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A4087中南大学郑鹏胡海龙郝诗梦
制动器试验台的控制方法分析
摘要
本文主要建立离散模型、Q值评价模型、驱动电流依赖于前一时间段瞬时转速的模型、泛函极值理论和离散化的动态优化模型,对制动器在试验台上的控制方法等问题进行了分析和较深入的讨论。
首先对转动惯量进行等效转化。
由于制动时前轮本身所受重力相对载荷来说很小,将其忽略后,本文将前轮等效看作一个半径为0.286m的圆环,并将前轮制动时承受的载荷看作力场作用,即可将其力场等效为此圆环所受重力场,再根据物理学中的转动惯量公式,即可求得等效转动惯量为52kg.m2。
在三个飞轮单独试验时的条件下,可求解得到15种不同组合的转动惯量,分别为:
10kg.m2、30kg.m2、40kg.m2、60kg.m2、70kg.m2、90kg.m2、100kg.m2、120kg.m2、130kg.m2、150kg.m2、160kg.m2、180kg.m2、190kg.m2210kg.m2220kg.m2。
然后,根据问题一中所求的等效转动惯量,可求得电动机应补偿的惯量为12kg·m2或-8kg·m2或-18kg·m2,结果说明电动机不仅可以补偿能量,同时也可以补偿负能量,即对主轴和飞轮的转动起阻碍作用。
为了描述电动机驱动电流大小与变化过程,本文建立了电动机驱动电流的离散模型。
首先将制动时间离散化为许多等间隔的小时间段,然后根据关系式“机械惯量所对应能量在某一小时间段内的变化量+驱动电流在该时间段内所补偿的能量=该时间段的折算惯量所对应的能量变化量”,求得折算惯量表达式,建立电动机驱动电流依赖于可观测量(即瞬时转速和瞬时扭矩)的离散模型,并可计算出驱动电流为100.08A。
根据能量误差大小即可建立计算机控制方法优劣的评价指标,对题目中所给实例进行评价分析。
然后运用eviews3.1进行数据处理,可得每个短时间内能量差的统计图,然后用相对加权能量差指标Q对在制动过程中消耗的能量之差进行综合评价,计算得到Q=148.338J,这说明该制动方法的能量误差较大。
采用逐步逼近的策略,利用前一时段实际的转速与其本时段理想转速值之间的差值,寻找应该补偿的电流值,建立差分模型,从而找到递推关系式(26)。
根据前一个时间段观测到的瞬时转速,运用这种递推型的计算机控制方法即可得到本时间段电流值。
最后,对以上简单的离散模型提出了改进,针对所划分的每一时间段进行微观分析,探究瞬时的变化情况,结果表明,每一时间段内的转速并非均匀变化,角速度与角加速度的互相影响关系式为
,然后,运用泛函极值理论中的欧拉方程,得到
,表明在每个离散时间段内,角加速度是均匀变化的,即可容易得出各段时间段内驱动电流的表达式(51)。
关键词:
制动器试验台离散模型泛函极值最优控制。
1、问题重述
1.1问题背景
汽车已经成为人们出行不可或缺的一种交通工具,而汽车的制动系统又直接影响着人身和车辆的安全,因此,制动器的设计显得尤为重要。
为了检验汽车制动器的综合性能,需要在不同情况下进行大量路试。
但车辆在设计阶段无法进行路试,而只能在专门的制动器试验台上对所设计的路试进行模拟试验。
模拟试验的原则是试验台上制动器的制动过程与路试车辆上制动器的制动过程尽可能一致。
通常制动器试验台飞轮组的主轴、驱动主轴旋转的电动机、底座、施加制动的辅助装置以及测量和控制系统等组成。
被试验的制动器安装在主轴的一端。
试验台工作时,电动机拖动主轴和飞轮旋转,达到与设定的车速相当的转速(模拟实验中,可认为主轴的角速度与车轮的角速度始终一致)后电动机断电同时施加制动,当满足设定的结束条件时就称为完成一次制动。
1.2相关信息
(1)等效转动惯量:
将车辆车轮路试时承受载荷所具有的能量等效转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量,与此能量相应的即等效的转动惯量。
(2)基础惯量:
试验台上的主轴等不可拆卸机构的惯量称为基础惯量。
(3)机械惯量:
飞轮的惯量之和再加上基础惯量称为机械惯量。
(4)电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比,比例系数为1.5A/N·m。
(5)能量误差是指所设计的路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差。
1.3待求解问题
(1)滚动半径为0.286m,制动时承受的载荷为6230N的单个前轮的等效转动惯量。
(2)飞轮组由3个外直径1m、内直径0.2m的环形钢制飞轮组成,厚度分别为0.0392m、0.0784m、0.1568m,钢材密度为7810kg/m3,基础惯量为10kg·m2,可以组成哪些机械惯量?
设电动机能补偿的能量相应的惯量的范围为[-30,30]kg·m2,对于问题
(1)中得到的等效的转动惯量,需要用电动机补偿多大的惯量?
(3)建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型。
在问题
(1)和问题
(2)的条件下,假设制动减速度为常数,初始速度为50km/h,制动5.0秒后车速为零,计算驱动电流。
(4)对于与所设计的路试等效的转动惯量为48kg·m2,机械惯量为35kg·m2,主轴初转速为514转/分钟,末转速为257转/分钟,时间步长为10ms的情况,用某种控制方法试验得到的数据见附表。
对该方法执行的结果进行评价。
(5)按照第(3)问导出的数学模型,给出根据前一个时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩,设计本时间段电流值的计算机控制方法,并对该方法进行评价。
(6)第5问给出的控制方法是否有不足之处?
如果有,请重新设计一个尽量完善的计算机控制方法,并作评价。
2、问题的分析
2.1问题概述
试验台工作时,电动机拖动主轴和飞轮旋转,达到与设定的车速相当的转速后电动机断电同时施加制动,当满足所设定的条件时,则认为完成一次制动。
为了让模拟试验满足不同情况下路试的条件,可以根据需要选择几个飞轮固定在主轴上,以使机械惯量达到等效惯量的值。
然而,由于飞轮和主轴的组合只能生成有限的离散值,这并不总能满足现实情况下汽车刹车时所承受载荷所对应的惯量值。
为了解决此问题,在制动过程中,可以让电动机在一定规律的电流控制下参与工作,补偿由于机械惯量不足而缺少的能量,从而满足模拟试验的原则。
电动机驱动电流一般很难精确确定,工程中常用的计算机控制方法是把整个制动时间离散化,再根据前面时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩,设计出本时段驱动电流的值,这个过程逐次进行,直至完成制动。
对控制方法的一个重要评价指标是所设计的路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差。
2.2具体分析
问题
(1)中,由于制动时前轮本身所受重力相对载荷来说很小,以至可以被忽略,因此,可以将前轮等效看作一个半径为0.286m的圆环,将前轮制动时承受的载荷等效看作这个圆环受到的重力。
再根据物理学中转动惯量公式,即可求得等效转动惯量。
问题
(2)可直接根据转动惯量公式分别求得三个飞轮单独试验时的转动惯量,再将这三个转动惯量与基础惯量进行组合,可以得到不同组合的转动惯量。
然后,根据问题
(1)中所求的的等效转动惯量和问题
(2)中的结果算得电动机应补偿的惯量。
问题(3)中,首先将制动时间离散化为许多等间隔的小时间段,然后根据关系式“机械惯量所对应能量在某一小时间段内的变化量+驱动电流在该时间段内所补偿的能量=该时间段的等效惯量所对应的能量变化量”建立电动机驱动电流依赖于可观测量(即瞬时转速和瞬时扭矩)的离散模型。
以此,可以求得驱动电流为一系列离散的值。
问题(4)中,题目中已用某种控制方法进行路试,并得到相关的数据见附表,针对此控制方法,首先依据评价控制方法优劣的一个重要数量指标即能量误差的大小,建立评价目标函数,使设计的路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差尽量小,然后用相对加权能量差指标对在制动过程中消耗的能量之差进行综合评价。
问题(5)采用逐步逼近的策略,利用前一时段实际的转速与其本时段理想转速值之间的差值,寻找应该补偿的电流值,建立差分模型,从而找到递推关系式。
根据前一个时间段观测到的瞬时转速,运用这种递推型的计算机控制方法即可得到本时间段电流值。
问题(6)对以上简单的离散模型提出改进,针对所划分的每一时间段进行微观分析,并据此建立了离散化的动态优化模型。
3、问题的假设
1)模拟试验中,主轴的角速度与车轮的角速度始终保持一致。
2)忽略路试车辆车轮自身转动具有的能量。
3)试验台采用的驱动电流与其产生的扭矩成正比(本题中的比例系数为
)。
4)能量误差不考虑观测误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误差。
4、符号说明
F:
表示载荷;
J1:
表示问题
(1)中单个前轮的等效转动惯量;
J0:
表示基础惯量,即试验台上的主轴等不可拆卸机构的惯量;
I:
表示电动机驱动电流;
△t:
表示离散化的等间隔时间段;
ti:
表示离散化的第i个时间段的时刻;
M:
表示驱动电流所产生的扭矩;
v:
表示主轴瞬时转速;
r:
表示单个前轮半径;
r1:
表示飞轮的内径;
r2:
表示飞轮的外径;
EI:
表示驱动电流所对应的能量;
JM:
表示机械惯量;
JR:
表示等效转动惯量;
E(Ii):
表示电流补偿由于机械惯量不足而缺少的能量(折算惯量);
△E(Ji):
表示第i时刻时的等效惯量所对应能量的变化量;
△E(JM):
表示第i时刻时的机械惯量所对应能量的变化量;
Qi:
表示能量误差的评价指标;
βi:
表示第i个时间段内的角加速度;
T:
表示制动力矩;
ni:
表示制动时应该达到的转速;
ni-1’:
表示实际情况下所达到的转速;
t0:
表示转速ni到转速ni-1’所花的时间;
n0:
表示初转速度;
nN:
表示末转速度;
tk-1:
表示在离散化的时间间隔nk内某一微元时间段的时间。
(其它相关符号将在文中作具体说明)
5、模型的建立与求解
5.1模型的准备
车辆设计阶段无法进行路试,只能在专门的制动器试验台上对所设计的路试进行模拟。
模拟过程中,路试车辆的制动车轮所对应的转动惯量为等效惯量。
对问题
(1)所提出的问题,由于制动时前轮本身所受重力相对于载荷而言可以被忽略,因此,可以将前轮等效看作一个半径为0.286m的圆环,将前轮制动时承受的载荷等效看作这个圆环受到的重力。
根据物理学中圆环的转动惯量公式
(1)
求得等效转动惯量为
J1=6230*0.286/9.8=52kg.m2
对问题
(2)所提出的问题,可以参照问题
(1)的方法,依据式
(1)推导出机械惯量的计算公式
求得三个飞轮的机械惯量分别为30kg.m2、60kg.m2和120kg.m2。
根据基础惯量为10kg·m2,可以组合成的机械惯量有10kg.m2、30kg.m2、40kg.m2、60kg.m2、70kg.m2、90kg.m2、100kg.m2、120kg.m2、130kg.m2、150kg.m2、160kg.m2、180kg.m2、190kg.m2210kg.m2220kg.m2等共十五种。
再根据电动机能补偿的能量相应的惯量的范围为[-30,30]kg·m2和问题
(1)中所得到的等效转动惯量为52kg·m2,可以求得需要电动机补偿的惯量为52-40=12kg·m2或52-60=-8kg·m2或52-70=-18kg·m2。
可以看出,电动机不仅可以补偿能量,同时也可以补偿负能量,即对主轴和飞轮的转动起阻碍作用。
5.2模型一:
离散模型
5.2.1对驱动电流所补偿能量的处理
将整个制动过程离散化为许多相等的小时间段,时间间隔记为△t,第i个时间段即为从第i-1时刻到第i时刻的区间,在此时段内的驱动电流保持不变,记为Ii,与之相对应的角速度记为wi。
由此,第i个时间段的驱动电流与其产生的扭矩关系为
(2)
将式
(2)两边同时乘以
得到等式
(3)
因此,第i个时间段的驱动电流补偿的能量E(Ii)为
(4)
结合
(2)式和
(取平均角速度),(4)式可以进一步推导
(5)
(5)式即为驱动电流在第i时间段内所补偿的能量。
5.2.2对机械惯量和等效惯量的处理
第i时间段驱动电流补偿飞轮和主轴转动由于机械惯量不足而缺少的能量,补偿后飞轮和主轴转动所具有的等效惯量记为Ji(而不等于JR)。
将等效惯量Ji所对应的能量记为E(Ji),机械惯量所对应的能量记为E(JM),则由物理学中刚体转动动能公式
(6)
分别求得
(7)
(8)
因此,在第i-1时刻到第i时刻等效惯量(可改为折合惯量)所对应能量的变化量△E(Ji)和机械惯量所对应能量的变化量△E(JM)可由(7)式和(8)式求得
(9)
(10)
5.2.3模型的建立
为了满足是试验台上制动器的制动过程与路试车辆上制动器的制动过程尽可能一致的模拟试验原则,需要在制动过程中,让电动机在一定规律的电流控制下参与工作,以补偿由于机械惯量不足而缺少的能量。
即驱动电流将在每个时间段内补偿该时间段内飞轮和转轴由于机械惯量不足而缺少的能量。
因此,建立关系式
(11)
将(5)式、(9)式和(10)式代入(11)式得
(12)
对于△wi2,有
(13)
联立(12)式、(13)式,再结合
可解得
(14)
设T为制动力力矩,由物理学中公式有
(15)
结合(14)式和(15)式,可把式(14)进一步写为
(16)
此即为问题三所要求的电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型。
5.2.4模型的求解
在问题
(1)和问题
(2)已有的条件:
JR=52kg.m2,JM=40kg.m2,r=1/2m,由于制动减速度为常速,可令其为-β,而初速度v=50km/h,且5.0秒后车速为零。
因此有以下结果
(17)
再根据公式-T=JRβ,可得:
T=52*5.56=-289.12N.m。
将β和T的值代入(16)式可以解得
(18)
此即为问题(3)中驱动电流的值。
5.3模型二:
Q值评价模型
5.3.1问题分析
问题(4)中给出了用某种控制方法来进行制动试验时的数据,根据本文前面所提到的关于驱动电流补偿由于机械惯量不足而缺少的能量与等效惯量和机械惯量分别所对应能量的关系式
(11)
可知,在理想的模拟试验中,可以满足所设计的路试时的制动器所消耗的能量与相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量相等。
然而,在实际过程中,由于驱动电流很难被精确地确定,因此,所设计的路试时的制动器所消耗的能量与相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量往往并不相等。
正是因为驱动电流的难以被精确确定的缘故,模拟试验过程中存在着能量误差,即为所设计的路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差。
为了评价问题(4)中所采用的某种控制方法的优劣,本文基于制动试验过程中能量误差的大小建立了以“能量误差最小”为评价指标的综合评价模型。
5.3.2模型的建立与求解
记Qi为“能量误差最小”的综合评价指标。
问题(4)中所采用的某种控制方法的时间间隔为
=
=0.01s,记
为该时间段内角速度的平均值,
为每个
时间段末所对应的扭矩,其相应数据参见附表。
由上述分析可知
(19)
式(19)即为以“能量误差最小”的综合评价模型。
根据为题(4)中所提供用某种控制方法试验得到的数据,再结合统计分析软件eviews3.1对其进行统计分析,得到每个时间段内的能量误差条形图(如图1所示)和散点图(如图2所示)。
图1每个时间段内能量误差条形图
图2每个时间段内能量误差散点图
由上述图1和图2显然可以看出能量差的波动性较大,为了消除随机数据的影响,本文采用平均加权能量和作为评价指标,并以此用以对该题中某种控制方法进行综合评价。
平均加权能量和为
(20)
由统计分析软件eviews3.1对附表中数据进行分析可算出每个时间段的
,然后将其代入(20)可以解得
Q=148.338J(21)
根据Q值的大小可以对该题中所提到的某种控制方法进行进行综合评价,评价的依据是:
Q越小,该种控制方法越好;反之,该种控制方法越差;
由(21)式中Q=148.338J,为很大一个值,据此可以得出结论:
该种控制方法不够理想,因为所得到的能量误差太大。
5.4模型三:
驱动电流依赖于前一时间段瞬时转速模型
5.4.1问题分析
为了建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型,模型一中首先将制动时间离散化为了许多等时间间隔的小时间段,然后再根据关系式:
机械惯量所对应能量在某一小时间段内的变化量+驱动电流在该时间段内所补偿的能量=该时间段的等效惯量所对应的能量变化量建立了时间离散化的数学模型如(11)式
(11)
并据此求出了电动机驱动电流依赖于可观测量关系式如(16)式
(16)
为了根据前一个时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩,设计本时间段电流值的计算机控制方法,本文基于模型一的求解结果推导出了电流依赖于前一时段瞬时转速或瞬时扭矩的数学模型。
在相互连接的两个时间段内,前者的转速与此时刻上等效的转动惯量飞轮所对应的转速(即为理想情况下理论补偿电能后所应达到的转速)一般不会相等,则希望在下一时间段内尽量来“弥补”这一差值。
这样对转速进行了一个逐步逼近的寻找过程(如下图示),从而达到能量误差最小的目标。
这就是运用前一个时间段观测到的瞬时转速/或瞬时扭矩,设计本时间段电流值的计算机控制方法的思想。
5.4.2模型的建立
制动过程持续时间为tm,记在第i时间段内时间的起止区间为[ti-1,ti],相应的转速记为ni,角加速度记为βi。
其中
指在ti-1时刻飞轮和主轴实际达到的速度,显然,这和理想情况下应该达到的速度并不相等。
根据物理学中相关公式有
(22)
由模型一中所求得驱动电流表达式为
(23)
再结合在时间区间t0内,应该达到的转速ni与实际情况下所达到速度的差值有
(24)
成立。
在ti时刻时的转速为
(25)
其中,nN为末转速。
结合上述四式,可得
(26)
此即为按照第3问导出的数学模型,给出根据前一个时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩,所设计出的本时间段电流值的计算机控制方法。
5.4.3模型的评价
基于模型一中已经根据能量关系所求解得到的驱动电流依赖于可观测量的关系式,本文推导出了驱动电流依赖于前一个时间段的瞬时转速的数学模型。
该模型为问题(3)中所建立的离散模型的延伸,而在将随时间连续变化的电流离散化为一些分散的电流值时,就已经带来了误差。
尽管可以将连续问题离散化所导致的误差忽略,但由于驱动电流值在现实生活中难以被精确确定,这也将导致所求解的不精确。
5.5模型四:
离散化的动态优化模型
5.5.1问题分析
模型一属于简单的离散模型,尽管运用模型一问题(3)得到了比较圆满的解答,但它还是只适用于处理某些只涉及粗略估计与计算的问题,当对问题求解结果的精度提出很高要求时,模型一并不能给出十分完美的结果。
例如,对某一离散化等间隔的小时间段,电动机驱动电流恒定,由式
(27)
可得出每一小时间段内的角加速度恒定,即在此时间段内,飞轮作“匀加速直线运动”,又在关系式
(28)
(29)
的条件下,可以得出
图中,各时间段的“折线图”竟然与原等效的转动惯量直线“完全吻合”,而且此时能量误差竟然也为零。
这是不可能的。
因此必须对每个离散的小时间段进行动态分析,并据此建立了离散化的动态优化模型。
图3速度随时间变化曲线图
5.5.2模型的建立
模型一中将制动过程离散化为了许多相等的小时间段,时间间隔为△t,并认为各时段内的驱动电流为Ii保持恒定。
为了更加精确地研究每个离散化的等时间间隔内驱动电流和可观测量的变化情况,并设计出各时间段内电流值依赖于前一个时间段观测量的计算机控制方法,本文将对各个离散化的小时间段进行动态分析。
在某一离散化的等时间间隔△t(时间区间为
)中取一微元时间段
,该微元时间段长度记为dt,与之相对应的电流记为Ik,与该电流所对应的扭矩记为Mk,在dt微元时间段内角速度改变量记为△W=Wk-Wk-1,角加速度记为β。
根据
(2)式、(3)式和(4)式,同理可以算出在该微元时间段内电流补偿机械惯量不足而缺乏的能量为
(30)
对在该微元时间段dt内,飞轮和主轴转动所具有的等效惯量和机械惯量所对应的能量变化量分别为△E(JR)=JR△Wk2/2和△E(JM)=JM△Wk2/2,且满足关系式
(31)
将(30)式和△E(JR)、△E(JM)代入(20)式即得
(32)
将(32)式进一步整理得
(33)
显然,(33)式是在微元时间段dt内应提供的驱动电流,也即为约束条件。
也说明了在△t离散时间段内,由于恒定的驱动电流所引起的角速度变化不是均匀变化的,在图中应显示为一条光滑曲线。
而恰恰在以前的简单处理模型中将此时间段内的角速度看作匀变速的变化。
这些都说明了当前模型的准确性和优越性。
记JK为模拟试验台上,在微元时间段dt内,由驱动电流补偿能量所能达到的惯量(接近但不总是等于等效惯量为JR),为了衡量驱动电流补偿能量的效果,本文建立了Q值衡量法,以衡量驱动电流补偿能量的效果。
在理想模拟试验台上,制动时应满足实际模拟时的转动惯量(实验台上制动器在制动过程中消耗的能量所对应的惯量)等于等效转动惯量(所设计的路试时的制动器消耗的能量所对应的惯量),即JK=JR,但由于驱动电流在实际工作中很难被精确地确定,并由此带来能量误差,记为Q,即所设计的路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差,此即Q值衡量法的建立依据。
据以上分析,可以得出在dt时间内的能量误差为
(34)
因此,在离散化的△t时间内总的能量误差为
(35)
为了使本文设计的计算机控制方法所得出的驱动电流尽可能地完全补偿由于机械惯量不足而缺少的能量,就应该让各个离散化的△t时间内的能量误差尽可能地小,即
(36)
本模型中,Q值衡量法旨在通过借助在微元时间段dt内驱动电流Ik(见(33)式)这一条件,去求使(36)式满足Q值最小时电流关于可观测量的变化规律。
即所建立的离散化的动态优化模型为
(37)
(38)
5.5.2模型的求解
离散化的动态优化模型满足了在各个离散化的小时间段内能量误差最小的条件。
下面将采用泛函的相关理论对(22)式和(25)式进行求解。
对(33)式,参照(15)式将电流改写为
(39)
对于(25)式,
(40)
由于
为常量,在求Qt最小值时可以不予考虑,故令
(41)
再将(39)式代入(41)式可得
(42)
上式中不考虑常量
,令
(43)
再令
(44)
由(44)式可以求得
(45)
(46)
(47)
根据欧拉公式
(48)
可得关系式
(49)
对(49)式改写为
,再对两边积分,即得
(50)
将(50)式代入(33)式,即可得电流的表达式
(51)
其中,(50)式、(51)式中β和t为某一离散化的等时间间隔区间
中某一时刻的值,βi-1为ti-1时刻时的角加速度,dt为时间区间
中某一微元时间段。
5.5.2模型的评价
此时,驱动电流是在能量误差最小为目标、电流满足一定约束的条件下求解得到的,显然,在得出电流值之前,一切非人为地干扰因素都以被严格地控制,因此,在不考虑联系问题离散化所带来的误差的前提下,本文通过建立离
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