三角形综合题.docx
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三角形综合题.docx
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三角形综合题
三角形综合
1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAD=30°,AC=BC=AD,CE⊥CD,且CE=CD,连接BD、DE、BE,则下列结论:
①∠ECA=165°,②BE=BC;③AD=BE;④CD=BD.其中正确的是( )
A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④
2.已知,等腰Rt△ABC中AC=BC,点D在BC上,且∠ADB=105°,ED⊥AB,G是AF延长线上一点,BE交AG于F,且DE=2FG,连GE、GB.则下列结论:
①AG⊥BE;②∠DGE=60°;③BF=2FG;④AD+
DC=AB.
其中正确的结论有( )
A.①②B.①②④C.①③④D.②③④
3.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D为BC的中点.若点E,F分别是AB,AC上的点,且∠EDF=90°,下列结论中正确结论的个数是( )
①△AED≌△CFD②(BE+CF)=
BC③S△AEF≤
S△ABC④S四边形AEDF=AD•EF.
A.1B.2C.3D.4
4.如图,已知OC平分∠AOB,CE⊥OA于E,CF⊥OB于F,EF交OC于D,则下列结论:
①OE=OF,②OD=CD,③EF⊥OC,④∠OEF=∠CEF,⑤图中共有3对全等三角形;其中正确的有( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
5.如图,在Rt△ABC中,AB=AC,D、E是斜边BC上两点,且∠DAE=45°,将△ADC绕点A顺时针旋转90°后,得到△AFB,连接EF,下列结论:
①△AED≌△AEF;②△ABC的面积等于四边形AFBD的面积;③BE2+DC2=DE2;④BE+DC=DE,其中正确的是 (只填序号)
6.如图,已知△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=90°,直角∠EPF的顶点P是BC的中点,两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F,给出以下四个结论:
①图中只有2对全等三角形
②AE=CF;
③△EPF是等腰直角三角形;
④S四边形AEPF=
S△ABC;
⑤EF的最小值为
.
上述结论始终正确的有 (填序号).
7.如图,已知△ABC中,AB=AC=3,BC=2,点D是边AB上的动点,过点D作DE∥BC,交边AC于点E,点Q是线段DE上的点,且QE=2DQ,连接BQ并延长,交边AC于点P.设BD=x,AP=y.
(1)求y关于x的函数解析式及定义域;
(2)当△PQE是等腰三角形时,求BD的长;
(3)连接CQ,当∠CQB和∠CBD互补时,求x的值.
8.若正方形有两个相邻顶点在三角形的同一条边上,其余两个顶点分别在三角形的另两条边上,则正方形称为三角形该边上的内接正方形,△ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c,各边上的高分别记为ha,hb,hc,各边上的内接正方形的边长分别记为xa,xb,xc
(1)模拟探究:
如图,正方形EFGH为△ABC的BC边上的内接正方形,求证:
+
=
;
(2)特殊应用:
若∠BAC=90°,xb=xc=2,求
+
的值;
(3)拓展延伸:
若△ABC为锐角三角形,b<c,请判断xb与xc的大小,并说明理由.
9.如图,等边△ABC的边长为2,P是BC边上的任一点(与B、C不重合),设BP=x,连接AP,以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE,分别与边AB、AC交于点M、N.
(1)求证:
AM=AN;
(2)当x为何值时,线段BM的长度最大;
(3)当∠BAD=15°时,求x的值.
10.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,AC=3,过点C作直线MN∥AB,点P为直线MN上的一动点(不与C点重合),∠PAB的平分线交BC于E.设CP=x,AP=y.
(1)若PA与线段BC交于点D,且CP=1,求CD的长;
(2)若△ABE为等腰三角形,求y关于x的函数关系式;
(3)若PA与线段BC交于点D,△AEP是直角三角形,求CP的长.
11.中点、平行线、等腰直角三角形、等边三角形都是常见的几何图形!
(1)如图1,若点D为等腰直角三角形ABC斜边BC的中点,点E、F分别在AB、AC边上,且∠EDF=90°,连接AD、EF,当BC=5
,FC=2时,求EF的长度;
(2)如图2,若点D为等边三角形ABC边BC的中点,点E、F分别在AB、AC边上,且∠EDF=90°;M为EF的中点,连接CM,当DF∥AB时,证明:
3ED=2MC;
(3)如图3,若点D为等边三角形ABC边BC的中点,点E、F分别在AB、AC边上,且∠EDF=90°;当BE=6,CF=0.8时,直接写出EF的长度.
12.△ABC中,AB=AC=5.
(1)如图1,若sin∠BAC=
,求S△ABC;
(2)若BC=AC,延长BC到D,使CD=BC,点M为BC上一点,连接AM并延长到P,使∠APD=∠B,延长AC交PD于N,连接MN.
①如图2,求证:
AM=MN;
②如图3,当PC⊥BC时,则CN的长为 (直接写结果).
13.如图CO是等腰△ABC底边AB上的高,AB=6,点P从点C出后沿CO以ka个单位/秒的速度到达点G,再沿GA以a个单位/秒的速度到达点A.
(1)当CO=3
,CG=2
时,点P的运动距离= .
(2)当CO=3
且满足k=2,a=1时,求运动时间t的最小值.
(3)当CO=6,其余条件不变时,取K= 时,存在最短运动时间,此时OG的长= .
14.如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线MN过点A且MN∥BC,点D是直线MN上一点,不与点A重合.
(1)若点E是图1中线段AB上一点,且DE=DA,请判断线段DE与DA的位置关系,并说明理由;
(2)请在下面的A,B两题中任选一题解答.
A:
如图2,在
(1)的条件下,连接BD,过点D作DP⊥DB交线段AC于点P,请判断线段DB与DP的数量关系,并说明理由;
B:
如图3,在图1的基础上,改变点D的位置后,连接BD,过点D作DP⊥DB交线段CA的延长线于点P,请判断线段DB与DP的数量关系,并说明理由.
我选择:
.
15.如图①,CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=α,AD、BE相交于点M,连接CM.
(1)求证:
BE=AD;
(2)用含α的式子表示∠AMB的度数;
(3)当α=90°时,取AD,BE的中点分别为点P、Q,连接CP,CQ,PQ,如图②,判断△CPQ的形状,并加以证明.
16.
(1)如图
(1),已知:
在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.
证明:
DE=BD+CE.
(2)如图
(2),将
(1)中的条件改为:
在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?
如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)拓展与应用:
如图(3),D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点(D、A、E三点互不重合),点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,试判断△DEF的形状并说明理由.
17.在△ABC中,CD⊥AB于点D,∠A=2∠BCD.
(1)如图1,求证:
AB=AC;
(2)如图2,E是AB上一点,F是AC延长线上一点,连接CE、BF,CE=BF,求证:
∠BEC=∠CFB;
(3)如图3,在
(2)的条件下,作EG∥BC交AC于点G,若∠CBF=2∠ACE,EG=2,BC=6,求BF的长.
18.如图1,正方形ADEF的顶点D、F在等腰直角△ABC的边AB、AC上,正方形ADEF以点A为旋转中心逆时针旋转,旋转角为α(0°<α<90°),连接BD、CF,在旋转过程中:
(1)利用图2,求证:
BD=CF;
(2)如图3,延长BD交CF于点G.
①求证:
C,G,A,B四点在同一个圆上;
②若AB=4,AD=
,α=45°,求线段CG的长.
19.如图,已知△ABC中,∠B=∠C,AB=16厘米,BC=12厘米,点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以每秒4厘米的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动,设运动时间为t(秒)(0≤t≤3).
(1)用的代数式表示PC的长度;
(2)若点P、Q的运动速度相等,经过1秒后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由;
(3)若点P、Q的运动速度不相等,当点Q的运动速度a为多少时,能够使△BPD与△CQP全等?
20.各边相等且各个内角相等的三角形称为等边三角形.如图,在等边△ABC中,线段AM为BC边上的高.动点D在射线AM上时,以CD为一边在CD的下方作等边△CDE,连结BE.
(1)填空:
∠ACB= 度;
(2)若点D在线段AM上时,求证:
△ADC≌△BEC;
(3)当动点D在射线AM上时,设直线BE与直线AM的交点为O,试判断∠AOB是否为定值?
并说明理由.
21.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α(0°<α<60°),点D在△ABC内,且BD=BC,∠DBC=60°.
(1)如图1,连接AD,直接写出∠ABD的度数(用含α的式子表示);
(2)如图2,∠BCE=150°,∠ABE=60°,判断△ABE的形状并加以证明;
(3)在
(2)的条件下,连接DE,若∠DEC=45°,求α的值.
22.已知,△ABC是等边三角形,点P是边AC上一点.
(1)如图1,过点P作PF∥BC,交AB于点F,图中有 个等边三角形.
(2)如图2,点P在AC上运动(不与A,C重合),点Q是CB延长线上一点,且BQ=AP,过P作PE⊥AB于E,连接PQ交AB于D,试说明:
在点P运动的过程中,线段ED的长是定值(即DE=
AB)
(3)若将条件中“△ABC是等边三角形”改为“△ABC是等腰三角形,CA=CB”,如图3所示,
(2)中的结论是否还成立?
请说明理由.
23.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BD平分∠ABC时
(1)若CE⊥BD于E,
①∠ECD= °;
②求证:
BD=2EC;
(2)如图,点P是射线BA上A点右边一动点,以CP为斜边作等腰直角△CPF,其中∠F=90°,点Q为∠FPC与∠PFC的角平分线的交点.当点P运动时,点Q是否一定在射线BD上?
若在,请证明,若不在;请说明理由.
24.如图,△ABE、△ADF都是等边三角形,BF与ED交点C,
(1)如图1,求证BF=ED;
(2)如图2,求证:
AC平分∠BCD;
(3)如图3,若∠EAF=30°,连接EF,EF⊥EA于E,连接BD交AF于G,FG=2
,求EF的长.
25.如图,点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点(端点除外),点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发,且它们的运动速度相同,连接AQ、CP交于点M.
(1)求证:
△ABQ≌△CAP;
(2)当点P、Q分别在AB、BC边上运动时,∠QMC的大小变化吗?
若变化,说明理由;若不变,请直接写出它的度数.
(3)如图2,若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动,直线AQ、CP交点为M,则∠QMC变化吗?
若变化,请说明理由;若不变,求出它的度数.
26.已知:
∠MON=36°,OE平分∠MON,点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点(A、B、C不与点O重合),连接AC交射线OE于点D.设∠OAC=x°.
(1)如图1,若AB∥ON,则
①∠ABO的度数是 ;
②当∠BAD=∠ABD时,x= ;当∠BAD=∠BDA时,x= .
(2)如图2,若AB⊥OM,则是否存在这样的x的值,使得△ADB中有两个相等的角?
若存在,求出x的值;若不存在,说明理由.
27.如图①,A、E、F、C在一条直线上,AE=CF,过E、F分别作DE⊥AC,BF⊥AC,若AB=CD.
(1)图①中有 对全等三角形,并把它们写出来 ;
(2)求证:
BG=DG,AG=CG;
(3)若将△ABF的边AF沿GA方向移动变为图②时,其余条件不变,第
(2)题中的结论是否成立,如果成立,请予证明.
28.如图①,在△ABC和△ADE中,AD=
AB,AE=
AC,∠BAC=∠DAE,连接BD、CE.
(1)若AB=AC,
①求证:
BD=CE;
②在BD、CE上截取DG=
BD,EH=
CE,连接AG、AH得到图②,猜想AG与AH的数量关系、∠GAH与∠BAC的数量关系,并证明你的猜想;
(2)如图③若AB=
AC,其它条件不变,猜想AG与AH的数量关系、∠GAH与∠BAC的数量关系,直接写出你的猜想,不必证明.
29.某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究,已知AB=8.
问题思考:
如图1,点P为线段AB上的一个动点,分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC、BPEF.
(1)分别连接AD、DF、AF,AF交DP于点K,当点P运动时,在△APK、△ADK、△DFK中,是否存在两个面积始终相等的三角形?
请说明理由.
问题拓展:
(2)如图2,若点M、N是线段AB上的两点,且AM=BN=1,点G、H分别是边CD、EF的中点,请直接写出点P从M到N的运动过程中,GH的中点O所经过的路径的长及OM+ON的最小值.
30.已知:
△ABC和△CDE均为等边三角形,并且B、C、D三点共线.
(1)如图①,求证:
△BCE≌△ACD;
(2)如图②,连结CH,求证:
CH平分∠BHD;
(3)在图②中,试探究HD、HE、HC之间的数量关系,并证明.
参考答案
一.选择题(共4小题)
1.D;2.B;3.C;4.B;
二.填空题(共2小题)
5.①②③;6.②③④⑤;
三.解答题(共24小题)
7. ;8. ;9. ;10. ;11. ;12.5
-5;13.4
;
;
;14.A;15. ;16. ;17. ;18. ;19. ;20.60;21. ;22.2;23.22.5;24. ;25. ;26.18°;126;63;27.2;△ABF≌△CDE,△GBF≌△GDE;28. ;29. ;30. ;
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