八年级数学.docx

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八年级数学

勾股定理

（1）导学案

执笔：

陈少红授课人：

第1课时：

【学习目标】

知识技能方面：

1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

2．会用勾股定理进行简单的计算。

过程方法方面：

通过勾股定理的探索过程，培养推理能力，体会数形结合思想。

【学习重点难点】勾股定理的内容及证明

【自主探究】

一、导引自学（仔细阅读63——66页的内容，完成下列各题）

1、看书第63页填空并画图理解：

在直角三角形中，短的直角边叫，长的直角边叫，叫弦。

2、

（1）看书第64页并猜想毕达哥拉斯大数学家

在朋友家作客时在砖铺地面上的发现是什么？

（2）观察图1中你发现了什么？

说说自己的想法。

（图1）

（3）交流讨论：

图1中可以用什么方法得出：

等腰直角三角形两直角边的平方和与斜边的的平方之间的数量关系：

3、探究

C

（1）观察右图填空（

）图中

=

=

=，

则

、

、

之间的关系是。

C

（2）观察右图填空：

图中

=，

=，

=，

则

、

、

之间的关系是：

。

（3）由观察两图的计算你得到什么结论？

结论：

。

4、勾股定理的证法：

赵爽弦图法

（1）剪4个全等的直角三角形，照书第65页拼图如右图。

（2）观察交流:

4个直角三角形的面积、小正方形的面积、大正方形的面积之间有什么联系？

（3）讨论小直角三角形的三边之间有何数量关系？

怎样证明？

二、双基自测

1.求出下列三角形中未知的边的长度。

2.一旗杆离地面6m处折断，旗杆顶部在离旗杆底部8m处，旗杆折断之前有多高？

三、知新有疑

通过自学，我又知道了：

疑惑：

【范例精析】

例.已知：

在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B

、∠C的对边为a、b、c。

求证：

a2＋b2=c2。

【达标测评】

1．勾股定理的具体内容是：

。

2．如图，直角△ABC的主要性质是：

∠C=90°，（用几何语言表示）

⑴两锐角之间的关系：

；

⑵若D为斜边中点，则斜边中线；

⑶若∠B=30°，则∠B的对边和斜边：

；

⑷三边之间的关系：

。

3.在Rt△ABC，∠C=90°，AB=10.

⑴如果∠A=30°，则BC=，AC=。

⑵如果∠A=45°，则BC=，AC=。

【小结反思】

通过本节课的探究学习，我又有了新的收获和体验。

知识技能方面：

数学思想方法：

学习感受反思：

勾股定理

（2）导学案

执笔：

陈少红授课人：

第2课时：

【学习目标】

掌握勾股定理,并能熟练运用勾股定理解决实际问题。

【学习重点难点】运用勾股定理解决实际问题

【自主探究】

一、导引自学：

细阅读66——68页的内容，完成下列各题）

1、如图，一个3米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5米，那么梯子底端B也外移0.5米吗？

从图中看到BD=OD-OB,求BD.可以先求OB、OD。

在Rt△AOB中，OB2=________________

OB=______________________

在Rt△COD中，OD2=_____________________

OD=_________________________

BD=_________________________

则梯子的顶端沿墙下滑0.5米，梯子底端向外移_______米。

（计算结果保留两位小数）

2、探究2所用的知识勾股定理从数量上反映了直角三角形三边的数量关系。

在Rt△AOB中，已知_________________，求__________

在Rt△COD中，已知_________________，求__________

3、我们将实际问题转化为几何图形来解决，我们运用的数量关系是______________________。

4、自学教材P68探究3

二、双基自测

1、

如图：

池塘边有两点A、B，点C是与BA方向成直角的AC上一点，测得CB=60m，AC=20m。

你能求出A、B两点的距离吗？

2、你能在数轴上作出表示

的点吗？

三、知新有疑

通过自学，我又知道了：

疑惑：

【范例精析】

例：

有一水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺。

如果把这根芦苇拉向水池一边中点，它的顶端恰好到达池边的水面。

问：

水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？

【达标测评】

1、如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的（）

A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍

2、若等腰三角形中相等的两边长为10cm，第三边长为16cm，那么第三边上的高为（）

A、12cmB、10cmC、8cmD、6cm

3、有一个边长为50dm的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长？

4、如图：

等边三角形的边长是6：

（1）求高AD的长；

（2）求这个三角形的面积。

【小结反思】

通过本节课的探究学习，我又有了新的收获和体验。

知识技能方面：

数学思想方法：

学习感受反思：

勾股逆定理

（1）导学案

执笔：

陈少红授课人：

第课时

【学习目标】

1、了解勾股定理的逆定理的由来，掌握勾股定理的逆定理，并能初步运用勾股定理的逆定理判定直角三角形。

2、通过的具体例子，了解逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立其逆命题不一定成立。

【学习重点难点】勾股定理的逆定理及其运用。

【自主探究】

一、导引自学（认真阅读课本第73-75页例2以前的内容，完成以下问题）

1、猜想：

命题2

该猜想的题设和结论与勾股定理的题

设和结论正好.

如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这样的两个命题叫做命题，若把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的命题.譬如：

①原命题：

若a＝b,则a2＝b2；逆命题：

.（正确

吗？

答）

②原命题：

对顶角相等；逆命题：

.（正确吗？

答）

由此可见：

原命题正确，它的逆命可能也可能.正确的命题叫真命题，不正确的命题叫假命题。

2、命题2：

如果三角形的三边长

、

、

满足

，那么这个三角形是直角三角形.

已知：

在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，且

求证：

∠C=90°

思路：

构造法——构造一个直角三角形，使它与原三角形全等，利用对应角相等来证明．

通过证明，我发现勾股定理的逆命题是的，它也是一个，我们把它叫做勾股定理的.

3、勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a、b、c满足，那么这个三角形是。

4、叫做互为逆定理。

5、满足的3个正整数a，b，c称为勾股数。

二、双基自测

1、课本P75页练习第1、2题；

2、P76页习题18.2第1、2题；

三、知新有疑

通过自学，我又知道了：

疑惑：

【范例精析】

已知如图：

四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD

=12cm，且∠A=90°，求四边

形ABCD的面积。

【达标测评】

1、分别以下列四组数为一个三角形的边长：

（1）3，4，5；

（2）5，12，13；

（3）

8，15，17；（4）4，5，6.其中能构成直角三角形的有（）

A.4组

B.3组C.2组D.1组

2、三角形的三边长分别为

a2＋b2、2ab、a2－b2（a、b都是正整数），则这个三角形是（）

A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定

3、已知两条线段的长为5cm

和12cm，当第三条线段的长为cm时，这三条线段能组成一个直角三角形。

4、一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中∠A

和∠DBC都应为直角．工人师傅量得这个零件各边尺寸如右

图所示，这个零件符合要求吗？

【小结反思】

通过本节课的探究学习，我又有了新的收获和体验。

知识技能方面：

数学思想方法：

学习感受反思：

勾股逆定理

（2）导学案

执笔：

陈少红授课人：

第课时

【学习目标】

1、进一步理解勾股定理及其逆定理。

2、熟练掌握勾股定理的逆定理,并能运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形。

【学习重点难点】灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

【自主探究】

一、导引自学（认真阅读课本第75页例2，完成以下问题）

1、某港口位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？

分析：

“远航”号航行方向已知，只要求出“海天”号与它的航向的夹角就可以知道“海天”号的航行方向.

解：

根据题意画出示意图：

PQ=

PR=

QR=

∵在△RPQ中，

，

∴

∴∠QPR=（勾股定理的逆定理）

∵∠1=45°

∴∠2=45°

即“海天”号沿方向航行。

注意：

若此题没有“某港口位于东西方向的海岸线上”这个条件，则应有两解.即“西北方向

”和“东南方向”.注意对方向的分类讨论.

2、已知在△ABC中，D是BC边上的一点，若AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求S△ABC.

解：

二、双基自测

1、课本P76页练习第3题；

2、P76页习题18.2第3题；

三、知新有疑

通过自学，我又知道了：

疑惑：

【范例精析】

例、已知：

如图，在正方形ABCD中，F为AD上一点，且DF=

AD，E是CD的中点.

求证：

BE⊥EF

证明：

【达标测评】

1、一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为，此三角形的形状为

2、若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（）

A．等腰三角形；B．直角三角形；

C．等腰三角形或直角三角形；D．等腰直角三角形。

3、将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出三组基本勾股数,,.

4、如图，在操场上

竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长为4米，中午测得它的影长为1米，则A、B、C三点能否构成直角三角形？

为什么？

【小结反思】

通过本节课的探究学习，我又有了新的收获和体验。

知识技能方面：

数学思想方法：

学习感受反思：

勾股定理复习课导学案

执笔：

陈少红授课人：

第课时

【学习目标】

掌握勾股定理及逆定理，并能熟练运用勾股定理及逆定理解决问题。

【学习重点难点】勾股定理及逆定理的应用

【自主探究】

一、导引自学

1、直角三角形的三边长有什么关系？

请叙述。

2、已知一个三角形的三边，就能判断它是不是直角三角形。

你能讲一讲怎么判断吗？

3、如果一个命题成立？

它的逆命题成立吗？

请举例说明。

二、双基自测

3、两人从同一地点同时出发，一人以20米/秒的速度向北直行，一人以30米/秒的速度向东直行，10分钟后他们相距多远？

4、一个三角形的三边的比为

，这个三角形是直角三角形吗？

5、下列各命题都成立，写出它们的逆命题，判断这些逆命题是否成立？

（1）两直线平行，同位角相等。

（2）如果两个实数是正数，它们的积是正数。

（3）等边三角形是锐角三角形。

（4）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

4、如图：

△ABC中，AD是角平分线，AD=BD，AB=2AC．

求证：

△ACB是直角三角形．

三、知新有疑

通过自学，我又知道了：

疑惑：

【范例精析】

例：

已知圆柱的底面积为6cm，高为10cm。

蚂蚁从A点爬到B点的最短路程是多少？

【达标测评】

1、如图：

字母B所代表的正方形的面积是：

。

2、一个圆柱形的桶底直径是24cm，高为32cm。

则桶能容下的最长木棒的长是。

3、已知：

则以a、b、c为边长的三角形是。

4、命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题是，它是。

（填真或假命题）

5、直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______。

6、甲、乙两只轮船同时从港口出发，甲以16海里/时的速度向北偏东75°的方向航行，乙以12海里/时的速度向南偏东15°的方向航行，若他们出发1.5小时后，两船相距_______海里。

【小结反思】

通过本节课的探究学习，我又有了新的收获和体验。

知识技能方面：

数学思想方法：

学习感受反思：

18.1.1.1平行四边形的性质导学案

执笔：

朱光宏授课人：

第1/18课时

【学习目标】理解平行四边形的概念，掌握平行四边形边角方面的性质

【学习重点】掌握平行四边形的概念及边角方面的性质.

【学习难点】利用平行四边形边角方面的性质解决相关问题。

【自主探究】（课前完成）

一、导引自学

1、回顾平行线与全等三角形的性质、判定的有关内容及平行线的画图方法，与同学交流

2、你知道平行四边形的哪些知识？

除了课本中的例子外，你能否再举一些平行四边形的例子，与同学交流

3、根据课本中平行四边形的定义，自己画出一个平行四边形，并用符号表示出来，利用该图形说说平行四边形关于边角方面的性质

4、课本中是怎样将平行四边形的问题转化成三角形问题的？

5、理解平行四边形中“对角”、“对边”的含义，体会它与三角形中常说的边所对的角、角所对的边的不同，与同学交流

6、已知平行四边形一个内角的度数，你能确定其他内角的度数吗？

把你的方法与同学交流

二、自我检测

1、有两组对边分别的四边形叫做平行四边；平行四边形用“”表示，平行四边形ABCD记作________.平行四边形的对边，对角，邻角

2、如图，□ABCD中EF∥AD,HN∥AB，图中平行四边形

共有个，分别是

3、在□ABCD中，∠A=40°，则∠B=°，∠C=°，∠D=°

4、在□ABCD中，AB=4cm，BC=3cm，则CD=cm，AD=cm

5、完成课本练习

【知新有疑】通过自学我知道的知识有：

疑惑还有：

【范例精析】

例题变式：

1、如图若已知□ABCD的周长为30cm，BC－AB=3,

求平行四边形的各边长

2、已知点A（3,0）、B（-1,0）、C（0,2），以A、B、C为顶点画平行四边形，你能求出第四个顶点

【达标测评】

1、在□ABCD中，∠B=60°，那么下列各式中，不能成立的是（）

A.∠D=60°B.∠A=60°C.∠C+∠D=180°D.∠C+∠A=180°

2、如图，□ABCD中，BC=7，CD=5，∠D=50°，BE平分∠ABC，则下列结论不正确的是（）

A.∠C=130°B.AE=2C.ED=2D.∠BED=130°

3、已知：

如图，E、F分别是□ABCD的边AD、BC

的中点。

求证：

AF=CE

4、如图点P是□ABCD边CD上一点，且AP和BP分别是∠DAB和∠CBA的平分线

（1）求∠APB的度数；

（2）求证：

AB=2AD

5、完成课本相关习题

【小结反思】

通过本节课的探究学习，我又有了新的收获和体验.

18.1.1.2平行四边形的性质导学案

执笔：

朱光宏授课人：

第2/18课时

【学习目标】探究平行四边形的对角线的性质，理解并掌握平行四边形对角线的性质

【学习重点难点】理解并应用平行四边形对角线方面的性质解决问题。

【自主探究】（课前完成）

一、导引自学

1、回顾平行四边形边角方面有哪些性质？

2、从课本探究中得出平行四边形对角线方面有什么性质？

除了课本中探究的方法外，你能证明这个结论吗？

试试看

已知：

如图，□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O

求证：

OA=OC，OB=OD

3、从探究旁“小贴士”中了解到“中心对称图形”有什么特征？

你还能举出几个生活中关于中心对称图形的例子吗？

与图形交流

二、自我检测

1、归纳平行四边形的性质：

（1）具有一般四边形的性质（内角和是）．

（2）角：

平行四边形的对角，邻角；

边：

平行四边形的对边；（位置和大小两方面）

对角线：

平行四边形的对角线。

（3）平行四边形是对称图形

将以上性质用几何语言表示出来

∵四边形ABCD是平行四边形（已知）

∴AB∥，AD∥（平行四边形的）

AB=，AD=（平行四边形的）

∠ABC=∠,∠BAD=∠（平行四边形的）

OA=,OB=（平行四边形的）

2、如右图所示，□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AB≠AD，则下列式子不正确的是（）A.AC⊥BDB.AB=CDC.BO=ODD.∠BAD=∠BCD

3、如右图，在□ABCD中AB=3，BC=5，对角线AC、BD相交于点O，则OA的取值范围是（）A.3＜OA＜5B.2＜OA＜8C.1＜OA＜4D.3＜OA＜8

4、如右图，在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，已知AB=8cm，BC=6cm，△AOB的周长为18cm，求△AOD的周长

5、完成课本相应练习

【知新有疑】通过自学我知道的知识有：

疑惑还有：

【范例精析】

例、已知：

如图1，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F．求证：

OE＝OF，AE=CF，BE=DF．

变式1、已知：

如图2，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AD、BC分别相交于点E、F．求证：

OE＝OF，AE=CF，BE=DF．

变式2、已知：

如图3，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与BA、DC的延长线分别相交于点E、F．

求证：

OE＝OF，AE=CF，BE=DF．

【达标测评】

1、判断对错

（1）在□ABCD中，AC和BD相交于点O，则AO=OB=OC=OD．（）

（2）平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等．（）

（3）平行四边形的两组对边分别平行且相等．（）

2、在□ABCD中，AC＝6、BD＝4，则AB的范围是________．

3、在平行四边形中，周长等于48，已知对角线AC、BD交于点O，△AOD与△AOB的周长的差是10，求各边的长

4、完成课本相应习题

【小结反思】通过本节课的探究学习，我又有了新的收获和体验。

知识技能方面：

数学思想方法：

学习感受反思：

18.1.1.3平行四边形的性质导学案

执笔：

朱光宏授课人：

第3/18课时

【学习目标】探究平行四边形与面积相关的问题，并能解决平行四边形面积方面相关的问题

【学习重点难点】解决平行四边形面积方面相关的问题

【自主探究】（课前完成）

一、导引自学

1、回顾平行四边形边、角、对角线、对称性方面的性质

2、回顾勾股定理及其逆定理所解决的问题

3、阅读下列内容，弄清平行四边形高的概念和平行四边形面积计算方法

平行四边形的高：

在平行四边形中，从一条边上的任意一点，向对边画垂线，这点与垂足间的距离（或从这点到对边垂线段的长，或者说这条边和对边的距离），叫做以这条边为底的平行四边形的高．这里所说的“底”是相对高而言的．

平行四边形的面积：

等于它的底和高的积，即

＝a·h．（其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边与其对边的距离，即对应的高）

4、思考：

平行四边形被两条对角线分成的四个三角形有何关系？

二、自我检测

1、□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为3，则△ABC的面积是，□ABCD的面积为

2、如图，□ABCD中，已知∠ODA=90°，AC=10cm，BD=6cm，则AD的长为（）

A.4cmB.5cmC.6cmD.8cm

3、如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AD，OF⊥BC，垂足分别是点E、F，若OE=4cm，则OF=

4、已知：

在□ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，∠B=30°求该平行四边形的面积

【知新有疑】通过自学我知道的知识有：

疑惑还有：

【范例精析】

例题变式：

1、已知□ABCD的周长为36cm，过点A作AE⊥BC，AF⊥CD，

若AE=2cm，AF=4cm，求平行四边形的面积

2、如图点P是□ABCD边CD上一点，且AP和BP分别是∠DAB和∠CBA的平分线

（1）求∠APB的度数；

（2）如果AD=5cm，AP=8cm，求△APB的周长（3）求□ABCD的面积

【达标测评】

1、如图，在□ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若AE=3cm，AF=4cm，AD=8cm

（1）求CD的长及□ABCD的周长

（2）若∠EAF=60°，求□ABCD个内角的度数

2、用三种不同的方法把平行四边形的面积四等分，在下列三个图形中完成

3、完成课本相应习题

【小结反思】通过本节课的探究学习，我又有了新的收获和体验。

知识技能方面：

数学思想方法：

学习感受反思：

18.1.2.1平行四边形的判定

执笔：

朱光宏授课人：

第4/18课时

【学习目标】会用平行四边形的判定方法判定一个四边形是平行四边形，了解平行四边形的判定定理与性质的关系，提高证明推理的能力

【学习重点】理解平行四边形的判定定理，并运用判定定理证明平行四边形

【学习难点】运用判定定理证明平行四边形

【自主探究】（课前完成）

一、导引自学

1、回顾平行四边形的性质，将下列性质补充完整：

（1）平行四边形的两组对边分别；

（2）平行四边形的两组对边分别；

（3）平行四边形的两组对角分别；

（4）平行四边形的对角线。

2、分别写出以上四条性质的逆命题：

（1）；

（2）；

（3）；（4）。

猜想一下，这四条逆命题正确的有（写出序号）

3、阅读课本中“探究”，从探究中验证了以上哪些命题是正确的？

4、阅读课本例题的证明方法，你还能用其他方法证明吗？

请选择一种方法，写出证明过程，与同学交流

二、自我检测

1、归纳平行四边形的判定方法，如图，用平行四边形的判定定理填空：

（1）∵∥，∥（已知）

∴四边形ABCD是平行四边形（）

（2）∵=，=（已知）

∴四边形ABCD是平行四边形（）

O

（3）∵如图，对角线AC，BD相交于点O，且=，=（已知）

∴四边形ABCD是平行四边形（）

2、一个四边形的三个相邻内角的度数依次如下，那么其中是平行四边形的是（）A.88°,108°,88°B.88°,104°,108°

C.88°,92°,92°D.108°,72°,108°

3、下列能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）

A.AB∥CD，AD=BCB.∠A=∠BC.AB=CD