《圆》全章复习与巩固之专题精品基础提升解析与训练.docx
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《圆》全章复习与巩固之专题精品基础提升解析与训练
【《圆》全章复习与巩固】之专题精品(基础)提升解析与训练
【学习目标】
1.理解圆及其有关概念,理解弧、弦、圆心角的关系,探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系,探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征;
2.了解切线的概念,探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系,能判定一条直线是否为圆的切线,会过圆上一点画圆的切线;
3.了解三角形的内心和外心,探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆;
4.了解正多边形的概念,掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法;会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积;
5.结合相关图形性质的探索和证明,进一步培养合情推理能力,发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力;通过这一章的学习,进一步培养综合运用知识的能力,运用学过的知识解决问题的能力.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角
1.圆的定义
(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的封闭曲线,叫做圆.
(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.
要点诠释:
①圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小;确定一个圆应先确定圆心,再确定半径,二者缺一不可;
②圆是一条封闭曲线.
2.圆的性质
(1)旋转不变性:
圆是旋转对称图形,绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合;圆是中心对称图形,对称中心是圆心.
在同圆或等圆中,两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,这四组量中的任意一组相等,那么它所对应的其他各组分别相等.
(2)轴对称:
圆是轴对称图形,经过圆心的任一直线都是它的对称轴.
(3)垂径定理及推论:
①垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
③弦的垂直平分线过圆心,且平分弦对的两条弧.
④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心,且垂直平分此弦.
⑤平行弦夹的弧相等.
要点诠释:
在垂经定理及其推论中:
过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧,在这五个条件中,知道任意两个,就能推出其他三个结论.(注意:
“过圆心、平分弦”作为题设时,平分的弦不能是直径)
3.两圆的性质
(1)两个圆是一个轴对称图形,对称轴是两圆连心线.
(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦,相切两圆的连心线经过切点.
4.与圆有关的角
(1)圆心角:
顶点在圆心的角叫圆心角.
圆心角的性质:
圆心角的度数等于它所对的弧的度数.
(2)圆周角:
顶点在圆上,两边都和圆相交的角叫做圆周角.
圆周角的性质:
①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.
②同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.
③90°的圆周角所对的弦为直径;半圆或直径所对的圆周角为直角.
④如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.
⑤圆内接四边形的对角互补;外角等于它的内对角.
要点诠释:
(1)圆周角必须满足两个条件:
①顶点在圆上;②角的两边都和圆相交.
(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
要点二、与圆有关的位置关系
1.判定一个点P是否在⊙O上
设⊙O的半径为,OP=,则有
点P在⊙O外; 点P在⊙O上;点P在⊙O内.
要点诠释:
点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的,即知道位置关系就可以确定数量关系;知道数量关系也可以确定位置关系.
2.判定几个点在同一个圆上的方法
当时,在⊙O上.
3.直线和圆的位置关系
设⊙O半径为R,点O到直线的距离为.
(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离.
(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切.
(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交.
4.切线的判定、性质
(1)切线的判定:
①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.
(2)切线的性质:
①圆的切线垂直于过切点的半径.
②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.
③经过切点作切线的垂线经过圆心.
(3)切线长:
从圆外一点作圆的切线,这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.
(4)切线长定理:
从圆外一点作圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
5.圆和圆的位置关系
设的半径为,圆心距.
(1)和没有公共点,且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离
.
(2)和没有公共点,且的每一个点都在内部内含
(3)和有唯一公共点,除这个点外,每个圆上的点都在另一个圆外部外切.
(4)和有唯一公共点,除这个点外,的每个点都在内部内切.
(5)和有两个公共点相交.
要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形
1.三角形的内心、外心、重心、垂心
(1)三角形的内心:
是三角形三条角平分线的交点,它是三角形内切圆的圆心,在三角形内部,它到三角形三边的距离相等,通常用“I”表示.
(2)三角形的外心:
是三角形三边中垂线的交点,它是三角形外接圆的圆心,锐角三角形外心在三角形内部,直角三角形的外心是斜边中点,钝角三角形外心在三角形外部,三角形外心到三角形三个顶点的距离相等,通常用O表示.
(3)三角形重心:
是三角形三边中线的交点,在三角形内部;它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍,通常用G表示.
(4)垂心:
是三角形三边高线的交点.
要点诠释:
(1)任何一个三角形都有且只有一个内切圆,但任意一个圆都有无数个外切三角形;
(2)解决三角形内心的有关问题时,面积法是常用的,即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半,即(S为三角形的面积,P为三角形的周长,r为内切圆的半径).
(3)三角形的外心与内心的区别:
名称
确定方法
图形
性质
外心(三角形外接圆的圆心)
三角形三边中垂线的交点
(1)OA=OB=OC;
(2)外心不一定在三角形内部
内心(三角形内切圆的圆心)
三角形三条角平分线的交点
(1)到三角形三边距离相等;
(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB;(3)内心在三角形内部.
2.圆内接四边形和外切四边形
(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形,圆内接四边形对角互补,外角等于内对角.
(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形,圆外切四边形对边之和相等.
要点四、圆中有关计算
1.圆中有关计算
圆的面积公式:
,周长.
圆心角为、半径为R的弧长.
圆心角为,半径为R,弧长为的扇形的面积.
弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.
圆柱的侧面图是一个矩形,底面半径为R,母线长为的圆柱的体积为,侧面积为,全面积为.
圆锥的侧面展开图为扇形,底面半径为R,母线长为,高为的圆锥的侧面积为,全面积为,母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.
要点诠释:
(1)对于扇形面积公式,关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的,
即;
(2)在扇形面积公式中,涉及三个量:
扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角,知道其中的两个量就可以求出第三个量.
(3)扇形面积公式,可根据题目条件灵活选择使用,它与三角形面积公式有点类似,可类比记忆;
(4)扇形两个面积公式之间的联系:
.
【典型例题】
类型一、圆的基础知识
例1.如图所示,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-1,3)、B(-2,-2)、C(4,-2),则△ABC外接圆半径的长度为.
【答案】;
【解析】由已知得BC∥x轴,则BC中垂线为
那么,△ABC外接圆圆心在直线x=1上,
设外接圆圆心P(1,a),则由PA=PB=r得到:
PA2=PB2
即(1+1)2+(a-3)2=(1+2)2+(a+2)2
化简得4+a2-6a+9=9+a2+4a+4
解得a=0
即△ABC外接圆圆心为P(1,0)
则
【总结升华】三角形的外心是三边中垂线的交点,由B、C的坐标知:
圆心P(设△ABC的外心为P)必在直线x=1上;由图知:
BC的垂直平分线正好经过(1,0),由此可得到P(1,0);连接PA、PB,由勾股定理即可求得⊙P的半径长.
类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理
例2.如图所示,⊙O的直径AB和弦CD相交于点E,已知AE=1cm,EB=5cm,∠DEB=60°,求CD的长.
【答案与解析】
作OF⊥CD于F,连接OD.∵AE=1,EB=5,∴AB=6.
∵,∴OE=OA-AE=3-1=2.
在Rt△OEF中,∵∠DEB=60°,∴∠EOF=30°,
∴,∴.
在Rt△DFO中,OF=,OD=OA=3,
∴(cm).
∵OF⊥CD,∴DF=CF,∴CD=2DF=cm.
【总结升华】因为垂径定理涉及垂直关系,所以常常可以利用弦心距(圆心到弦的距离)、半径和半弦组成一个直角三角形,用勾股定理来解决问题,因而,在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线,然后用垂弦定理来解题.作OF⊥CD于F,构造Rt△OEF,求半径和OF的长;连接OD,构造Rt△OFD,求CD的长.
举一反三:
【变式】如图,AB、AC都是圆O的弦,OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M、N,如果MN=3,那么BC=.
【答案】由OM⊥AB,ON⊥AC,得M、N分别为AB、AC的中点(垂径定理),则MN是△ABC的中位线,BC=2MN=6.
例3.如图,以原点O为圆心的圆交x轴于点A、B两点,交y轴的正半轴于点C,D为第一象限内⊙O上的一点,若∠DAB=20°,则∠OCD=.
【答案】65°.
【解析】连结OD,则∠DOB=40°,设圆交y轴负半轴于E,得∠DOE=130°,∠OCD=65°.
【总结升华】根据同弧所对圆周角与圆心角的关系可求.
举一反三:
【变式】如图所示,△ABC内接于⊙O,点D是CA延长线上一点,若∠BOC=120°,∠BAD等于()
A.30° B.60° C.75° D.90°
【答案】本题可先求出∠BAC的度数,∠BAC所对的弧是优弧,则该弧所对的圆心角度数
为360°-120°=240°,所以,因此,.
故选B.
类型三、与圆有关的位置关系
例4.如图,在矩形ABCD中,点O在对角线AC上,以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F,且∠ACB=∠DCE.请判断直线CE与⊙O的位置关系,并证明你的结论.
【答案与解析】
直线CE与⊙O相切
理由:
连接OE
∵OE=OA
∴∠OEA=∠OAE
∵四边形ABCD是矩形
∴∠B=∠D=∠BAD=90°,BC∥AD,CD=AB
∴∠DCE+∠DEC=90°,∠ACB=∠DAC
又∠DCE=∠ACB
∴∠DEC+∠DAC=90°
∵OE=OA
∴∠OEA=∠DAC
∴∠DEC+∠OEA=90°
∴∠OEC=90°
∴OE⊥EC
∴直线CE与⊙O相切.
【总结升华】本题考查了切线的判定:
经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线.
举一反三:
【变式】如图,P为正比例函数图象上的一个动点,的半径为3,设
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