版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形42同角三角函数基本关系及诱导公式理.docx
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版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形42同角三角函数基本关系及诱导公式理
第四章三角函数、解三角形4.2同角三角函数基本关系及诱导公式理
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系:
sin2α+cos2α=1.
(2)商数关系:
=tanα.
2.各角的终边与角α的终边的关系
角
2kπ+α(k∈Z)
π+α
-α
图示
与角α终边的关系
相同
关于原点对称
关于x轴对称
角
π-α
-α
+α
图示
与角α终边的关系
关于y轴对称
关于直线y=x对称
3.六组诱导公式
组数
一
二
三
四
五
六
角
2kπ+α(k∈Z)
π+α
-α
π-α
-α
+α
正弦
sinα
-sinα
-sinα
sinα
cosα
cosα
余弦
cosα
-cosα
cosα
-cosα
sinα
-sinα
正切
tanα
tanα
-tanα
-tanα
口诀
函数名不变
符号看象限
函数名改变
符号看象限
【知识拓展】
1.诱导公式的记忆口诀:
奇变偶不变,符号看象限.
2.同角三角函数基本关系式的常用变形:
(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα;
(sinα+cosα)2+(sinα-cosα)2=2;
(sinα+cosα)2-(sinα-cosα)2=4sinαcosα.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若α,β为锐角,则sin2α+cos2β=1.( × )
(2)若α∈R,则tanα=
恒成立.( × )
(3)sin(π+α)=-sinα成立的条件是α为锐角.( × )
(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指
的奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名称的变化.( √ )
1.(2015·福建)若sinα=-
,且α为第四象限角,则tanα的值等于( )
A.
B.-
C.
D.-
答案 D
解析 ∵sinα=-
,且α为第四象限角,∴cosα=
,
∴tanα=
=-
,故选D.
2.(教材改编)已知sin(π+α)=
,则cosα的值为( )
A.±
B.
C.
D.±
答案 D
解析 ∵sin(π+α)=-sinα=
.
∴sinα=-
,cosα=±
=±
.
3.(2016·东营模拟)计算:
sin
π+cos
π等于( )
A.-1B.1
C.0D.
-
答案 A
解析 ∵sin
π=sin(π+
π)=-sin
=-
,
cos
π=cos(2π+
)=cos
=-
,
∴sin
π+cos
π=-1.
4.(教材改编)若tanα=2,则
=.
答案
解析
=
=
=
.
5.已知函数f(x)=
则f(f(2018))=.
答案 -1
解析 ∵f(f(2018))=f(2018-18)=f(2000),
∴f(2000)=2cos
=2cos
π=-1.
题型一 同角三角函数关系式的应用
例1
(1)已知sinαcosα=
,且
<α<
,则cosα-sinα的值为( )
A.-
B.
C.-
D.
(2)化简:
(1+tan2α)(1-sin2α)=.
答案
(1)B
(2)1
解析
(1)∵
<α<
,
∴cosα<0,sinα<0且cosα>sinα,
∴cosα-sinα>0.
又(cosα-sinα)2=1-2sinαcosα=1-2×
=
,
∴cosα-sinα=
.
(2)(1+tan2α)(1-sin2α)=(1+
)·cos2α
=
·cos2α=1.
思维升华
(1)利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用
=tanα可以实现角α的弦切互化.
(2)应用公式时注意方程思想的应用:
对于sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα这三个式子,利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα,可以知一求二.
(3)注意公式逆用及变形应用:
1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.
已知sinα-cosα=
,α∈(0,π),则tanα等于( )
A.-1B.-
C.
D.1
答案 A
解析 由
消去sinα得2cos2α+2
cosα+1=0,
即(
cosα+1)2=0,
∴cosα=-
.
又α∈(0,π),
∴α=
,
∴tanα=tan
=-1.
题型二 诱导公式的应用
例2
(1)(2016·长春模拟)已知f(x)=
,则f(-
)=.
(2)已知A=
+
(k∈Z),则A的值构成的集合是( )
A.{1,-1,2,-2}B.{-1,1}
C.{2,-2}D.{1,-1,0,2,-2}
答案
(1)-1
(2)C
解析
(1)f(x)=
=-tan2x,
f(-
)=-tan2(-
)=-tan2
π=-1.
(2)当k为偶数时,A=
+
=2;
当k为奇数时,A=
-
=-2.
∴A的值构成的集合是{2,-2}.
思维升华
(1)诱导公式的两个应用
①求值:
负化正,大化小,化到锐角为终了.
②化简:
统一角,统一名,同角名少为终了.
(2)含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知,在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算,如cos(5π-α)=cos(π-α)=-cosα.
(1)化简:
=.
(2)已知角α终边上一点P(-4,3),则
的值为.
答案
(1)-1
(2)-
解析
(1)原式=
=
=
=-
=-
·
=-1.
(2)原式=
=tanα,
根据三角函数的定义得tanα=-
.
题型三 同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用
例3
(1)已知α为锐角,且有2tan(π-α)-3cos(
+β)+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0,则sinα的值是( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 2tan(π-α)-3cos(
+β)+5=0化简为
-2tanα+3sinβ+5=0,①
tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0化简为
tanα-6sinβ-1=0.②
由①②消去sinβ,解得tanα=3.
又α为锐角,根据sin2α+cos2α=1,
解得sinα=
.
(2)已知-π . ①求sinx-cosx的值; ②求 的值. 解 ①由已知,得sinx+cosx= , sin2x+2sinxcosx+cos2x= , 整理得2sinxcosx=- . ∵(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx= . 由-π 又sinx+cosx>0, ∴cosx>0,sinx-cosx<0, 故sinx-cosx=- . ② = = = =- . 引申探究 本例 (2)中若将条件“-π 解 若0 , ∴sinx>0,cosx<0, ∴sinx-cosx>0,故sinx-cosx= . 思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形. (2)注意角的范围对三角函数符号的影响. 已知sin = ,α∈ ,则sin(π+α)等于( ) A. B.- C. D.- 答案 D 解析 由已知sin = , 得cosα= , ∵α∈ , ∴sinα= , ∴sin(π+α)=-sinα=- . 7.分类讨论思想在三角函数中的应用 典例 (1)已知sinα= ,则tan(α+π)+ =. (2)(2016·湛江模拟)已知k∈Z,化简: =. 思想方法指导 (1)在利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时,要根据角的范围对开方结果进行讨论. (2)利用诱导公式化简时要对题中整数k是奇数或偶数进行讨论. 解析 (1)∵sinα= >0, ∴α为第一或第二象限角. tan(α+π)+ =tanα+ = + = . ①当α是第一象限角时,cosα= = , 原式= = . ②当α是第二象限角时,cosα=- =- , 原式= =- . 综上①②知,原式= 或- . (2)当k=2n(n∈Z)时, 原式= = = =-1; 当k=2n+1(n∈Z)时, 原式= = = =-1. 综上,原式=-1. 答案 (1) 或- (2)-1 1.(2016·西安模拟)已知cosα= ,α∈(0,π),则tanα的值等于( ) A. B. C.- D.- 答案 B 解析 ∵α∈(0,π), ∴sinα= = = , 由tanα= ,得tanα= . 2.已知tan(α-π)= ,且α∈( , ),则sin(α+ )等于( ) A. B.- C. D.- 答案 B 解析 由tan(α-π)= ,得tanα= ,∴α∈(π, ), 由 及α∈(π, ), 得cosα=- , 而sin(α+ )=cosα=- . 3.若角α的终边落在第三象限,则 + 的值为( ) A.3B.-3 C.1D.-1 答案 B 解析 由角α的终边落在第三象限, 得sinα<0,cosα<0, 故原式= + = + =-1-2=-3. 4.若sin(π-α)=-2sin( +α),则sinα·cosα的值等于( ) A.- B.- C. 或- D. 答案 A 解析 由sin(π-α)=-2sin( +α),可得sinα=-2cosα,则tanα=-2,sinα·cosα= = =- . 5.已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),且f(4)=3,则f(2017)的值为( ) A.-1B.1 C.3D.-3 答案 D 解析 ∵f(4)=asin(4π+α)+bcos(4π+β) =asinα+bcosβ=3, ∴f(2017)=asin(2017π+α)+bcos(2017π+β) =asin(π+α)+bcos(π+β) =-asinα-bcosβ =-3. *6.(2016·揭阳模拟)若sinθ,cosθ是方程4x2+2mx+m=0的两根,则m的值为( ) A.1+ B.1- C.1± D.-1- 答案 B 解析 由题意知sinθ+cosθ=- ,sinθcosθ= , 又(sinθ+cosθ)2=1
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