专题11三角形的证明精讲精练解析版北师大版.docx
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专题11三角形的证明精讲精练解析版北师大版
2019-2020学年八年级下学期期中考试高分直通车(北师大版)
专题1.1三角形的证明(精讲精练)
【目标导航】
【知识梳理】
1.等腰三角形
(1)等腰三角形的概念:
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
(2)等腰三角形的性质:
①等腰三角形的两腰相等;
②等腰三角形的两个底角相等.【简称:
等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.【三线合一】
(3)在①等腰;②底边上的高;③底边上的中线;④顶角平分线.以上四个元素中,从中任意取出两个元素当成条件,就可以得到另外两个元素为结论.
2.等腰三角形的判定
判定定理:
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.【简称:
等角对等边】
说明:
①等腰三角形是一个轴对称图形,它的定义既作为性质,又可作为判定办法.
②等腰三角形的判定和性质互逆;
③在判定定理的证明中,可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线,但不能作未来底边的中线;
④判定定理在同一个三角形中才能适用.
3.等边三角形的性质
(1)等边三角形的定义:
三条边都相等的三角形叫做等边三角形,等边三角形是特殊的等腰三角形.
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法;
②可以得到它与等腰三角形的关系:
等边三角形是等腰三角形的特殊情况.在等边三角形中,腰和底、顶角和底角是相对而言的.
(2)等边三角形的性质:
等边三角形的三个内角都相等,且都等于60°.
等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴;它的任意一角的平分线都垂直平分对边,三边的垂直平分线是对称轴.
4.等边三角形的判定
(1)由定义判定:
三条边都相等的三角形是等边三角形.
(2)判定定理1:
三个角都相等的三角形是等边三角形.
(3)判定定理2:
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
说明:
在证明一个三角形是等边三角形时,若已知或能求得三边相等则用定义来判定;若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明;若已知等腰三角形且有一个角为60°,则用判定定理2来证明.
5.直角三角形的判定:
(1)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).
(2)直角三角形首先是三角形,所以一般三角形全等的判定方法都适合它,同时,直角三角形又是特殊的三角形,有它的特殊性,作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法.所以直角三角形的判定方法最多,使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件.
6.直角三角形的性质:
直角三角形是一种特殊的三角形,它除了具有一般三角形的性质外,具有一些特殊的性质:
性质1:
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理).
性质2:
在直角三角形中,两个锐角互余.
性质3:
在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半.
性质4:
直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积.
性质5:
在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半;
在直角三角形中,如果有一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°.
7.线段的垂直平分线:
(1)定义:
经过某一条线段的中点,并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线(中垂线)垂直平分线,简称“中垂线”.
(2)性质:
①垂直平分线垂直且平分其所在线段.
②垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等.
8.角平分线的性质:
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
注意:
①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长;②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据,有时不必证明全等;③使用该结论的前提条件是图中有角平分线,有垂直
【典例剖析】
考点1等腰三角形的写性质
【例1】(2019秋•九龙坡区校级期中)等腰三角形的一个外角为102°,则等腰三角形的顶角为( )
A.24°B.78°C.24°或78°D.102°
【分析】根据三角形的外角性质定理即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和,可以得到:
(1)当这个102°的外角为顶角的外角时,则这个等腰三角形的顶角为78°;
(2)当这个102°的外角为底角的外角时,可以得到这个等腰三角形的顶角为180°﹣78°﹣78°=24°.
【解析】分为两种情况:
(1)当这个102°的外角为顶角的外角时,则这个等腰三角形的顶角为78°;
(2)当这个102°的外角为底角的外角时,可以得到这个等腰三角形的顶角为180°﹣78°﹣78°=24°.
故选:
C.
【变式1-1】(2019秋•汝阳县期中)事实:
在三角形中,若两条边相等,那么它们所对的两个角也相等,已知,如图,在△ABC中,D是AC上一点,且AB=DB=DC,∠C=40°,则∠ABD的度数是( )
A.20°B.40°C.60°D.80°
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可.
【解析】∵BD=DC,∠C=40°,
∴∠BDC=100°,
∵AB=BD,
∴∠ABD=20°,
故选:
A.
【变式1-2】(2019秋•杭州期中)如图钢架中,∠A=a,焊上等长的钢条P1P2,P2P3,P3P4,P4P5…来加固钢架.若P1A=P1P2,且恰好用了4根钢条,则α的取值范围是( )
A.15°≤a<18°B.15°<a≤18°
C.18°≤a<22.5°D.18°<a≤22.5°
【分析】根据等腰三角形的性质可得到几组相等的角,再根据三角形外角的性质可得到∠P3P5P4与∠A之间的关系,从而不难求解.
【解析】∵AP1=P1P2,P1P2=P2P3,P3P4=P2P3,P3P4=P4P5,
∴∠A=∠P1P2A,∠P2P1P3=∠P2P3P1,∠P3P2P4=∠P3P4P2,∠P4P3P5=∠P4P5P3,
∴∠P3P5P4=4∠A=4α°,
∵要使得这样的钢条只能焊上4根,
∴∠P5P4B=5α°,
由题意
,
∴18°≤α<22.5°.
故选:
C.
【变式1-3】(2019秋•宜昌期中)等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰△ABC中,∠A=50°,则它的特征值k=( )
A.
或
B.
或
C.
或
D.
或
【分析】分两种情况:
∠A为顶角或∠A为底角,再根据三角形内角和定理可求得底角或顶角的度数,即可得到它的特征值k.
【解析】当∠A为顶角时,则底角∠B=65°;
此时,特征值k
;
当∠A为底角时,则顶角为80°;
此时,特征值k
.
故它的特征值k
或
.
故选:
A.
考点2等边三角形的写性质
【例2】(2019秋•合浦县期中)如图,已知△ABC是等边三角形,点B、C,D、E在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E=( )
A.30°B.20°C.15°D.100°
【分析】由于△ABC是等边三角形,那么∠B=∠1=60°,而CD=CG,那么∠CGD=∠2,而∠1是△CDG的外角,可得∠1=2∠2,同理有∠2=2∠E,等量代换有4∠E=60°,解即可求∠E.
【解析】如右图所示,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=∠1=60°,
∵CD=CG,
∴∠CGD=∠2,
∴∠1=2∠2,
同理有∠2=2∠E,
∴4∠E=60°,
∴∠E=15°.
故选:
C.
【点评】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质,解题的关键是利用外角性质得出∠1=2∠2,∠2=2∠E.
【变式2-1】(2018秋•内乡县期中)如图,在等边三角形ABC的AC边上取中点D,E为BC的延长线上取一点,且BD=DE,则∠CDE的度数是( )
A.20°B.25°C.30°D.35°
【分析】根据等边三角形的性质可得∠ACB=60°,∠DBC=30°,再根据等边对等角的性质求出∠E=∠DBC=30°,然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求解得到∠CDE=30°.
【解答】证明:
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°,
∵AD=DC,
∴∠DBC
∠ABC=30°,
∵DB=DE,
∴∠E=∠DBC=30°,
∵∠ACB=∠CDE+∠E,
∴∠CDE=30°.
故选:
C.
【变式2-2】(2018秋•任城区校级期中)下列说法正确的是( )
A.三角形的角平分线、中线和高都在三角形内部
B.角平分线是角的对称轴
C.等腰三角形的角平分线与高互相重合
D.有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
【分析】根据三角形的角平分线,中线,高的定义,等腰三角形的性质,等边三角形的判定定理即可一一判断.
【解析】A、三角形的角平分线、中线和高都在三角形内部,错误,三角形的高不一定在三角形内部,本选项不符合题意.
B、角平分线是角的对称轴,错误,应该是角平分线所在的直线是角的对称轴,本选项不符合题意.
C、等腰三角形的角平分线与高互相重合,错误,应该是等腰三角形的顶角的角平分线与高互相重合.本选项不符合题意.
D、有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形,正确,本选项符合题意,
故选:
D.
【变式2-3】(2019秋•余姚市期末)如图,△ABC是等边三角形,D是边BC上一点,且∠ADC的度数为(5x﹣20)°,则x的值可能是( )
A.10B.20C.30D.40
【分析】根据等边三角形的性质列出有关x的不等式后求得x的取值范围即可确定正确的选项.
【解析】∵△ABC是等边三角形,D是边BC上一点,∠ADC的度数为(5x﹣20)°,
∴60≤5x﹣20≤90,
解得:
16≤x≤22,
∴只有20适合,
故选:
B.
考点3直角三角形全等的判定方法
【例3】(2019秋•松江区期末)下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是( )
A.两个锐角分别对应相等
B.两条直角边分别对应相等
C.一条直角边和斜边分别对应相等
D.一个锐角和一条斜边分别对应相等
【分析】根据三角形全等的判定对各选项分析判断后利用排除法求解.
【解析】A、两个锐角对应相等,不能说明两三角形能够完全重合,符合题意;
B、可以利用边角边判定两三角形全等,不符合题意;
C、可以利用边角边或HL判定两三角形全等,不符合题意;
D、可以利用角角边判定两三角形全等,不符合题意.
故选:
A.
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定方法;本题主要利用三角形全等的判定,运用好有一对相等的直角这一隐含条件是解题的关键.
【变式3-1】(2019春•福田区期中)如图,BE=CF,AE⊥BC,DF⊥BC,要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF,则还要添加一个条件是( )
A.AB=DCB.∠A=∠DC.∠B=∠CD.AE=BF
【分析】根据垂直定义求出∠CFD=∠AEB=90°,再根据全等三角形的判定定理推出即可.
【解析】条件是AB=CD,
理由是:
∵AE⊥BC,DF⊥BC,
∴∠CFD=∠AEB=90°,
在Rt△ABE和Rt△DCF中,
,
∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL),
故选:
A.
【变式3-2】(2019春•雁塔区校级月考)下列说法:
①一个底角和一条边分别相等的两个等腰三角形全等;②底边及底边上的高分别相等的两个等腰三角形全等;③两边分别相等的两个直角三角形全等;④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等,其中正确的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
【分析】利用全等三角形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项.
【解析】①一个底角和一条边分别相等的两个等腰三角形不一定全等;
②底边及底边上的高分别相等的两个等腰三角形全等,正确;
③两边分别相等的两个直角三角形不一定全等;
④如果在两个直角三角形中,例如:
两个30°角的直角三角形,一个三角形的直角边与另一个三角形的斜边相等,这两个直角三角形肯定不全等,错误;
故选:
A.
考点4直角三角形的性质
【例4】(2019秋•福清市期末)△ABC是等腰三角形,顶角为120°,腰长为20
cm,则底边上的高AD的长为 cm.
【分析】根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求出∠C,再根据含30°角的直角三角形的性质求出AD
AC,代入求出即可.
【解析】∵AD为高,
∴∠ADC=90°,
∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=30°,
∵AC=20
cm,
∴AD
AC=10
cm,
故答案为:
10
.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质,三角形的内角和定理和含30°角的直角三角形的性质等知识点,能灵活运用性质进行推理和计算是解此题的关键.
【变式4-1】(2019秋•川汇区期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,BC=6,点D在射线BC上,∠ADC=60°,则点D到斜边AB的距离等于 2或4 .
【分析】如图,当点D在线段BC上时,当D′在BC的延长线上,根据直角三角形的性质即可得到结论.
【解析】如图,当点D在线段BC上时,
∵在△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,
∴∠B=30°,
∵∠ADC=60°,
∴∠BAD=∠B=30°,
∴∠BAD=∠CAD=30°,
∴CD=BD
AD,
∵BC=6,
∴CD=2,
∴点D到斜边AB的距离等于=CD=2;
当D′在BC的延长线上,
∵∠ACD′=90°,∠AD′C=60°,
∴∠BAD′=90°,
∴CD′=CD=2,
∴BD′=8,
∴点D′到斜边AB的距离等于
BD′=4,
故答案为:
2或4.
【变式4-2】(2019秋•浦东新区期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=2,以△ABC的边AC为一边的等腰三角形,它的第三个顶点在△ABC的斜边AB上,则这个等腰三角形的腰长为 .
【分析】分两种情形:
AC为等腰三角形的腰或底边分别求解即可.
【解析】如图,
在Rt△ACB中,∵∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2,
∴AB=2BC=4,AC
BC=2
,
当MA=MC时,作MT⊥AC,
∵MT∥BC,AT=TC,
∴AM=MB=2,
∴等腰三角形AMC的腰长为2,
当AC=AM′=2
时,等腰三角形ACM的腰长为2
,
故答案为2
或2.
【点评】本题考查等腰三角形的性质,解直角三角形等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考常考题型.
【变式4-3】(2019秋•延庆区期末)如图,在△ABC中,∠A=90°,CD是∠ACB的平分线,DE垂直平分BC,若DE=2,则AB= .
【分析】根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论.
【解析】∵CD是∠ACB的平分线,
∴∠ACD=∠BCD,
∵DE垂直平分BC,
∴BD=CD,
∴∠DCB=∠B,
∴∠ACB=2∠B,
∵∠A=90°,
∴∠B=30°,
∵∠DEB=90°,
∴BD=CD=2DE=4,AD=DE=2,
∴AB=6,
故答案为:
6.
考点5直角三角形的斜边上的中线
【例5】(2019秋•宁阳县期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,CE是AB边上的中线,若AD=3,CE=5,则CD等于 .
【分析】根据直角三角形的性质得出AE=CE=5,进而得出DE=2,利用勾股定理解答即可.
【解析】∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CE为AB边上的中线,CE=5,
∴AE=CE=5,
∵AD=3,
∴DE=2,
∵CD为AB边上的高,
∴在Rt△CDE中,CD
,
故答案为:
【变式5-1】(2019春•西城区期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,若∠A=26°,则∠BDC的度数为 .
【分析】根据直角三角形的性质得到DC=AD,根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算,得到答案.
【解析】∵∠ACB=90°,D是AB的中点,
∴DC
AB=AD,
∴∠DAC=∠A=26°,
∴∠BDC=∠DAC+∠A=52°,
故答案为:
52°.
【变式5-2】(2019秋•埇桥区校级月考)如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,F为BC的中点,DE=5,BC=8,则△DEF的周长是 .
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DF、EF,再根据三角形的周长的定义解答.
【解析】∵CD⊥AB,F为BC的中点,
∴DF
BC
8=4,
∵BE⊥AC,F为BC的中点,
∴EF
BC
8=4,
∴△DEF的周长=DE+EF+DF=5+4+4=13.
故答案为:
13.
【变式5-3】(2019秋•江阴市校级月考)如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,E为对角线AC的中点,连接BE,BD.若∠EBD=32°,则∠BCD的度数为 度.
【分析】根据已知条件得到点A,B,C,D在以E为圆心,AC为直径的同一个圆上,根据圆周角定理得到∠DEB=2∠DAB,根据直角三角形的性质得到DE=BE
AC,求出∠DEB,求出∠DAB,即可求出答案.
【解析】连接DE,
∵∠ABC=∠ADC=90°,E为AC的中点,
∴DE
AC,BE
AC,
∴DE=EB=EC=EA,
∴点A,B,C,D在以E为圆心,AC为直径的同一个圆上,
∴∠BAD
∠DEB,
∵DE=BE,∠EBD=32°,
∴∠EDB=∠EBD=32°,
∴∠DEB=180°﹣32°﹣32°=116°,
∴∠DAB=58°,
∵A、B、C、D四点共圆,
∴∠BCD+∠DAB=180°,
∴∠DCB=180°﹣58°=122°,
故答案为:
122.
考点6线段的垂直平分线
【例6】(2019秋•河北区期中)如图,△ABC中,BC=10,AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E,AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G.则△AEG的周长= .
【分析】根据线段的垂直平分线的性质可得AE=BE、AG=CG,据此即可求解.
【解析】∵DE是AB的垂直平分线,
∴AE=BE,
同理AG=CG,
∴△AEG的周长为AE+AG+EG=BE+EG+CG=BC=10.
故答案为:
10.
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识.线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.
【变式6-1】(2019秋•鼓楼区期中)如图,△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AB=5,BC=7,则△ABD的周长是 .
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DC,根据三角形的周长公式计算即可.
【解析】∵DE是AC的垂直平分线,
∴DA=DC.
∵AB=5,BC=7,
∴△ABD的周长=AB+BD+DA=AB+BD+DC=AB+BC=12,
故答案为:
12.
【变式6-2】(2019秋•襄州区期中)如图,在△ABC中,AB,AC的垂直平分线交BC于点E,G,若∠B+∠C=70°,则∠EAG= 40° .
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE,AG=CG,根据等腰三角形的性质得出∠B=∠BAE,∠C=∠CAG,求出∠BAE+∠CAG=70°,∠BAC=180°﹣(∠B+∠C)=110°,即可求出答案.
【解析】∵在△ABC中,AB,AC的垂直平分线交BC于点E,G,
∴AE=BE,AG=CG,
∴∠B=∠BAE,∠C=∠CAG,
∵∠B+∠C=70°,
∴∠BAE+∠CAG=70°,∠BAC=180°﹣(∠B+∠C)=110°,
∴∠EAG=∠BAC﹣(∠BAE+∠CAG)=110°﹣70°=40°,
故答案为:
40°.
考点7角平分线的性质
【例7】(2019秋•北京期中)如图,在△ABC中,CD是它的角平分线,DE⊥AC于点E.若BC=8cm,DE=3cm,则△BCD的面积为 12 cm2.
【分析】作DF⊥BC于F,根据角平分线的性质求出DF,根据三角形的面积公式计算即可.
【解析】作DF⊥BC于F,
∵CD是它的角平分线,DE⊥AC,DF⊥BC,
∴DF=DE=3,
∴△BCD的面积
BC×DF=12(cm2),
故答案为:
12.
【点评】本题考查的是角平分线的性质,掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.
【变式7-1】(2019秋•沭阳县期中)如图,BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.DE=12,BC=14,则△BCD的面积为 .
【分析】作DF⊥BC于F,根据角平分线的性质得到DF=DE=12,根据三角形的面积公式计算,得到答案.
【解析】作DF⊥BC于F,
∵BD平分∠ABC,DE⊥AB,DF⊥BC,
∴DF=DE=12,
∴△BCD的面积
BC×DF
14×12=84,
故答案为:
84.
【点评】本题考查的是角平分线的性质,掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.
【变式7-2】(2019秋•苏州期中)若△ABC的周长为41cm,边BC=17cm,且AB<AC,角平分线AD将△ABC的面积分3:
5的两部分,则AB= cm.
【分析】作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,根据角平分线的性质得到DE=DF,根据三角形的面积公式计算,得到答案.
【解析】作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,
∵AD将△ABC分为面积比为3:
5的两部分,
∴AB:
AC=3:
5,
∵△ABC的周长为41cm,边BC=17cm,
∴AB+AC=24cm,
设AB=3xcm,则AC=5xcm,
则3x+5x=24,
解得,x=3,
则AB=3x=9cm,
故答案为:
9.
考点8等腰三角形的性质与判定
【例8】(2019秋•大丰区期中)如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,过点E作MN∥BC交AB于M,交AC于N,若△ABC、△AMN周长分别为13cm和8cm.
(1)求证:
△MBE为等腰三角形;
(2)线段BC的长.
【分析】
(1)由角平分线的定义,平行线的性质和等腰三角形的判定证明△MBE为等腰三角形;
(2)由等腰三角形的性质,线段的和差及等量代换,三角形的周长计算出线段BC的长为5cm.
【解析】如图所示:
(1)∵BE是∠ABC的角平分线,
∴∠1=∠2,
又∵MN∥BC,
∴∠5=∠2,
∴∠1=∠5,
∴△MBE为等腰三角形;
(2)∵△MBE为等腰三角形,
∴MB=ME,
同理可得:
NE=NC,
又∵l△AMN=AM+AN+MN,
MN=ME+NE,
∴l△AMN=AM+AN+ME+NE=AM+BM+AN+CN,
∴l△AMN=AB+AC=8.
又∵l△ABC=AB+AC+BC=13,
∴BC=13﹣8=5cm.
【点评】本题综合考查了等腰三角形的判定与性质,平行线的性质,角平分线的定义,三角形的周长公式等相关知识点,重点掌握等腰三角形的判定与性质,难点是线段的等量代换和线段的和差进行计算.
【变式8-1】(2019秋•惠民县期中)如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,BE与CD交与点O,给出下列四个条件:
①∠DBO=∠ECO,②∠BDO=∠CEO,③BD=CE,④OB=OC.
(1)从上述四个条件中,任选两个为条件,可以判定
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