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【同步教育信息】
一.本周教学内容:
正数和负数、数轴、相反数
学习目标:
1.体会到现实世界中具有相反意义的量的含义,并能用有理数表示。
2.能在数轴上表示有理数,并借助数轴理解相反数的意义。
3.会求有理数的相反数。
【知识内容】
一.正数和负数
在日常生活中,常遇到一些具有相反意义的量,如:
向东和向西,零上和
零下,收入和支出。
上升和下降等,只用原来小学学过的数很难区分这些具
有相反意义的量。
例如零上5℃用5表示,那幺零下5℃再用一个数5表示就
不够了,在天气预报图中,零下5℃是用-5℃表示的。
对于具有相反意义的量,我们可把其中一种意义的量规定为正的,用过去
学过的数表示;把与它意义相反的量规定为负的。
用过去学过的数(零除
外)前面放上一个”-”(读作”负”)号表示。
就拿温度为例,通常规定零上为正,于是零下为负,零下5℃用-5℃表
示。
象-5,-2等这样的数是一种新数,叫做负数。
过去学过的那些数,(零
除外),如10,3,1.2等,叫正数。
正数前面有时也放一个”+”(读作”正”)
号。
零既不是正数,也不是负数。
正整数、零、负整数统称整数,正分数和负分数统称分数。
整数和分数统称有理数。
我们可以作出如下的分类表:
二.数轴
我们在小学学习数学时,就能用直线上依次排列的点表示自然数,它帮助
我们认识了自然数的大小关系。
我们可以在一条直线上规定一个正方向,用这条直线上的点表示正数、负
数、零。
具体做法如下:
画一条直线(通常画成水平位置),在这条直线上任取一点作为原点,用这
点表示0,规定直线上从原点向右为正方向,画上箭头,而相反方向为负方
向,再取适当的长度作为单位长度,从原点向右,每隔一个单位长度取一
点,依次标上1,2,3,......,从原点向左,每隔一个单位长度取一点,依次
标上-1,-2,-3......,如图所示
像这样规定了原点,正方向和单位长度的直线叫做数轴。
在数轴上画出表示有理数的点,除了数零用原点表示外,对于不为零的任
一有理数。
可以先由这个数的符号确定它在数轴上原点的哪一边(正数在原
点的右边,负数在原点的左边),再在相应的方向上确定它与原点相距几个单
位长度,然后画上点。
例如:
表示-4.5的点,应在原点的左边4.5个单位
处。
在数轴上表示的两个数,右边的数总是比左边的数大。
比较有理数大小的法则:
正数都大于零,负数都小于零,正数大于负数。
三.相反数
如图所示,在数轴上,-6和6所对应的点位于原点两旁,且与原点的距
离相等。
也就是说,它们相对于原点的位置只有方向不同。
1.5和-1.5所对应的点
也是这样。
容易看出:
-5与5,-4与4都只有符号不同。
像以上这样只有符号不同的两个数称互为相反数。
例:
1.5和-1.5互为相反数,即1.5是-1.5的相反数,-1.5是1.5的相反
数。
在数轴上表示互为相反数的两个点分别位于原点的两旁,且与原点的距离
相等。
零的相反数是零。
【典型例题】
例1.下列说法是否正确?
正确的打”√”,错误的打”×”,并说明理由。
(1)前进2km记作+2km,那幺-5km就表示后退-5km。
()
(2)有理数中不是正数的数就是负数。
()
(3)有一种记法,80分以上如88分记为+8,某学生得分为74分,应记
为-6分。
()
(4)负整数和非负整数统称为整数。
()
分析:
本例应准确把握互为相反意义的量的含义以及有理数的两种分类标
准才能准确判断。
解:
(1)(×)根据互为相反意义的量的含义,-5km应表示后退5km,
后退-5km就表示前进5km。
(2)(×)有理数包括正数、负数以及0,而本小题忽视了0为有理数这一
特殊情况。
(3)(√)”0”的标准我们可以根据具体情况而定,故本题80分相当于0
分,所以80分以上为正,80分以下为负,故74分应记为-6分。
(4)(√)整数包括正整数、负整数、零,而非负整数指正整数和零。
所以
本题对整数的分类正确。
说明:
对类似于本例的说理判断题,应注意灵活运用,全面把握各概念,
否则易因考虑不周全,似是而非致错。
例2.把下列各数填入相应的大括号内,,0.1,0,。
(1)正整数集:
{......}
(2)分数集:
{......}
(3)正分数集:
{......}
(4)负分数集:
{......}
分析:
正数集合包括所有的正整数和正分数;分数集合包括所有的正分数
和负分数。
解:
(1)正整数集:
(2)分数集:
(3)正数集:
(4)负分数集:
说明:
本例是对有理进行分类,做题之前首先要明确各集合的含义,特别
是对于以分数和百分数形式出现的数应注意化简。
如本例中的”300%”和”“经化简后为正整数。
例3.用正数、负数表示下面各组具有相反意义的量,并指出它们的分界
点。
(1)零上10℃与零下5℃;
(2)高于海平面100米与低于海平面200米。
分析:
在现实世界中,存在着大量具有相反意义的量,比如收入与支出,
上升与下降。
零上温度与零下温度等。
引入负数后,我们就可以用相应的数
表示它们。
解:
(1)如果用正数表示零上温度,那幺零上10℃就表示+10℃,零下5
℃就表示为-5℃,它的分界点是0℃。
(2)如果用正数表示高出海平面的高度,那幺高出海平面100米就表示为
+100米,而低于海平面200米就表示为-200米,海平面就是它的分界点,
用0表示。
说明:
具有相反意义的两个量规定其中一个用正数表示,另一个量就用负
数来表示,到底用正数,还是用负数来表示其中的一个量,只是我们的一种
规定,但也常遵守人们的习惯。
比如人们习惯用正数表示零上温度,用正数
表示收入等。
例4.数轴上与表示+2的点距离是3个单位长度的点有几个?
它们分别是
什幺数?
分析:
在数轴上,与已知点距离相等的点一定有两个,它们分别位于该点
的左、右两边。
解:
与表示+2的点的距离是3个单位长度的点有两个,它们分别是-1和
+5。
说明:
类似于本例借助于数轴求解的题目,我们只需把已知点按照题中要
求移动(如本题移动3个单位长度),左右各移动一次,即可求得两个数。
本
题易出现考虑不全只有一个数的情况。
例5.如图所示,在数轴上有三个点A、B、C,请回答:
(1)将B点向左移动3个单位后,三个点所表示的数谁最小?
是多少?
(2)将A点向右移动4个单位后,三个点所表示的数谁最小?
是多少?
(3)将C点向左移动6个单位后,这时B点表示的数比C点表示的数大
多少?
(4)怎样移动A、B、C中的两个点,才能使三个点表示的数相同?
有几
种移动的方法?
解:
(1)因为将B点向左移动3个单位后,点B表示-5,而点A表示-
4,点C表示3,因此点B表示的数最小,是-5;
(2)将A点向右移动4个单位后,点A表示0,点B表示-2,点C表示
3,因此点B表示的数最小,是-2;
(3)将C点向左移动6个单位后,C点表示数-3,A点表示数-4,B点
表示数-2,所以B点表示的数比C点表示的数大1。
(4)使三个点表示的数相同共有三种移动的方法。
第一种:
把点A向右移动2个单位,点C向左移动5个单位;
第二种:
把B点向左移动2个单位,C点向左移动7个单位;
第三种:
把A点向右移动7个单位,B点向右移动5个单位。
例6.某人从A地向东走10米,然后折回向西走3米,又折回向东走6
米,此人在A地哪个方向?
距离是多少?
分析:
我们可以借助数轴求解,以A地为原点。
1cm长表示2m,向东的
方向表示数轴的正方向。
解:
观察数轴得知:
此人在A地向东方向,距离为
13米。
说明:
借助数轴求解,即把实际问题转化为数学知识模型,实际行走路线
是。
例7.判断下列语句是否正确?
正确的打”√”,错误的打”×”,并说明理由。
(1)符号相反的两个数叫做互为相反数。
()
(2)互为相反数的两个数不一定一个是正数,一个是负数。
()
(3)相反数和我们以前学过的倒数是一样的。
()
分析:
本例要求准确理解相反数的定义,只有符号不同的两个数称互为相
反数。
其中”只有”指的是除了符号不同以外完全相同。
解:
(1)(×)。
符号相反的两个数不一定互为相反数,如”-3”和”+5”虽然
符号相反,但它们不是互为相反数。
(2)(√)。
因为0的相反数是0,但0既不是正数,也不是负数。
(3)(×)。
相反数和我们以前学过的倒数是两种绝然不同的意义,互为相
反数对符号提出了要求,但倒数并没有此限定。
说明:
对类似于本例的说理判断题,应注意特殊的数0,注意0的相反数
是本身。
例8.化简下列各数的符号,并回答后面的问题。
(1)________________
(2)___________________
(3)________________
(4)________________
(5)_____________
(6)_____________
(7)+2前面有2000个正号,2001个负号。
化简后的结果是
_____________,符号化简的规律为___________________。
分析:
某数的相反数在形式上表现为在该数前面添加”-”号,本例应从相
反数本身出发,总结化简规律。
解:
(1);
(2);
(3);(4)
(5)3;(6)
(7)+2前面有2000个正号,2001个负号,化简的结果是-2。
符号化简的规律是:
一个数符号的改变与它前面的正号无关,与负号
的个数有关。
当负号的个数为奇数时,这个数的符号改变,正的变为负的,
负的变为正的。
当负号的个数为偶数时,这个数的符号不变。
例9.已知a和b互为相反数,m、n互为倒数,,求:
的值。
分析:
相反数有一个很重要的性质,若两个数互为相反数,则这两个数的
和为零;倒数也有一个很重要的性质,若两个非零的数互为倒数,则这两个
数的积为1。
解:
根据题意知:
又例10.有理数a、b、c的位置如图
(1)所示,试确定
下列各组数之间的大小关系。
图
(1)
(1)a与b
(2)与
(3)与(4)与
(5)与(6)与
分析:
把a、b、c的相反数在数轴上表示出来。
因为在数轴上表示的两个
数,右边的数总是比左边的大,我们就可以比较出以上各组数的大小。
解:
把表示在数轴上,如图
(2)所示,由图可知:
图
(2)
(1)
(2)
(3)(4)
(5)(6)
【模拟试题】(答题时间:
40分钟)
一.选择题
1.正整数集合和负整数集合合在一起,构成数的集合是()
A.整数集合B.有理数集合
C.自然数集合D.非零整数集合
2.下列说法:
(1)零是正数;
(2)零是整数;(3)零是最小的有理
数;
(4)零是非负数;(5)零是偶数。
其中正确说法的个数为()
A.2B.3C.
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