人教版7年级数学下册材料第5章教案.docx
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人教版7年级数学下册材料第5章教案
5.1.1相交线
教学目标
1.了解两条直线相交形成四个角;2.理解对顶角、邻补角的概念;
3.掌握对顶角的性质及它的推导过程;4.能运用对顶角的性质解决一些问题.
5.培养识图能力.
教学重、难点
1.对顶角、邻补角的概念;
2.对顶角的性质及应用.
【对话设计】
〖探究1〗两条直线相交所得的角
(1)如图,直线AB、CD相交于O,若∠1=140º,你能求出其它3个角的度数吗?
(2)两条直线相交所得的四个角之间,有怎样的关系(指位置及大小)?
(3)〖结论〗在
(1)图中,∠1与∠2是______角,∠1与∠3是____角,∠2的对顶角是______,邻补角是_______________.
〖了解邻补角及对顶角的特征〗
〖探究2〗如果两个角的顶点重合,这两个角是对顶角."这句话对吗?
画图说明.
教学过程
一、认识邻补角和对顶角,探索对顶角性质
1.邻补角、对顶角概念.
有一条公共边,而且另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角.
一个角的两边分别是另一角两边的反向延长线,那么这两个角叫对顶角.
2.对顶角性质:
对顶角相等.
二、巩固运用
(一)、判断题:
(1).如果两个角有公共顶点和一条公共边,而且这两角互为补角,那么它们互为邻补角.()
(2).两条直线相交,如果它们所成的邻补角相等,那么一对对顶角就互补.()
(二)、填空题:
(1).如图1,直线AB、CD、EF相交于点O,∠BOE的对顶角是_____,∠COF的邻补角是若∠AOC:
∠AOE=2:
3,∠EOD=130°,则∠BOC=______
(1)
(2)
(2).如图2,直线AB、CD相交于点O,∠COE=90°,∠AOC=30°,∠FOB=90°,则∠EOF=________.
(三)、解答题:
1、如图,直线a,b相交,∠1=40°,求∠2,∠3,∠4的度数.
2、如图,直线AB、CD相交于点O.
(1)若∠AOC+∠BOD=100°,求各角的度数.
(2)若∠BOC比∠AOC的2倍多33°,求各角的度数.毛
3、两条直线相交,如果它们所成的一对对顶角互补,那么它的所成的各角的度数是多少?
〖探究3〗如图,C是直线AB上一点,CD是射线,图中有几个角?
哪两个角互为邻补角?
有两个角互为对顶角吗?
〖结论〗在很多图形中,邻补角还可以看成是一条直线与端点在这条直线上的一
条射线组成的两个角.
〖探究4〗判断下列语句是否正确:
(1)互补的两个角一定是邻补角.
(2)一个角的邻补角一定和它互补.
(3)邻补角是有特殊位置关系的两个互补的角.
教学时,教师先让学生辨让未知角与已知角的关系,用指出通过什么途径去求这些未知角的度数的
5.1.2垂线
教学目标:
了解垂直概念,能说出垂线的性质“经过一点,能画出已知直线的一条垂线,并且只能画出一条垂线”,会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线.
教学重、难点:
两条直线互相垂直的概念、性质和画法.
(一)演示:
1.出示相交线的模型,学生观察思考:
固定木条a,转动木条,当b的位置变化时,a、b所成的角a是如何变化的?
其中会有特殊情况出现吗?
当这种情况出现时,a、b所成的四个角有什么特殊关系?
得出结论:
当b的位置变化时,角a从锐角变为钝角,其中∠a是_____角是特殊情况.其特殊之处还在于:
当∠a是_____角时,它的邻补角,对顶角都是_____角,即a、b所成的四个角都是_____角,都_____.
2.师生共同给出垂直定义.
两条直线相交,所成四个角中有一个角是_____角时,我们称这两条直线__________其中一条直线是另一条的_____,他们的交点叫做_____。
3.表示方法:
垂直用符号“⊥”来表示,结合“直线AB垂直于直线CD,垂足为O”,则记为__________________,并在图中任意一个角处作上直角记号,如图.
教学过程
(一)、应用练习
1.垂直应用:
∵∠AOD=90°()
∴AB⊥CD()
∵AB⊥CD()
∴∠AOD=90()
应用垂直的定义:
∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°
2.判断以下两条直线是否垂直:
①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角;
②两条直线相交所成的四个角相等;
③两条直线相交,有一组邻补角相等;
④两条直线相交,对顶角互补.
3.巩固垂线的概念和画法,如图根据下列语句画图:
(1)过点P画射线MN的垂线,Q为垂足;
(2)过点P画射线BN的垂线,交射线BN反向延长线于Q点;
(3)过点P画线段AB的垂线,交线AB延长线于Q点.
4.填空题.
(1).如图1,OA⊥OB,OD⊥OC,O为垂足,若∠AOC=35°,则∠BOD=________.
(2).如图2,AO⊥BO,O为垂足,直线CD过点O,且∠BOD=2∠AOC,则∠BOD=________.
(3).如图3,直线AB、CD相交于点O,若∠EOD=40°,∠BOC=130°,那么射线OE与直线AB
的位置关系是_________.
(二)、解答题.
1.已知钝角∠AOB,点D在射线OB上.
(1)画直线DE⊥OB;
(2)画直线DF⊥OA,垂足为F.
2.已知:
如图,直线AB,直线OC交于点O,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC.试判断OD与OE的位置关系.
(二)画图实践,探究垂线的性质
1.学生用三角尺或量角器画已知直线L的垂线.
(1)已知直线L(教师在黑板上画一条直线L),画出直线L的垂线.追问学生:
还能画出L的垂线吗?
能画几条?
(2)经过直线L外一点B画直线L的垂线,这样的垂线能画出几条?
教师让学生通过画图操作所得两条结论合并成一条,并板书:
垂线性质1:
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
说明:
“有”表示存在,“只有”表示唯一,要让学生理解这个词的意思,这也体现了数学语言的丰富和精炼。
〖探究1〗怎样测量跳远的成绩
如图,这是你们班的运动员小欣在校运会上跳远后留下的脚印,裁判员怎样测量跳远的成绩?
画出皮尺的位置.
〖归纳〗你能说出垂线的第二条性质吗?
什么叫做点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离。
说明:
距离是一个数量概念。
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。
简单说成:
垂线段最短。
〖探究2〗
如图,要从A处到河边B挖一道水渠AB引水,B点一般应选在哪一处?
为什么?
如果比例尺是1:
100000,水渠大约要挖多长?
5.1.3垂线
教学目标
1.理解点到直线的距离的意义,并会度量点到直线的距离;
2.掌握垂线的性质2;
3.感受简单推理.
教学重点
1.点到直线的距离;
2.度量点到直线的距离;
3.垂线的性质2.
教学难点:
区分垂线段与点到直线的距离
教学过程
【练习】
1.如图,已知:
AD是ΔABC的高,E是AD上一点,∠AEB=∠AEC,找出图中相等的角.
2.如图,四边形ABCD中,
若∠DAB=∠BCD,∠DAC=∠BCA,
找出其它相等的角,并说明理由.
3.如图,若∠DAB=∠EAC,∠D=∠B,问ΔAED与ΔACB之间还有哪些相等的角?
4.如图,若BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,CE、BD相交于点O.
(1)ΔAEC与ΔADB之间有哪些角是相等的?
(2)ΔOCD与ΔOBE之间有哪些角是相等的?
5.如图,已知:
AD、BC相交于点E,
如果∠A=∠D,图中还有相等的角吗?
6.如图,这是比例尺为1∶300000
的地图,用度量法求学校A到河流m的实际距离.
7.如图,找出等腰△ABC底边的中点D,再用度量法求点D到两腰的距离(可用三角尺).
8.用度量法分别求等腰△ABC底边的两个端点B、C到两腰AC、AB的距离.(提示:
要先画出垂线段.)
9.如图,用量角器画∠BOC的平分线OP,再在OP上任取一点Q,从Q到OB、OC分别画垂线
适当复习比例尺的相关知识。
比例尺=图上距离:
实际距离
通过一系列的练习题来巩固学生对两线互相垂直的理解和应用,让学生熟悉几何语言,并且能够熟练的使用画图工具进行画图。
适当复习量角器的使用。
5.2.1平行线
教学目标
1.知道三线八角;
2.知道同位角、内错角和同旁内角.
教学重、难点:
能够准确找到同位角、内错角和同旁内角.
〖复习〗
两条直线相交所成的角共有四个,这四个角之间有哪几种关系?
〖有关三线八角的介绍〗
一条直线分别同两条直线相交(或者说两条直线被第三条直线所截),构成8个角,这些角中,没有公共顶点的两个角之间有以下三种位置关系:
同位角、内错角和同旁内角.
如图,直线AB、CD与直线EF相交,∠1和∠5,∠2和∠6,∠3和∠7,∠4和∠8都是同位角,共有4对;
∠5和∠3,∠6和∠4都是内错角,共有2对;∠3和∠6,∠4和∠5都是同旁内角,共2对.
说明:
同位角要注意位置上的两个“同”字,在截线的同旁,被截两直线的同方;内错角在被截两直线之间,在截线的两旁;同旁内角在截线同旁,在被截两直线之间。
〖探索1〗
如图,直线AB、CD与直线EF相交,图中哪几对角是同位角?
哪几对角是内错角?
哪几对角是同旁内角?
〖探索2〗
如图,直线AB、CD与直线EF相交,∠5和_____是同位角,和____是内错角,与______是同旁内角.
教学过程
【练习】
1.如图,BE是AB的延长线,指出下面的两个角是哪两条直线被哪一条直线所截而成?
它们是什么角?
(1)∠A和∠D;
(2)∠A和∠CBA;
(3)∠C和∠CBE.
2.如图,∠1与∠2是哪两条直线被哪一条直线所截而成?
它们是什么角?
∠1与∠3是哪两条直线被哪一条直线所截而成?
它们是什么角?
3.如图,∠A与哪个角是内错角?
它们是由哪两条直线被哪一条直线所截而成的?
试用彩色笔画出这两个角.
4.如图,∠A与哪个角是同旁内角?
它们是由哪两条直线被哪一条截而成的?
试用彩色笔验证答案.
5.找出图中∠DEC的同位角,内错角和同旁内角.
6.找出图中∠ADE的同位角,内错角和同旁内角.
〖探索3〗如图,直线AB、CD与直线EF相交,图中哪几对角是同位角?
哪几对角是内错角?
哪几对角是同旁内角?
〖探索4〗
如图,找出∠1的内错角,用红笔一笔画出它们,先观察这两个角是否像英文字母"N",再指出它们是哪两条直线被哪一条直线所截而成.
〖探索5〗
如图,已知四边形ABCD是梯形,你能用红笔一笔画出图中任意一对同旁内角吗?
图中一有几对同旁内角?
〖探索6〗
如图,直线EF、CD与直线AB相交,
任意找出一对同位角,分别记为∠1和∠2,你能用红笔一笔画出这两个角吗?
5.2.2平行线的判定
教学目标
1.了解平行线的概念,理解同一平面内两条直线的位置关系;
2.认识平行线的公理1、2.
教学重、难点:
认识平行线的公理1、2
〖复习交流〗
如图,已知直线AB和直线外一点P,你能过点P画一条直线与AB平行吗?
把你的画法与同伴交流,看谁的方法好.
(画平行线是几何画图的基本技能之一,在以后的学习中,常常会遇到画平行线的问题。
画图时要强调画平行线要使用工具,不能徒手画,还要注意不能只给横平或竖直的图形,要让学生认识一些变式图形。
〖介绍空间两条直线的位置关系〗
如图,与长方体的棱AB平行的棱有__________________等____条,它们都和AB在同一平面内;与AB相交的棱有______________等____条,它们也和AB在同一平面内;棱AB与棱B'C'不相交也不平行,像这样的两条直线叫做异面直线,与AB异面的直线还有______________等____条.
〖归纳〗在同一平面内,两条直线的位置关系只有_____、_______两种.
教学过程
(一)、两条直线的位置关系
在同一平面内,两条直线的位置关系只有相交、平行两种.
注意:
两条直线是指不重合的两条直线。
(二)〖平行公理1〗
经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.
〖释义〗本书中所说的基本事实是人们在长期实践中总结出来的结论,基本事实也称为公理.
〖想一想〗如图,P是直线AB外一点,CD与EF相交于P.若CD与AB平行,则EF与AB平行吗?
为什么?
(三)〖平行公理2〗
如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
〖友情提示〗
若a=b=c(字母表示数),那么,a=c,根据的是等式的性质.
若a∥b,b∥∥c(字母表示直线),那么a∥b.
可以简单记为“平行具有传递性”。
根据的是
平行公理2。
(四)练习
1、判断,错误的请改正。
有且只有一条直线垂直于已知直线。
()
从直线外一点到这条直线的垂线段,叫做这点到这条直线的距离。
()
互相垂直的两条线段一定相交。
()
直线c外一点A与直线c上各点连接而成的所有线段中最短线段的长是3cm,则点A到直线c的距离是3cm。
()
说明:
主要是考察学生对基本概念的理解和掌握。
2、读下列语句,并画出图形
(1)点P是直线AB外一点,直线CD经过点P,且与直线AB平行。
(2)直线AB、CD是相交直线,点P是直线AB、CD外的一点,直线EF经过点P且与直线AB平行,与直线CD相交于点E。
说明:
再次考察学生的基本画图能力。
〖探索1〗在一张半透明的纸上任意画一条直线AB,在直线外任取一点P,你能折出过点P的平行线吗?
试一试,并把你的折法与同伴交流.
〖探索2〗经过直线外一点,可以画两条直线和这条直线平行吗?
〖探索3〗如图,若CD∥AB,且EF∥AB,则CD与EF能不平行吗?
为什么?
说明:
可以用反证法进行证明。
假设CD与E3相交,交点为P,那么过点P就有两条直线与已知直线平行,根据前面的平行公理1,这是不可能的,所以CD∥EF。
〖探索1〗
我们以前学过用直尺和三角尺画平行线.如果只用一把三角尺可以吗?
如果可以,请用这种方法过点P画一条直线与AB平行.你能够说明你所画的直线一定与AB平行吗?
〖介绍平行线的判定方法1〗
两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.
〖说明〗方法1也是基本事实(公理).
〖探索2〗
木工经常用角尺画平行线,你能说出其中的道理吗?
如果只要求画平行线,不用角尺(例如只用三角尺中的一个锐角)行吗?
〖探索3〗
如图,如果∠1=∠2,由平行线的判定方法1,能得出a∥b吗?
〖结论〗由平行线的判定方法1,可以得出平行线的判定方法2:
两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.
〖归纳〗
遇到一个新问题时,常常把它转化为已知的(或已经解决的)问题来解决.这一节中,我们利用"同位角相等,两直线平行"得到"内错角相等,两直线平行".
5.2.3直线平行的条件
教学目标
1.掌握平行线的判定方法;
2.了解从平行的判定公理得出其它两种判定方法的过程;
3.感受逻辑推理;
4.感受把未知化为已知的思想.
教学重、难点
探索并掌握平行线的判定方法.
教学过程
1.如图,分别指出下面各推理的根据:
(1)∠2=∠5
a∥b;
(2)∠4=∠5
a∥b;
(3)∠3+∠5=180º
a∥b.
2.如图,(在同一平面内)若两条直线a、b都和直线c垂直,那么这两条直线一定平行,这是为什么?
3、如图,a、b、c、d是直线,E、F、G、H是交点,
(1)若∠1=∠2,可以证明a∥b,而不能证明c∥d.这是因为∠1和∠2是直线_______和_____被直线____所截而成,它们与直线____无关.
(2)同样的道理,若已知∠1=∠3,可以证明______∥______,这是因为它们是直线____和______被直线______所截而成.
4、如图,BE是AB的延长线,从∠CBE=∠A可以判定_____∥______,这是因为相等的两角是直线____和____被直线____所截而成(与直线_____无关),判定平行的根据是___________________
__________________.
〖提示〗用彩色笔在图中画出相等的两个角(∠CBE和∠A),理解为什么不能由此推出AB∥CD.
〖说明〗学习和运用判定方法1的难点是:
(1)判定两个角是不是同位角;
(2)确定这两个同位角是哪两条直线被那一条直线所截而成;
(3)进而判定可以证明哪两条直线平行.
5、如图,D是AB上一点,E是AC上一点,,根据判定方法1,如果知道哪两个角相等,就可以证明DE∥BC?
6、如图,AE与CD相交于O,若∠A=110º,∠1=70º,就可以证明AB∥CD,这是为什么?
〖探索4〗如图,现在我们一起来探究:
两条直线(a、b)被第三条直线(c)所截,如果同旁内角互补(∠1+∠2=180º),那么这两条直线(a、b)平行吗?
〖结论〗由平行线的判定方法1(或2),可以得出平行线的判定方法3:
两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.
5.3.1平行线的性质
教学目标:
毛掌握平行线的三条性质,并能用它们进行简单的推理和计算.
重点:
探索并掌握平行线的性质,能用平行线性质进行简单的推理和计算.
难点:
能区分平行线的性质和判定,平行线的性质与判定的混合应用.
实践探究
1.学生画图活动:
用直尺和三角尺画出两条平行线a∥b,再画一条截线c与直线a、b相交,标出所形成的八个角(如课本P19图5.3-1).
2.学生测量这些角的度数。
3.学生根据测量所得数据作出猜想.
图中哪些角是同位角?
它们具有怎样的数量关系?
图中哪些角是内错角?
它们具有怎样的
数量关系?
图中哪些角是同旁内角?
它们具有怎样的数量关系?
在详尽分析后,让学生写出猜想.
4.学生验证猜测.
学生活动:
再任意画一条截线d,同样度量并计算各个角的度数,你的猜想还成立吗?
5.师生归纳平行线的性质,教师板书.
性质1:
两条平行线被第三条直线所截,同位角相等,简称为两直线平行,同位角相等.
性质2:
两条平行线被第三条直线所截,内错角相等,简称为两直线平行,内错相等.
性质3:
两条直线按被第三条线所截,同旁内角互补,简称为两直线平行,同旁内角互补
教学过程
一、判断题.
1.两条直线被第三条直线所截,则同旁内角互补.()
2.两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么同位角相等.()
3.两条平行线被第三条直线所截,则一对同旁内角的平分线互相平行.()
二、填空题.
1.如图,若AD∥BC,则∠__=∠__,∠__=∠__,∠ABC+∠__=180°;若DC∥AB,则∠__=∠___,
∠__=∠___,∠ABC+∠___=180°.
2.如图,在甲、乙两地之间要修一条笔直的公路,从甲地测得公路的走向是南偏西56°,甲、乙两地同时开工,若干天后公路准确接通,则乙地所修公路的走向是____,因为___.
三、选择题.
1.∠1和∠2是直线AB、CD被直线EF所截而成的内错角,那么∠1和∠2的大小关系是()
A.∠1=∠2B.∠1>∠2;C.∠1<∠2D.无法确定
2.一个人驱车前进时,两次拐弯后,按原来的相反方向前进,这两次拐弯的角度是()
A.向右拐85°,再向右拐95°;
B.向右拐85°,再向左拐85°
C.向右拐85°,再向右拐85°;
D.向右拐85°,再向左拐95°
例、如图是一块梯形铁片的线全部分,量得∠A=100°,∠B=115°,梯形另外两个角分别是多少度?
教师把学生情况,可启发提问:
①梯形这条件如何使用?
②∠A与∠D、∠B与∠C的位置关系如何,数量关系呢?
为什么?
2.如图,BCD是一条直线,∠A=75°,∠1=53°,∠2=75°,求∠B的度数.
3.如图
已知:
∠1=110°,∠2=110°,∠3=70°,求∠4的度数.
6.教师引导学生理清平行线的性质与平行线判定的区别.
学生交流后,师生归纳:
两者的条件和结论正好相反:
由角的数量关系(指同位角相等,内错角相等,同旁内角互补),得出两条直线平行的论述是平行线的判定,这里角的关系是条件,两直线平行是结论.
由已知的两条直线平行得出角的数量关系(指同位角相等,内错角相等,同旁内角互补)的论述是平行线的性质,这里两直线平行是条件,角的关系是结论.
教师让学生结合右图,用符号语言表达平行线的这三条性质,教师同时板书平行线的性质和平行线的判定.
平行线的性质平行线的判定
因为a∥b,因为∠1=∠2,
所以∠1=∠2所以a∥b.
因为a∥b,因为∠2=∠3,
所以∠2=∠3,所以a∥b.
因为a∥b,因为∠2+∠4=180°,
所以∠2+∠4=180°,所以a∥b.
5.3.2平行线的性质
教学目标
理解两条平行线的距离的含义,了解命题的含义,会区分命题的题设和结论.
重点、难点:
两条平行的距离,命题等概念.
一、探究
①学生思考:
线段B1C1,B2C2……B5C5都与两条平行线的横线A1B5和A2C5垂直吗?
它们的长度相等吗?
②学生实践操作,得出结论:
线段B1C1,B2C2……,B5C5同时垂直于两条平行直线A1B5和A2C5,并且它们的长度相等.
③师生给两条平行线的距离下定义.
学生分清线段B1C1的特征:
第一点线段B1C1两端点分别在两条平行线上,即它是夹在这两条平行线间的线段,第二点线段B1C1同时垂直这两条平行线.
教师板书定义:
(像线段B1C1)同时垂直于两条平行线,并且夹在这两条平行线间的线段的长度,叫做这两条平行线的距离.
④利用点到直线的距离来定义两条平行线的距离.
教师画AB∥CD,在CD上任取一点E,作EF⊥AB,垂足为F.
学生思考:
EF是否垂直直线CD?
垂线段EF的长度d是平行线AB、CD的距离吗?
这两个问题学生不难回答,教师归纳:
两条平行线间的距离可以理解为:
两条
平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离.
教师强调:
两条平行线的距离处处相等,而不随垂线段的位置改变而改变.
教学过程
练习
一、填空题.
1.用式子表示下列句子:
用∠1与∠2互为余角,又∠2与∠3互为余角,根据“同角的余角相等”,所以∠1和∠3相等______.
2.把命题“直角都相等”改写成“如果……,那么……”形式_______.
3.命题“邻补角的平分线互相垂直”的题设是__________,结论是______.
4.两条平行线被第三条直线所截,同旁内角的度数的比为2:
7,则
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