中考导练讲义第19讲多边形与平行四边形.docx
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中考导练讲义第19讲多边形与平行四边形
第19讲多边形与平行四边形
【章节知识清单】
知识点一:
多边形
关键点拨与对应举例
1.多边形的相关概念
(1)定义:
在平面内,由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.
(2)对角线:
从n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线,并且这些对角线把多边形分成了(n-2)个三角形;n边形对角线条数为
.
多边形中求度数时,灵活选择公式求度数,解决多边形内角和问题时,多数列方程求解.
例:
(1)若一个多边形的内角和为1440°,则这个多边形的边数为10.
(2)从多边形的一个顶点出发引对角线,可以把这个多边形分割成7个三角形,则该多边形为九边形.
2.多边形的内角和、外角和
(1)内角和:
n边形内角和公式为(n-2)·180°
(2)外角和:
任意多边形的外角和为360°.
3.正多边形
(1)定义:
各边相等,各角也相等的多边形.
(2)正n边形的每个内角为
,每一个外角为360°/n.
(3)正n边形有n条对称轴.
(4)对于正n边形,当n为奇数时,是轴对称图形;当n为偶数时,既是轴对称图形,又是中心对称图形.
知识点二:
平行四边形的性质
4.平行四边形的定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形,平行四边形用“□”表示.
利用平行四边形的性质解题时的一些常用到的结论和方法:
(1)平行四边形相邻两边之和等于周长的一半.
(2)平行四边形中有相等的边、角和平行关系,所以经常需结合三角形全等来解题.
(3)过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长.
例:
如图,□ABCD中,EF过对角线的交点O,AB=4,AD=3,OF=1.3,则四边形BCEF的周长为9.6.
5.平行四边形的性质
(1)边:
两组对边分别平行且相等.
即AB∥CD且AB=CD,BC∥AD且AD=BC.
(2)角:
对角相等,邻角互补.
即∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC,
∠ABC+∠BCD=180°,∠BAD+∠ADC=180°.
(3)对角线:
互相平分.即OA=OC,OB=OD
(4)对称性:
中心对称但不是轴对称.
6.平行四边形中的几个解题模型
(1)如图①,AF平分∠BAD,则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABF为等腰三角形,即AB=BF.
(2)平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形,如图②中△ABD≌△CDB;
两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形,如图②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD;
根据平行四边形的中心对称性,可得经过对称中心O的线段与对角线所组成的居于中心对称位置的三角形全等,如图②△AOE≌△COF.图②中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半.
(3)如图③,已知点E为AD上一点,根据平行线间的距离处处相等,可得S△BEC=S△ABE+S△CDE.
(4)根据平行四边形的面积的求法,可得AE·BC=AF·CD.
知识点三:
平行四边形的判定
7.平行四边形的判定
(1)方法一(定义法):
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
即若AB∥CD,AD∥BC,则四边形ABCD是□.
(2)方法二:
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
即若AB=CD,AD=BC,则四边形ABCD是□.
(3)方法三:
有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
即若AB=CD,AB∥CD,或AD=BC,AD∥BC,则四边形ABCD是□.
(4)方法四:
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
即若OA=OC,OB=OD,则四边形ABCD是□.
(5)方法五:
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
若∠ABC=∠ADC,∠BAD=∠BCD,则四边形ABCD是□.
例:
如图四边形ABCD的对角线相交于点O,AO=CO,请你添加一个条件BO=DO或AD∥BC或AB∥CD(只添加一个即可),使四边形ABCD为平行四边形.
【章节典例解析】
【例题1】(2017广西百色)多边形的外角和等于( )
A.180°B.360°C.720°D.(n﹣2)•180°
【考点】L3:
多边形内角与外角.
【分析】根据多边形的外角和,可得答案.
【解答】解:
多边形的外角和是360°,
故选:
B.
【例题2】如图,在▱ABCD中,对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F,连接CE,若△CED的周长为6,则▱ABCD的周长为( )
A.6B.12C.18D.24
【考点】L5:
平行四边形的性质;KG:
线段垂直平分线的性质.
【分析】由平行四边形的性质得出DC=AB,AD=BC,由线段垂直平分线的性质得出AE=CE,得出△CDE的周长=AD+DC,即可得出结果.
【解答】解:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DC=AB,AD=BC,
∵AC的垂直平分线交AD于点E,
∴AE=CE,
∴△CDE的周长=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=6,
∴▱ABCD的周长=2×6=12;
故选:
B.
【例题3】(2017广西河池)如图,在▱ABCD中,用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG,若AD=5,DE=6,则AG的长是( )
A.6B.8C.10D.12
【考点】N2:
作图—基本作图;L5:
平行四边形的性质.
【分析】连接EG,由作图可知AD=AE,根据等腰三角形的性质可知AG是DE的垂直平分线,由平行四边形的性质可得出CD∥AB,故可得出∠2=∠3,据此可知AD=DG,由等腰三角形的性质可知OA=
AG,利用勾股定理求出OA的长即可.
【解答】解:
连接EG,
∵由作图可知AD=AE,AG是∠BAD的平分线,
∴∠1=∠2,
∴AG⊥DE,OD=
DE=3.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD∥AB,
∴∠2=∠3,
∴∠1=∠3,
∴AD=DG.
∵AG⊥DE,
∴OA=
AG.
在Rt△AOD中,OA=
=
=4,
∴AG=2AO=8.
故选B.
【例题4】(2017山东滨州)如图,在▱ABCD中,以点A为圆心,AB长为半径画弧交AD于点F,再分别以点B、F为圆心,大于
BF的相同长为半径画弧,两弧交于点P;连接AP并延长交BC于点E,连接EF,则所得四边形ABEF是菱形.
(1)根据以上尺规作图的过程,求证:
四边形ABEF是菱形;
(2)若菱形ABEF的周长为16,AE=4
,求∠C的大小.
【考点】LA:
菱形的判定与性质;L5:
平行四边形的性质;N2:
作图—基本作图.
【分析】
(1)先证明△AEB≌△AEF,推出∠EAB=∠EAF,由AD∥BC,推出∠EAF=∠AEB=∠EAB,得到BE=AB=AF,由此即可证明;
(2)连结BF,交AE于G.根据菱形的性质得出AB=4,AG=
AE=2
,∠BAF=2∠BAE,AE⊥BF.然后解直角△ABG,求出∠BAG=30°,那么∠BAF=2∠BAE=60°.再根据平行四边形的对角相等即可求出∠C=∠BAF=60°.
【解答】解:
(1)在△AEB和△AEF中,
,
∴△AEB≌△AEF,
∴∠EAB=∠EAF,
∵AD∥BC,
∴∠EAF=∠AEB=∠EAB,
∴BE=AB=AF.
∵AF∥BE,
∴四边形ABEF是平行四边形,
∵AB=BE,
∴四边形ABEF是菱形;
(2)如图,连结BF,交AE于G.
∵菱形ABEF的周长为16,AE=4
,
∴AB=BE=EF=AF=4,AG=
AE=2
,∠BAF=2∠BAE,AE⊥BF.
在直角△ABG中,∵∠AGB=90°,
∴cos∠BAG=
=
=
,
∴∠BAG=30°,
∴∠BAF=2∠BAE=60°.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠C=∠BAF=60°.
【例题5】(2017•新疆)如图,点C是AB的中点,AD=CE,CD=BE.
(1)求证:
△ACD≌△CBE;
(2)连接DE,求证:
四边形CBED是平行四边形.
【考点】L6:
平行四边形的判定;KD:
全等三角形的判定与性质.
【分析】
(1)由SSS证明证明△ADC≌△CEB即可;
(2)由全等三角形的性质得出得到∠ACD=∠CBE,证出CD∥BE,即可得出结论.
【解答】
(1)证明:
∵点C是AB的中点,
∴AC=BC;在△ADC与△CEB中,
,
∴△ADC≌△CEB(SSS),
(2)证明:
连接DE,如图所示:
∵△ADC≌△CEB,
∴∠ACD=∠CBE,
∴CD∥BE,
又∵CD=BE,
∴四边形CBED是平行四边形.
【点评】该题主要考查了平行四边形的判定、平行线的判定、全等三角形的判定与性质;熟练掌握平行四边形的判定,证明三角形全等是解决问题的关键.
【章节典例习题】
1.(2017广东)一个n边形的内角和是720°,则n= 6 .
2.(2017•黑龙江)在平行四边形ABCD中,∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分,则平行四边形ABCD周长是( )
A.22B.20C.22或20D.18
3.(2017.湖南怀化)如图,在▱ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点E是AB的中点,OE=5cm,则AD的长是 10 cm.
4.(2017宁夏)如图,将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠,使点A落在点A'处.若∠1=∠2=50°,则∠A'为 105° .
5.(2017•宁德)如图,E,F为平行四边形ABCD的对角线BD上的两点,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F.
求证:
AE=CF.
6.(2017青海西宁)如图,四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,O是AC的中点,AD∥BC,AC=8,BD=6,.
(1)求证:
四边形ABCD是平行四边形;
(2)若AC⊥BD,求▱ABCD的面积.
【章节典例习题】参考答案
1.(2017广东)一个n边形的内角和是720°,则n= 6 .
【考点】L3:
多边形内角与外角.
【分析】多边形的内角和可以表示成(n﹣2)•180°,依此列方程可求解.
【解答】解:
设所求正n边形边数为n,
则(n﹣2)•180°=720°,
解得n=6.
2.(2017•黑龙江)在平行四边形ABCD中,∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分,则平行四边形ABCD周长是( )
A.22B.20C.22或20D.18
【考点】L5:
平行四边形的性质.
【分析】根据AE平分∠BAD及AD∥BC可得出AB=BE,BC=BE+EC,从而根据AB、AD的长可求出平行四边形的周长.
【解答】解:
在平行四边形ABCD中,AD∥BC,则∠DAE=∠AEB.
∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAE,
∴∠BAE=∠BEA,
∴AB=BE,BC=BE+EC,
①当BE=3,EC=4时,
平行四边形ABCD的周长为:
2(AB+AD)=2(3+3+4)=20.
②当BE=4,EC=3时,
平行四边形ABCD的周长为:
2(AB+AD)=2(4+4+3)=22.
故选:
C.
【点评】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定;根据题意判断出AB=BE是解答本题的关键.
3.(2017.湖南怀化)如图,在▱ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点E是AB的中点,OE=5cm,则AD的长是 10 cm.
【考点】L5:
平行四边形的性质;KX:
三角形中位线定理.
【分析】根据平行四边形的性质,可得出点O平分BD,则OE是三角形ABD的中位线,则AD=2OE,继而求出答案.
【解答】解:
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴BO=DO,
∵点E是AB的中点,
∴OE为△ABD的中位线,
∴AD=2OE,
∵OE=5cm,
∴AD=10cm.
故答案为:
10.
4.(2017宁夏)如图,将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠,使点A落在点A'处.若∠1=∠2=50°,则∠A'为 105° .
【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质,得出∠ADB=∠BDG=∠DBG,由三角形的外角性质求出∠BDG=∠DBG=
∠1=25°,再由三角形内角和定理求出∠A,即可得到结果.
【解答】解:
∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBG,
由折叠可得∠ADB=∠BDG,
∴∠DBG=∠BDG,
又∵∠1=∠BDG+∠DBG=50°,
∴∠ADB=∠BDG=25°,
又∵∠2=50°,
∴△ABD中,∠A=105°,
∴∠A'=∠A=105°,
故答案为:
105°.
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用,熟练掌握平行四边形的性质,求出∠ADB的度数是解决问题的关键.
5.(2017•宁德)如图,E,F为平行四边形ABCD的对角线BD上的两点,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F.
求证:
AE=CF.
【考点】L5:
平行四边形的性质;KD:
全等三角形的判定与性质.
【分析】由AE⊥BD,CF⊥BD,可得∠AEB=∠CFD=90°,又由四边形ABCD是平行四边形,可得AB∥CD,AB=CD,即可证得∠ABE=∠CDF,则可证得△ABE≌△CDF,继而证得结论.
【解答】证明:
∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴∠AEB=∠CFD=90°,
在▱ABCD中,AB∥CD,AB=CD,
∴∠ABE=∠CDF,
在△ABE和△CDF中,
,
∴△ABE≌△CDF(AAS),
∴AE=CF.
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质.注意证得△ABE≌△CDF是关键.
6.(2017青海西宁)如图,四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,O是AC的中点,AD∥BC,AC=8,BD=6,.
(1)求证:
四边形ABCD是平行四边形;
(2)若AC⊥BD,求▱ABCD的面积.
【考点】L7:
平行四边形的判定与性质.
【分析】
(1)由已知条件易证△AOD≌△COB,由此可得OD=OB,进而可证明四边形ABCD是平行四边形;
(2)由
(1)和已知条件可证明四边形ABCD是菱形,由菱形的面积公式即可得解.
【解答】解:
(1)∵O是AC的中点,
∴OA=OC,
∵AD∥BC,
∴∠ADO=∠CBO,
在△AOD和△COB中,
,
∴△AOD≌△COB,
∴OD=OB,
∴四边形ABCD是平行四边形;
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,AC⊥BD,
∴四边形ABCD是菱形,
∴▱ABCD的面积=
AC•BD=24.
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