高考数学总复习计数原理概率与统计专项训练附解析.docx
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高考数学总复习计数原理概率与统计专项训练附解析
2020高考数学总复习——计数原理、概率与统计专项训练(附解析)
计数原理、排列与组合
[基础保分练]
1.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a,b组成复数a+bi,其中虚数有( )
A.30个B.42个C.36个D.35个
2.已知两条异面直线a,b上分别有5个点和8个点,则这13个点可以确定不同的平面个数为( )
A.40B.16C.13D.10
3.有4件不同颜色的衬衣,3件不同花样的裙子,另有2套不同样式的连衣裙.“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出,则不同的选择方式的种数为( )
A.24B.14C.10D.9
4.从集合{1,2,3,4,…,10}中,选出5个数组成的子集,使得这5个数中任意两个数的和都不等于11,则这样的子集有( )
A.32个B.34个C.36个D.38个
5.小明有4枚完全相同的硬币,每个硬币都分正反两面.他想把4个硬币摆成一摞,且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对,不同的摆法有( )
A.4种B.5种C.6种D.9种
6.从-2,-1,0,1,2,3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y=ax2+bx+c的系数a,b,c,则可以组成顶点在第一象限且过原点的抛物线条数为( )
A.6B.20C.100D.120
7.某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有( )
A.16种B.36种C.42种D.60种
8.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有( )
A.24对B.30对C.48对D.60对
9.从8名女生和4名男生中,抽取3名学生参加某档电视节目,如果按性别比例分层抽样,则不同的抽取方法数为________种.
10.某次活动中,有30人排成6行5列,现要从中选出3人进行礼仪表演,要求这3人中的任意2人不同行也不同列,则不同的选法种数为________.(用数字作答)
[能力提升练]
1.(2016·全国Ⅲ)定义“规范01数列”{an}如下:
{an}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,ak中0的个数不少于1的个数.若m=4,则不同的“规范01数列”共有( )
A.18个B.16个C.14个D.12个
2.从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作,若甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作,则选派方案共有( )
A.280种B.240种C.180种D.96种
3.某中学高三学习雷锋志愿小组共有16人,其中一班、二班、三班、四班各4人,现从中任选3人,要求这三人不能全是同一个班的同学,且在三班至多选1人,则不同选法的种数为( )
A.484B.472C.252D.232
4.某校开设5门不同的选修课,每位同学可以从中任选1门或2门课学习,甲、乙、丙三位同学选择的课没有一门是相同的,则不同的选法共有( )
A.330种B.420种C.510种D.600种
5.某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法共有________种.(用数字作答)
6.将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同的分法种数为________.(用数字作答)
答案精析
基础保分练
1.C 2.C 3.B 4.A 5.B 6.A 7.D
8.C 9.112 10.1200
能力提升练
1.C [第一位为0,最后一位为1,中间3个0,3个1,3个1在一起时为000111,001110;只有2个1相邻时,共A个,其中110100,110010,110001,101100不符合题意;三个1都不在一起时有C个,共2+8+4=14(个).]
2.B [根据题意,由排列可得,从6名志愿者中选出4人分别从事四项不同工作,有A=360(种)不同的情况,其中包含甲从事翻译工作,有A=60(种),乙从事翻译工作,有A=60(种),若甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作,则选派方案共有360-60-60=240种.]
3.B [若三班有1人入选,则另两人从三班以外的12人中选取,共有CC=264(种)选法.若三班没有人入选,则要从三班以外的12人中选3人,又这3人不能全来自同一个班,故有C-3C=208(种)选法.故总共有264+208=472(种)不同的选法.]
4.A [依题意,就甲、乙、丙三位同学总共所选课程数进行分类计数:
第一类,甲、乙、丙三位同学总共所选课程数为3时,满足题意的方法数共有C·A=60(种);第二类,甲、乙、丙三位同学总共所选课程数为4时,满足题意的方法数有C·C·A=180(种);第三类,甲、乙、丙三位同学总共所选课程数为5时,满足题意的方法数有·A=90(种),因此满足题意的方法数共有60+180+90=330(种),故选A.]
5.10
解析 两种情况:
①选2本画册,2本集邮册送给4位朋友,有C=6种方法;②选1本画册,3本集邮册送给4位朋友,有C=4种方法,所以不同的赠送方法共有6+4=10(种).
6.8
解析 先把四名学生分成两组,甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同的分组方式有三类:
①甲单独一组,有1种分法;
②甲和丙或甲和丁两名学生一组,有2种分法;
③甲、丙、丁三名学生一组,有1种分法.
然后把这两组分到两个不同的班级里,
则不同的分法种数为(1+2+1)A=8.
二项式定理
[基础保分练]
1.(x+2)8的展开式中x6的系数是( )
A.28B.56C.112D.224
2.若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,则a7+a6+…+a1的值为( )
A.1B.129C.128D.127
3.在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中,含x4的项的系数是( )
A.-15B.85C.-120D.274
4.设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若a1+a2+…+an=63,则展开式中系数最大的项是( )
A.15x2B.20x3C.21x3D.35x3
5.在n的展开式中,各项系数和与二项式系数和之比为64,则x3的系数为( )
A.15B.45C.135D.405
6.(2017·全国Ⅰ)(1+x)6的展开式中x2的系数为( )
A.15B.20C.30D.35
7.从20的展开式中任取一项,则取到有理项的概率为( )
A.B.C.D.
8.若(1-2x)2019=a0+a1x+…+a2019x2019(x∈R),则++…+的值为( )
A.2B.0C.-1D.-2
9.在(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)6的展开式中,x2项的系数是________.(用数字作答)
10.(2016·天津改编)12的展开式中常数项是________.
[能力提升练]
1.8的展开式中常数项为( )
A.B.C.D.105
2.二项式n的展开式中只有第6项的二项式系数最大,则展开式中常数项是( )
A.180B.90C.45D.360
3.若(+)5展开式的第三项为10,则y关于x的函数图象的大致形状为( )
4.(2019·湖南师大附中月考)已知n的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等,记展开式中系数最大的项为第k项,则k等于( )
A.6B.7
C.6或7D.5或6
5.5的展开式中的x2y3的系数是________.
6.若(x-1)5=a5(x+1)5+a4(x+1)4+a3(x+1)3+a2(x+1)2+a1(x+1)+a0,则a1+a2+a3+a4+a5=________.
答案精析
基础保分练
1.C 2.B 3.A 4.B 5.C 6.C 7.B 8.C 9.35 10.495
能力提升练
1.B [Tr+1=C()8-r·r=rCx4-r.
令4-r=0,则r=4,
所以展开式中常数项为4C=.]
2.A [由二项式系数的性质,得n=10,
∴Tr+1=C()10-rr=2rC·
,
令5-r=0,则r=2,从而常数项为
T3=4C=180.]
3.D [(+)5的展开式的通项为Tr+1=C
,则T3=Cxy=10,即xy=1,由题意知x≥0,故D选项图象符合.]
4.B [∵n的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等,
所以n=4+7=11,
第r+1项系数为Tr+1=C11(-1)r,
r=6时Tr+1最大,
故展开式中系数最大的项为第7项.]
5.-20
解析 5的展开式的通项公式为Tr+1=C·(-2)r·5-r·x5-r·yr,令r=3,可得x2y3的系数是-20.
6.31
解析 令x=-1,可得a0=-32;
令x=0,可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=-1.
所以a1+a2+a3+a4+a5=-1-a0=-1+32=31.
抽样方法
[基础保分练]
1.某中学进行了该学年度期末统一考试,该校为了了解高一年级1000名学生的考试成绩,从中随机抽取了100名学生的成绩,就这个问题来说,下面说法正确的是( )
A.1000名学生是总体
B.每个学生是个体
C.1000名学生的成绩是一个个体
D.样本的容量是100
2.对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为p1,p2,p3,则( )
A.p1=p2 C.p1=p3 3.下列抽样试验中,适合用抽签法的是( ) A.从某厂生产的5000件产品中抽取600件进行质量检验 B.从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验 C.从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验 D.从某厂生产的5000件产品中抽取10件进行质量检验 4.为了解某地区的中小学生视力情况,拟从某地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到某地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( ) A.简单随机抽样B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样D.系统抽样 5.淘宝网站对购物情况做了一项调查,收回的有效问卷共500000份,其中购买了下列四种商品的人数统计为: 服饰鞋帽198000人;家居用品94000人;化妆品116000人;家用电器92000人.为了解消费者对商品的满意度,淘宝网站用分层抽样的方法从中选出部分问卷进行调查,已知在购买“化妆品”这一类中抽取了116份,则在购买“家居用品”这一类中应抽取的问卷份数为( ) A.92B.94C.116D.118 6.(2018·安徽马鞍山模拟)高三 (1)班有学生52人,现将所有学生随机编号,用系统抽样方法,抽取一个容量为4的样本,已知5号、31号、44号学生在样本中,则样本中还有一个学生的编号是( ) A.8B.13C.15D.18 7.某兴趣小组有男生20人,女生10人,从中抽取一个容量为5的样本,恰好抽到2名男生和3名女生,则( ) ①该抽样可能是系统抽样; ②该抽样可能是简单随机抽样; ③该抽样一定不是分层抽样; ④本次抽样中每个人被抽到的概率都是. 其中说法正确的为( ) A.①②③B.②③C.②③④D.③④ 8.某工厂生产A,B,C三种不同型号的产品,各型号产品数量之比依次为k∶5∶3,现按年级用分层抽样的方法抽出一个容量为120的样本,已知A种型号产品抽取了24件,则C种型号产品抽取的件数为( ) A.24B.30C.36D.40 9.网络上流行一种“QQ农场游戏”,这种游戏通过虚拟软件模拟种植与收获的过程.为了了解本班学生对此游戏的态度,高三(6)班计划在全班60人中展开调查,根据调查结果,班主任计划采用系统抽样的方法抽取若干名学生进行座谈,为此先对60名学生进行编号为: 01,02,03,…,60,已知抽取的学生中最小的两个编号为03,09,则抽取的学生中最大的编号为________. 10.某校共有学生2000名,各年级男、女学生人数如下表.已知在全校学生中随机抽取1名,抽到二年级女生的概率是0.19.现按年级用分层抽样的方法在全校抽取64名学生,则应在三年级抽取的学生人数为________. 一年级 二年级 三年级 女生 373 x y 男生 377 370 z [能力提升练] 1.从2019名学生中选取50名学生参加全国数学联赛,若采用下面的方法选取: 先用简单随机抽样从2019人中剔除19人,剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取,则每人入选的概率( ) A.不全相等B.均不相等 C.都相等,且为D.都相等,且为 2.从30个个体中抽取10个个体,并将这30个个体编号为00,01,…,29.现给出某随机数表的第11行到第15行(见下表),如果某人选取第12行的第6列和第7列中的数作为第1个数并且由此数向右读,则选取的前4个的号码分别为( ) 9264 4607 2021 3920 7766 3817 3256 1640 5858 7766 3170 0500 2593 0545 5370 7814 2889 6628 6757 8231 1589 0062 0047 3815 5131 8186 3709 4521 6665 5325 5383 2702 9055 7196 2172 3207 1114 1384 4359 4488 A.76,63,17,00B.16,00,02,30 C.17,00,02,25D.17,00,02,07 3.某中学将参加期中测试的1200名学生编号为1,2,3,…,1200,从中抽取一个容量为50的样本进行学习情况调查,按系统抽样的方法分为50组,如果第一组中抽出的学生编号为20,则第四组中抽取的学生编号为( ) A.68B.92C.93D.170 4.已知某学校有1680名学生,现在采用系统抽样的方法抽取84人,调查他们对学校食堂的满意程度,将1680名学生按1,2,3,…,1680进行编号,则在抽取的84人中,编号落在[61,160]内的人数为( ) A.7B.5C.3D.4 5.(2018·北京海淀区模拟)某企业三个分厂生产同一种电子产品,三个分厂产量分布如图所示,现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试,则第一分厂应抽取的件数为________;由所得样品的测试结果计算出第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1020小时、980小时、1030小时,估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时. 6.一个总体中的1000个个体编号为0,1,2,…,999,并依次将其分为10个小组,组号为0,1,2,…,9,要用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本,规定若在第0组随机抽取的号码为x,则第k组中抽取的号码的后两位数为x+33k的后两位数.当x=24时,所抽取样本的10个号码是_____________________________________________,若所抽取样本的10个号码中有一个的后两位数是87,则x的取值集合是_______________________. 答案精析 基础保分练 1.D 2.D 3.B 4.C 5.B 6.D [分段间隔为=13,故还有一个学生的编号为5+13=18,故选D.] 7.A [①总体容量为30,样本容量为5,第一步对30个个体进行编号;第二步确定分段间隔k==6;第三步在第一段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤6);第四步将编号为l+6k(0≤k≤4)依次抽取,即可获得整个样本.故该抽样可以是系统抽样.故①正确. ②因为总体个数不多,可以对每个个体进行编号,因此该抽样可能是简单随机抽样,故②正确; ③当总体由差异明显的几部分组成时,经常采用分层抽样的方法进行抽样,且分层抽样的比例相同,但兴趣小组有男生20人,女生10人,抽取2男3女,抽的比例不同,故③正确; ④该抽样中每个人被抽到的概率为=,故④不正确.] 8.C [∵各型号产品数量之比依次为k∶5∶3, ∴由=,解得k=2, ∴C种型号产品抽取的件数为120×=36, 故选C.] 9.57 解析 由最小的两个编号为03,09可知,抽取人数的比例为,即抽取10名同学,其编号构成首项为3,公差为6的等差数列,故最大编号为3+9×6=57. 10.16 解析 由题意可知二年级女生有380人,那么三年级的学生人数应该是2000-373-377-380-370=500,即总体中各个年级的人数比为3∶3∶2,故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为64×=16. 能力提升练 1.C [从N个个体中抽取M个个体,则每个个体被抽到的概率都等于.] 2.D [在随机数表中,将处于00~29的号码选出,满足要求的前4个号码为17,00,02,07.] 3.B [按照系统抽样的方法结合题意可得,第四组中抽取的学生编号为20+(1200÷50)×3=92.] 4.B [(160-60)×=5,故选B.] 5.50 1015 解析 第一分厂应抽取的件数为100×50%=50;该产品的平均使用寿命为1020×0.5+980×0.2+1030×0.3=1015. 6.24,157,290,323,456,589,622,755,888,921 {87,54,21,88,55,22,89,56,23,90} 解析 关键是“抽取的规则” ①24,157,290,323,456,589,622,755,888,921,②“x+33k”的后两位数等于87,应讨论k=0,1,…,9,解方程即可. x取值: 87,54,21,88,55,22,89,56,23,90. 用样本估计总体 [基础保分练] 1.某市2017年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如图,则这组数据的中位数是( ) A.19B.20C.21.5D.23 2.在某次测量中得到的A样本数据如下: 42,43,46,52,42,50,若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据,则A,B两样本的下列数字特征对应相同的是( ) A.平均数B.标准差 C.众数D.中位数 3.某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是: [50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],则图中a的值为( ) A.0.006B.0.005 C.0.0045D.0.0025 4.某班学生一次数学考试成绩频率分布直方图如图所示,数据分组依次为[70,90),[90,110),[110,130),[130,150],若成绩大于等于90分的人数为36,则成绩在[110,130)的人数为( ) A.12B.9C.15D.18 5.(2017·全国Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位: 万人)的数据,绘制了下面的折线图. 根据该折线图,下列结论错误的是( ) A.月接待游客量逐月增加 B.年接待游客量逐年增加 C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳 6.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示,若它们的中位数相同,平均数也相同,则图中的m,n的比值等于( ) A.1B.C.D. 7.在一组样本数据的频率分布直方图中,共有5个小长方形,若中间一个小长方形的面积等于其他4个小长方形的面积和的,且样本容量为280,则中间一组的频数为( ) A.56B.80C.112D.120 8.如图是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图,现已知年龄在[30,35),[35,40),[40,45]内的居民上网人数呈现递减的等差数列分布,则年龄在[35,40)内的居民上网的频率为( ) A.0.04B.0.06C.0.2D.0.3 9.若1,2,3,4,m这五个数的平均数为3,则这五个数的方差为________. 10.某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生的分数,并绘制成如图所示的频率分布直方图.样本数据分组为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].若用分层抽样的方法从中抽取的分数在[80,100]内的样本数据有16个,则抽取的分数在[90,100]内的样本数据有___个. [能力提升练] 1.在抽查产品尺寸的过程中,将其尺寸分成若干组,[a,b)是其中的一组,抽查出的个体在该组上的频率为m,该组的频率分布直方图中的高为h,则|a-b|等于( ) A.hmB.C.D.h+m 2.(2018·青岛质检)已知数据x1,x2,x3,…,x50,500(单位: 公斤),其中x1,x2,x3,…,x50是某班50个学生的体重,设这50个学生体重的平均数为x,中位数为y,设x1,x2,x3,…,x50,500这51个数据的平均数、中位数分别为x0,y0,则下列说法正确的是( ) A.平均数增大,中位数一定变大 B.平均数增大,中位数可能不变 C.平均数可能不变,中位数可能不变 D.平均数可能不变,中位数可能变小 3.为了解某校高三学生的视力情况,随机抽查了100名高三学生的视力情况,得到频率分布直方图如图.但不慎将部分数据丢失,只知前四组的频数成等比数列,后6组的频数成等差数列,设最大频率为a,视力在4.6到5.0之间的频数为b,则a,b的值分别为( ) A.0.27,78B.0.27,83C.2.7,78D.2.7,83 4.(2016·全国Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃,B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是( ) A.各月的平均最低气温都在0℃以上 B.七月的平均温差比一月的平均温差大 C.三月和十一月的平均最高气温基本相同 D.平均最高气温高于20℃的月份有5个 5.将某选手的9个得分去掉1个最高分和1个最低分,7个剩余分数的平均数为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊,无法辨认,在图中用x表示,则7个剩余数据的方差为________. 6.为了解本市的交通状况,某校高一年级的同学分成了甲、乙、丙三组,从13时到18时,分别对三个路口的机动车通行情况进行了实地调查,并绘制了频率分布直方图(如图).若定义“总体平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和”,则甲、乙、丙三组所调查数据的总体平均数的估计值1,2,3的大小关系为________. 答案精析 基础保分练 1.B 2.B 3.B 4.A 5.A 6.D 7.B 8.C 9.2 10.6 能力提升练 1.C 2.B [由题意可知,该班50个学生体重的平均数x<500,所以这51个数据的平均数=>=x,而中位数可能不变.] 3.A [由频率分布直方图知组距为0.1, 视力在4.3到4.4之间的频数为100×0.1×0.1=1, 视力在4.4到4.5之间的频数
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