高考数学真题函数压轴题含答案.docx
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高考数学真题函数压轴题含答案
2018年数学全国
1卷
已知函数f(x)
1
xalnx.
x
(1)讨论f(x)的单调性;
f
x1
f
x2
a
2.
(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:
x1
x2
解:
(1)f(x)的定义域为(0,
),f
(x)
1
a
x2
ax
1
x2
1
x2
.
x
(i)若a2,则f
(x)
0
,当且仅当a2,x
1时f(x)
0,所以f(x)在(0,
)
单调递减.
(ii)若a
2,令f(x)
0得,x
a
a2
4
或x
a
a2
4
.
2
2
当x
a
a2
4
a
a2
4
)时,f
(x)
0;
(0,
2
)U(
2
当
a
a2
4
a
a2
4
时,f(x
)
.
所以f(x)
在
x(
2
2
)
(0,a
a2
4),(a
a2
4,
)单调递减,在
(a
a2
4,a
a2
4)单调递
2
2
2
2
增.
(2)由
(1)知,f(x)存在两个极值点当且仅当
a
2.
由于f(x)的两个极值点
x1,x2满足x2
ax
1
0,所以x1x2
1,不妨设x1
x2,则
x2
1
.由于
f(x1)
f(x2)
1
lnx1
lnx2
lnx1
lnx2
2ln
x2
,
x1
x2
x1x2
1a
x1
x2
2a
x1
x2
2a
1
x2
x2
所以f(x1)
f(x2)
a
2等价于1
x2
2ln
x2
0.
x1
x2
x2
设函数g(x)
1
)单调递减,又g
(1)
0
,从
x2lnx,由
(1)知,g(x)在(0,
x
而当x
(1,
)时,g(x)
0
.
所以1
x2
2lnx2
0,即f(x1)
f(x2)
a
2.
x2
x1
x2
2017年数学全国
1卷
已知函数(fx)ae2x+(a﹣2)ex﹣x.
(
1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个零点,求
a的取值范围.
(1)f(x)的定义域为(
),f(x)
2ae2x
(a
2)ex
1
(aex
1)(2ex
1),
(ⅰ)若a
0,则f
(x)
0,所以f(x)在(
)单调递减.
(ⅱ)若a
0,则由f(x)
0得x
lna.
当x
(,lna)时,f(x)
0;当x(lna,
)时,f(x)
0,所以f(x)在
(
lna)单调递减,在(
lna,
)单调递增.
(2)(ⅰ)若a
0,由
(1)知,f(x)至多有一个零点.
(ⅱ)若a0,由
(1)知,当x
lna时,f(x)取得最小值,最小值为
f(
lna)
1
lna
1
a
.
①当a
1时,由于f(lna)
0,故f(x)只有一个零点;
②当a
(1,
1
1
lna
0
lna)
0,故f(x)没有零点;
a
)时,由于
,即f(
1
1
0
③当a
lna
,即f(
0.
(0,1)时,
a
lna)
又f(
2)
ae4
(a
2)e2
2
2e2
2
0,故f(x)在(
lna)有一个零点.
n
ln(3
1)
n0
n0
n0
n0
设正整数
n0
满足
0
a
,则
f(n0)e(ae
a2)n0e
n02
n00
.
ln(3
1)
lna
)有一个零点.
由于
a
,因此f(x)在(
lna,
综上,a的取值范围为(0,1)
2016年数学全国1卷
已知函数f(x)(x2)exa(x1)2有两个零点.
(I)求a的取值范围;
(II)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:
x1x22.
【答案】(I)(0,
);(II)见解析
【解析】
试题分析:
(I)求导,根据导函数的符号来确定(主要要根据导函数零点来分类)
;(II)
借助(I)的结论来证明,由单调性可知
x1
x22等价于f(x1)f(2
x2),即
f(2x2)
0.设g(x)
xe2x(x
2)ex,则g'(x)(x
1)(e2x
ex).则当x
1
时,g'(x)
0,而g
(1)
0,故当x
1
时,g(x)0.从而
g(x2)
f(2x2)
0
,
故x1x22.
'(
)
(
1)e
x
2
(1)
x
2).
试题解析:
(Ⅰ)
(1)(e
x
x
ax
x
a
f
(i)设a
0,则f(x)
(x
2)ex
,f(x)只有一个零点.
时f(x)
0,所以f(x)不存在两个零点.
若a
e
1,故当x(1,ln(
2a))时,f'(x)
0;当x(ln(2a),)
,则ln(2a)
2
时,
f'(x)
0.因此f(x)在(1,ln(
2a))单调递减,在(ln(2a),
)单调递增.又
当x
1时,f(x)
0,所以f(x)不存在两个零点.
综上,a的取值范围为(0,
).
(Ⅱ)不妨设x1
x2,由(Ⅰ)知x1
(
1),x2
(1,
),2
x2
(
1),f(x)
在(
1)单调递减,所以x1
x2
2等价于f(x1)
f(2x2),即f(2
x2)
0.
由于f(2
x2)
x2e2x2
a(x2
1)2,而f(x2)
(x2
2)ex2
a(x2
1)2
0
,所以
f(2x2)
x2e2x2
(x2
2)ex2.
设g(x)
xe2x
(x
2)ex,则g'(x)
(x1)(e2
xex).
所以当x
1时,g'(x)
0,而
g
(1)
0
,故当x
1时,g(x)
0.
从而g(x2)
f(2x2)0,故x1
x2
2.
2013年数学全国
1卷
设函数
=
,
=
,若曲线
和曲线
都过点
P(0,2),且在点P处有相同的切线
(Ⅰ)求
,,,
的值;
(Ⅱ)当
≥-2时,
≤
,求
的取值范围。
21.【解析】(Ⅰ)由已知得
,
而
=
,
=
,∴
=4,=2,
=2,
=2;⋯⋯4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
,
,
设函数
=
=
(
),
=
=
,
有题设可得
≥0,即
,
令=0得,=,=-2,
1)若
,则-2<
≤0,∴当
时,
<0,当
时,
>0,即
在
单调递减,在
单调递增,故
在
=
取最小值
,
而
=
=
≥0,
∴当
≥-2时,
≥0,即
≤
恒成立,
(2)若
,则
=
,
∴当
≥-2时,
≥0,∴
在(-2,+∞)单调递增,而
=0,
∴当
≥-2时,
≥0,即
≤
恒成立,
(3)若
,则
=
=
<0,
∴当
≥-2时,
≤
不可能恒成立,
综上所述,
的取值范围为[1,
].
2012年数学全国
1卷
已知函数f(x)满足f(x)
f
(1)ex
1
f(0)x
1
x2
.
2
(1)
求f(x)的解析式及单调区间;
(2)
若f(x)
1x2
ax
b,求(a
1)b的最大值.
2
【解析】
(1)f(x)
f
(1)ex
1
f(0)x
1x2
f
(x)
f
(1)ex1
f(0)x
2
令x1
得:
f(0)
1
f(x)
f
(1)ex
1
x
1
x2
f(0)
f
(1)e1
1
f
(1)
e
2
得:
f(x)ex
x
1x2
g(x)
f(x)ex
1x
2
g(x)
ex
1
0
y
g(x)在x
R上单调递增
f
(x)
0
f(0)
x
0,f(x)
0
f(0)
x
0
得:
f(x)的解析式为
f(x)
ex
x
1x2
2
且单调递增区间为
(0,
),单调递减区间为
(
0)
(2)f(x)
1x2
axb
h(x)ex
(a1)xb0得h(x)ex
(a1)
2
①当a
1
0时,h(x)
0
y
h(x)在x
R上单调递增
x
时,h(x)
与h(x)
0矛盾
②当a
1
0时,h(x)
0
x
ln(a
1),h(x)
0
x
ln(a
1)
得:
当xln(a1)时,h(x)min
(a
1)
(a
1)ln(a1)
b
0
(a
1)b
(a
1)2
(a
1)2ln(a
1)(a
1
0)
令F(x)
x2
x2lnx(x
0);则F(x)
x(1
2ln
x)
F(x)0
0x
e,F(x)0
x
e
当x
e时,F(x)max
e
2
当a
e1,b
e时,(a1)b的最大值为e
2
2011年数学全国
1卷
(I)设函数f(x)
ln(1
x)
2x
,证明:
当
x0
时,f(x)
0
;
x2
(II)从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张,然后放回,用这种方式连
续抽取20次,设抽得的20个号码互不相同的概率为
p.证明:
p(9)19
1
10
e2
【命题意图】本题为导数、概率与不等式的综合,主要考查导数的应用和利用导数证明不等式.考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想,考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力.
【解析】(I)
f'(x)
x2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分
(x
1)(x2)2
2
当x0时,
'
所以f(x)为增函数
又f(0)
0
因此当x0
时
f(x)
0,
f(x)0.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
100
99
98
L
81
(II)p
10020
.
又99
81
902,98
82
902,L9189902,
所以p
(9)19.
10
由(I)知:
当x
0时,ln(1
x)
2x
x
2
因此
2
)
ln(x1
).
2
(1
x
1
ln10
即(10)19
在上式中,令x
则19
2
e2.
9
9
9
所以p(9)19
1
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
10
e2
2009年数学全国1卷
设函数f
x
x3
3bx2
3cx在两个极值点
x1、x2,且x1[1,0],x2[1,2].
(I)求b、c满足的约束条件,并在下面的坐标平面内,画出满足这些条件的点
b,c的
区域;
(II)证明:
10
f
x2
1
2
分析(I)这一问主要考查了二次函数根
的分布及线性规划作可行域的能力。
大部分考生有思路并能够得分。
f
x
3x2
6bx
3c由题意知方程
f
x
0有两个根x1、x2
且x
[1,0],x
[1,2].则有
f1
,
1
2
0
f0
0,f1
0,f2
0故有
右图中阴影部分
即是满足这些条件的
点b,c的区域。
(HH)这一问考生不易得分,有一定的区分度。
主要原因是含字母较多,不易找到突破口。
此题主要利用消元的手段,消去目标fx2x233bx223cx2中的b,(如果消c会较繁
琐)再利用x2的范围,并借助(I)中的约束条件得c[2,0]进而求解,有较强的技巧性。
解:
由题意有fx23x226bx23c0............①
又fx2
x23
3bx2
2
3cx2.....................②
消去b可得fx2
1x23
3cx2.
2
2
1
又x2
[1,2],且c
[
2,0]
10fx(2
)
2
已知函数f(x)ex
ax2.
(1)若a1,证明:
当x
0时,f(x)
1;
(2)若f(x)在(0,
)只有一个零点,求
a.
【解析】
(1)当a
1时,f(x)1等价于(x2
1)ex
1
0.
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