概率论与数理统计习题集及答案.docx
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概率论与数理统计习题集及答案
《概率论与数理统计》作业集及答案
第1章概率论的基本概念
§1.1随机试验及随机事件
1.
(1)一枚硬币连丢3次,观察正面H﹑反面T出现的情形.样本空间是:
S=;
(2)一枚硬币连丢3次,观察出现正面的次数.样本空间是:
S=;
2.
(1)丢一颗骰子.A:
出现奇数点,则A=;B:
数点大于2,则B=.
(2)一枚硬币连丢2次,A:
第一次出现正面,则A=;
B:
两次出现同一面,则=;C:
至少有一次出现正面,则C=.
§1.2随机事件的运算
1.设A、B、C为三事件,用A、B、C的运算关系表示下列各事件:
(1)A、B、C都不发生表示为:
.
(2)A与B都发生,而C不发生表示为:
.
(3)A与B都不发生,而C发生表示为:
.(4)A、B、C中最多二个发生表示为:
.
(5)A、B、C中至少二个发生表示为:
.(6)A、B、C中不多于一个发生表示为:
.
2.设:
则
(1),
(2),(3),
(4)=,(5)=。
§1.3概率的定义和性质
1.已知,则
(1),
(2)()=,(3)=.
2.已知则=.
§1.4古典概型
1.某班有30个同学,其中8个女同学,随机地选10个,求:
(1)正好有2个女同学的概率,
(2)最多有2个女同学的概率,(3)至少有2个女同学的概率.
2.将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.
§1.5条件概率与乘法公式
1.丢甲、乙两颗均匀的骰子,已知点数之和为7,则其中一颗为1的概率是。
2.已知则。
§1.6全概率公式
1.有10个签,其中2个“中”,第一人随机地抽一个签,不放回,第二人再随机地抽一个签,说明两人抽“中‘的概率相同。
2.第一盒中有4个红球6个白球,第二盒中有5个红球5个白球,随机地取一盒,从中随机地取一个球,求取到红球的概率。
§1.7贝叶斯公式
1.某厂产品有70%不需要调试即可出厂,另30%需经过调试,调试后有80%能出厂,求
(1)该厂产品能出厂的概率,
(2)任取一出厂产品,求未经调试的概率。
2.将两信息分别编码为A和B传递出去,接收站收到时,A被误收作B的概率为0.02,
B被误收作A的概率为0.01,信息A与信息B传递的频繁程度为3:
2,若接收站收到的信息是A,问原发信息是A的概率是多少?
§1.8随机事件的独立性
1.电路如图,其中A,B,C,D为开关。
设各开关闭合与否相互独立,且每一开关闭合的概率均为p,求L与R为通路(用T表示)的概率。
AB
LR
CD
3.甲,乙,丙三人向同一目标各射击一次,命中率分别为0.4,0.5和0.6,是否命中,相互独立,求下列概率:
(1)恰好命中一次,
(2)至少命中一次。
第1章作业答案
§1.11:
(1);
(2)
2:
(1);
(2)正正,正反正正,反反正正,正反,反正}。
§1.21:
(1);
(2);(3);(4);(5);
(6)或;
2:
(1);
(2);(3);
(4)或;(5)。
§1.31:
(1)=0.3,
(2)=0.2,(3)=0.7.2:
)=0.4.
§1.41:
(1),
(2)(,(3)1-(.
2:
.
§1.51:
.2/6;2:
1/4。
§1.61:
设A表示第一人“中”,则P(A)=2/10
设B表示第二人“中”,则P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)
=
两人抽“中‘的概率相同,与先后次序无关。
2:
随机地取一盒,则每一盒取到的概率都是0.5,所求概率为:
p=0.5×0.4+0.5×0.5=0.45
§1.71:
(1)94%
(2)70/94;2:
0.993;
§1.8.1:
用A,B,C,D表示开关闭合,于是T=AB∪CD,
从而,由概率的性质及A,B,C,D的相互独立性
P(T)=P(AB)+P(CD)-P(ABCD)
=P(A)P(B)+P(C)P(D)–P(A)P(B)P(C)P(D)
2:
(1)0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38;
(2)1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.
第2章随机变量及其分布
§2.1随机变量的概念,离散型随机变量
1一盒中有编号为1,2,3,4,5的五个球,从中随机地取3个,用X表示取出的3个球
中的最大号码.,试写出X的分布律.
2某射手有5发子弹,每次命中率是0.4,一次接一次地射击,直到命中为止或子弹用尽为止,用X表示射击的次数,试写出X的分布律。
§2.2分布和泊松分布
1某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X是服从λ=4的泊松分布,求
(1)每分钟恰有1次呼叫的概率;
(2)每分钟只少有1次呼叫的概率;
(3)每分钟最多有1次呼叫的概率;
2设随机变量X有分布律:
X23,Y~π(X),试求:
p0.40.6
(1)P(X=2,Y≤2);
(2)P(Y≤2);(3)已知Y≤2,求X=2的概率。
§2.3贝努里分布
1一办公室内有5台计算机,调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为0.6,计算机是否被使用相互独立,问在同一时刻
(1)恰有2台计算机被使用的概率是多少?
(2)至少有3台计算机被使用的概率是多少?
(3)至多有3台计算机被使用的概率是多少?
(4)至少有1台计算机被使用的概率是多少?
2设每次射击命中率为0.2,问至少必须进行多少次独立射击,才能使至少击中一次的概率不小于0.9?
§2.4随机变量的分布函数
1设随机变量X的分布函数是:
F(x)=
(1)求P(X≤0);P;P(X≥1),
(2)写出X的分布律。
2设随机变量X的分布函数是:
F(x)=,求
(1)常数A,
(2)P.
§2.5连续型随机变量
1设连续型随机变量的密度函数为:
(1)求常数的值;
(2)求X的分布函数F(x),画出F(x)的图形,
(3)用二种方法计算P(-0.5 2设连续型随机变量的分布函数为: F(x)= (1)求X的密度函数,画出的图形, (2)并用二种方法计算P(X>0.5). §2.6均匀分布和指数分布 1设随机变量K在区间(0,5)上服从均匀分布,求方程4+4Kx+K+2=0 有实根的概率。 2假设打一次电话所用时间(单位: 分)X服从的指数分布,如某人正好在你前面走进电话亭,试求你等待: (1)超过10分钟的概率; (2)10分钟到20分钟的概率。 §2.7正态分布 1随机变量X~N(3,4), (1)求P(2 (2)确定c,使得P(X>c)=P(X 2某产品的质量指标X服从正态分布,μ=160,若要求P(120 §2.8随机变量函数的分布 1设随机变量的分布律为;X012 p0.30.40.3 Y=2X–1,求随机变量的分布律。 2设随机变量的密度函数为: , ;求随机变量Y的密度函数。 3.设随机变量服从(0,1)上的均匀分布,,求随机变量Y的密度函数。 第2章作业答案 §2.11: X345 p0.10.30.6 2: X12345 p0.40.6×0.40.6×0.6×0.40.6×0.6×0.6×0.40.6×0.6×0.6×0.6×1 §2.21: (1)P(X=1)=P(X≥1)–P(X≥2)=0.981684–0.908422=0.073262, (2)P(X≥1)=0.981684, (3)P(X≤1)=1-P(X≥2)=1–0.908422=0.091578。 2: (1)由乘法公式: P(X=2,Y≤2)=P(X=2)P(Y≤2|X=2)=0.4×()=2 (2)由全概率公式: P(Y≤2)=P(X=2)P(Y≤2|X=2)+P(X=3)P(Y≤2|X=3) =0.4×5+0.6×=0.27067+0.25391=0.52458 (3)由贝叶斯公式: P(X=2|Y≤2)= §2.31: 设X表示在同一时刻被使用的台数,则X~B(5,0.6), (1)P(X=2)= (2)P(X≥3)= (3)P(X≤3)=1-(4)P(X≥1)=1- 2: 至少必须进行11次独立射击. §2.41: (1)P(X≤0)=0.5;P=0.5;P(X≥1)=0.5, (2)X的分布律为: X-11 P0.50.5 2: (1)A=1, (2)P=1/6 §2.51: (1), (2); (3)P(-0.5 或=F(0,5)–F(-0.5)=。 2: (1) (2) §2.61: 3/52: §2.71: (1)0.5328,0.9996,0.6977,0.5; (2)c=3,2: σ≤31.25。 §2.81: Y-113 p0.30.40.3 2: ,3: ; 第3章多维随机变量 §3.1二维离散型随机变量 1.设盒子中有2个红球,2个白球,1个黑球,从中随机地取3个,用X表示取到的红球个数,用Y表示取到的白球个数,写出(X,Y)的联合分布律及边缘分布律。 2.设二维随机变量的联合分布律为: XY012 试根椐下列条件分别求a和b的值;00.10.2a (1);10.1b0.2 (2);(3)设是的分布函数,。 §3.2二维连续型随机变量 1.的联合密度函数为: 求 (1)常数k; (2)P(X<1/2,Y<1/2);(3)P(X+Y<1);(4)P(X<1/2)。 2.的联合密度函数为: 求 (1)常数k; (2)P(X+Y<1);(3)P(X<1/2)。 §3.3边缘密度函数 1.设(X,Y)的联合密度函数如下,分别求与的边缘密度函数。 2.设(X,Y)的联合密度函数如下,分别求与的边缘密度函数。 §3.4随机变量的独立性 1.(X,Y)的联合分布律如下,XY123 试根椐下列条件分别求a和b的值;11/61/91/18 (1);2ab1/9 (2);(3)已知与相互独立。 2.(X,Y)的联合密度函数如下,求常数c,并讨论与是否相互独立? 第3章作业答案 §3.11: XY122: (1)a=0.1b=0.3 10.40.30.7 (2)a=0.2b=0.2 20.30.0.3(3)a=0.3b=0.1 0.70.31
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