1节层次分析模型中定义的阶一致阵有下列性质:
(1)的秩为1,唯一非零特征根为;
(2)的任一列向量都是对应于的特征向量.
证明:
(1)由一致阵的定义知:
满足
,
于是对于任意两列,有,.即列与列对应分量成比例.
从而对作初等行变换可得:
B
这里.,从而秩
再根据初等行变换与初等矩阵的关系知:
存在一个可逆阵,使,于是
C
易知C的特征根为(只有一个非零特征根).
又~,与C有相同的特征根,从而A的非零特征根为,又对于任意矩阵有.故A的唯一非零特征根为.
(2)对于A的任一列向量,
有
的任一列向量都是对应于的特征向量.
7.右下图是5位网球选手循环赛的结果,作为竞赛图,它是双向连通的吗?
找出几条完全路径,用适当方法排出5位选手的名次.
解:
这个5阶竞赛图是一个5阶有向Hamilton图.其一个有向Hamilton圈为3.所以此竞赛图是双向连通的.
等都是完全路径.
此竞赛图的邻接矩阵为
令,各级得分向量为
,,
,
由此得名次为5,1(4),2,3(选手1和4名次相同).
注:
给5位网球选手排名次也可由计算A的最大特征根和对应特征向量得到:
,
数学模型作业(12月16日)解答
1.基于省时、收入、岸间商业、当地商业、建筑就业等五项因素,拟用层次分析法在建桥梁、修隧道、设渡轮这三个方案中选一个,画出目标为“越海方案的最优经济效益”的层次结构图.
越海方案的最优经济效益
解:
目标层
建筑就业
岸间商业
当地商业
收入
省时
准则层
修隧道
建桥梁
设渡轮
方案层
2.简述层次分析法的基本步骤.问对于一个即将毕业的大学生选择工作岗位的决策问题要分成哪3个层次?
具体内容分别是什么?
答:
层次分析法的基本步骤为:
(1).建立层次结构模型;
(2).构造成对比较阵;(3).计算权向量并做一致性检验;(4).计算组合权向量并做组合一致性检验.对于一个即将毕业的大学生选择工作岗位的决策问题,用层次分析法一般可分解为目标层、准则层和方案层这3个层次.目标层是选择工作岗位,方案层是工作岗位1、工作岗位2、工作岗位3等,准则层一般为贡献、收入、发展、声誉、关系、位置等.
3.用层次分析法时,一般可将决策问题分解成哪3个层次?
试给出一致性指标的定义以及n阶正负反阵A为一致阵的充要条件.
答:
用层次分析法时,一般可将决策问题分解为目标层、准则层和方案层这3个层次;一致性指标的定义为:
.n阶正互反阵A是一致阵的充要条件为:
A的最大特征根=n.
第九章(2008年12月18日)
1.在节传送带效率模型中,设工人数固定不变.若想提高传送带效率D,一种简单的方法是增加一个周期内通过工作台的钩子数,比如增加一倍,其它条件不变.另一种方法是在原来放置一只钩子的地方放置两只钩子,其它条件不变,于是每个工人在任何时刻可以同时触到两只钩子,只要其中一只是空的,他就可以挂上产品,这种办法用的钩子数量与第一种办法一样.试推导这种情况下传送带效率的公式,从数量关系上说明这种办法比第一种办法好.
解:
两种情况的钩子数均为.第一种办法是个位置,单钩放置个钩子;第二种办法是个位置,成对放置个钩子.
①由节的传送带效率公式,第一种办法的效率公式为
当较小,时,有
,
②下面推导第二种办法的传送带效率公式:
对于个位置,每个位置放置的两只钩子称为一个钩对,考虑一个周期内通过的个钩对.
任一只钩对被一名工人接触到的概率是;
任一只钩对不被一名工人接触到的概率是;
记.由工人生产的独立性及事件的互不相容性.得,任一钩对为空的概率为,其空钩的数为;任一钩对上只挂上1件产品的概率为,其空钩数为.所以一个周期内通过的个钩子中,空钩的平均数为
于是带走产品的平均数是,
未带走产品的平均数是)
此时传送带效率公式为
③近似效率公式:
由于
当时,并令,则
④两种办法的比较:
由上知:
,
,当时,,.
所以第二种办法比第一种办法好.
《数学模型》作业解答
第九章(2008年12月23日)
一报童每天从邮局订购一种报纸,沿街叫卖.已知每100份报纸报童全部卖出可获利7元.如果当天卖不掉,第二天削价可以全部卖出,但报童每100份报纸要赔4元.报童每天售出的报纸数是一随机变量,其概率分布如下表:
售出报纸数(百份)
0
1
2
3
4
5
概率
0.05
0.1
0.25
0.35
0.15
0.1
试问报童每天订购多少份报纸最佳(订购量必须是100的倍数)?
解:
设每天订购百份纸,则收益函数为
收益的期望值为G(n)=+
现分别求出=时的收益期望值.
G(0)=0;G
(1)=×0.05+7×0.1+7×(0.25+0.35+0.15+0.1)=6.45;
G
(2)=();
G(3)=()
G(4)=()G(5)=
当报童每天订300份时,收益的期望值最大.
数模复习资料
第一章
1.原型与模型
原型就是实际对象.模型就是原型的替代物.所谓模型,按北京师范大学刘来福教授的观点:
模型就是人们为一定的目的对原型进行的一个抽象.如航空模型、城市交通模型等.
模型
2.数学模型
对某一实际问题应用数学语言和方法,通过抽象、简化、假设等对这一实际问题近似刻划所得的数学结构,称为此实际问题的一个数学模型.例如力学中著名的牛顿第二定律使用公式来描述受力物体的运动规律就是一个成功的数学模型.或又如描述人口随时间自由增长过程的微分方程.
3.数学建模
所谓数学建模是指根据需要针对实际问题组建数学模型的过程.更具体地说,数学建模是指对于现实世界的某一特定系统或特定问题,为了一个特定的目的,运用数学的语言和方法,通过抽象和简化,建立一个近似描述这个系统或问题的数学结构(数学模型),运用适当的数学工具以及计算机技术来解模型,最后将其结果接受实际的检验,并反复修改和完善.
数学建模过程流程图为:
实际问题
抽象、简化、假设
确定变量、参数
归结
数学模型
数学地、数值地求解模型
估计参数
否
检验模型
(用实例或有关知识)
符合否?
是
评价、推广并交付使用
产生经济、社会效益
4.数学建模的步骤
依次为:
模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用
5.数学模型的分类
数学模型可以按照不同的方式分类,常见的有:
a.按模型的应用领域分类数学模型
b.按建模的数学方法分类
数学模型
c.按建模目的来分类数学模型
d.层次分析法的基本步骤:
1.建立层次结构模型2.构造成对比较阵3.计算权向量并作一致性检验4.计算组合权向量并作组合一致性检验
e.n阶正互反正A是一致阵的充要条件为A的最大特征值为n
f.正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法:
幂法、和法、根法
4.在“椅子摆放问题”的假设条件中,将四脚的连线呈正方形改为呈长方形,其余条件不变.试构造模型并求解.
解:
设椅子四脚连线呈长方形ABCD.AB与CD的对称轴为轴,用中心点的转角表示椅子的位置.将相邻两脚A、B与地面距离之和记为;C、D与地面距离之和记为.并旋转.于是,设就得到.
数学模型:
设是上的非负连续函数.若,有,且,则,使.
模型求解:
令.就有.再由的连续性,得到是一个连续函数.从而是上的连续函数.由连续函数的介值定理:
使.即,使.
又因为,有.故.
9.
(1)某甲早8:
00从山下旅店出发,沿一条路径上山,下午5:
00到达山顶并留宿.
次日早8:
00沿同一路径下山,下午5:
00回到旅店.某乙说,甲必在两天中的同一时刻经
过路径中的同一地点.为什么?
(2)37支球队进行冠军争夺赛,每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者及轮空者
进入下一轮,直至比赛结束.问共需进行多少场比赛,共需进行多少轮比赛.如果是支球队比赛呢?
解:
(1)方法一:
以时间为横坐标,以沿上山路径从山下旅店到山顶的行程为纵坐标,
第一天的行程可用曲线()表示,第二天的行程可
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