椭圆常见题型与典型方法归纳.docx

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椭圆常见题型与典型方法归纳

椭圆常见题型与典型方法归纳

考点一椭圆的定义

椭圆的第一定义：

我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数

2a（2aF1.F2）的点的轨迹叫做椭圆.这两定点F1,F2叫做椭圆

的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距.

椭圆的第二定义：

我们把平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的

比是常数e=c（0

a

椭圆的焦点，这条定直线叫做椭圆的准线，这个常数

e是椭

圆的离心率.

注意：

当平面内与两个定点

F1,F2

距离的和等于常数2a（2a

F1.F2

）的点的轨迹是

线段F1F2;

当平面内与两个定点

F1,F2

距离的和等于常数2a（2a

F1.F2

）的点的轨迹不

存在.

例动点P到两个定点F1（-4，0）、F2（4，0）的距离之和为8，则P点的轨

迹为（）

A、椭圆B、线段F1,F2C、直线F1,F2D、不能确定

考点二椭圆的标准方程

一标准方程

1焦点在x轴上

标准方程是：

x2

y2

1（其中b2

a2

c2,ab0）.焦点的坐

a2

b2

标分别为（c,0）,（c,0）

2焦点在y轴上

标准方程是：

y2

x2

1（其中b2

a2

c2,ab0）.焦点的坐

a2

b2

标分别为（0,c）,（0,c）

3焦点位置判断

哪项分母大焦点就在相应的轴上

如

求x2

y2

1的焦点

7

9

坐标

4椭圆过两定点，焦点位置不确定时可设椭圆方程为mx2

ny2

1（其中

m0,n

）

0

例已知椭圆过两点

15

3

A（,1）,B（

2），求椭圆标准方程

4

2

5与x

2

y

2

1（a＞b＞0）共焦点的椭圆为

x

2

y

2

1

k

b2

k

a2

b2

a2

二重难点问题探析:

1.要有用定义的意识

例已知F1,F2为椭圆x2

y2

1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点若

25

9

F2A

F2B12

则AB=________。

2.标准方程要注意焦点的定位

例椭圆x2

y2

1的离心率为

4

m

1，m

。

2

练习.1

如果方程x2

ky2

k表示焦点在y轴上的椭圆，则实数

k的取值范围为

2点P在椭圆x2

+y2

=1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，求点

25

9

P的横坐标

考点三椭圆的简单几何性质

标准方程

图形

范围

对称性关于原点对称x轴和y轴是椭圆的对称轴

顶点

离心率

焦点

焦距

F1F22c（其中c2

a2

b2）

长轴长

短轴长

准线方程

通径

二典型练习

1.椭圆x2

y2

1的长轴位于

轴，长轴长等于

；短轴位于

轴，短轴长等

4

3

于

；焦点在

轴上,焦点坐标分别是

和

；离心率e

；左顶点坐标

是;下顶点坐标是；椭圆上点的横坐标的范围

是，纵坐标的范围是；x0y0的取值范围是。

2.

（1）若椭圆短轴一端点到椭圆一焦点的距离是该点到同侧长轴一端点距离的

3倍,则椭圆的离心率

（2）若椭圆的长轴长不大于短轴长的2倍,则椭圆的离心率e

（3）若椭圆短轴长的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形,则椭圆的离心

率e。

考点四点、线与椭圆的位置关系

一点p（x0

y0）和椭圆x2

y2

1

（a

b

0）的位置关系

a2

b2

（1）点p（x0,y0）在椭圆外

x0

2

y0

2

1

（2）点p（x0,y0）在椭圆上

a

2

b

2

x02

y02

a2

b2

1

（3）点p（x0,y0）在椭圆内

x

2

y

0

2

0

1

a2

b2

二.直线与椭圆的位置关系：

1判断直线与椭圆相交0;直线与椭圆相切0;直线与椭圆相离

0

2．弦长问题

（1）步骤：

由椭圆方程与直线l方程联立方程组；消元得一元二次方程；用韦

达定理写成两根和积

（2）弦长公式直线y＝kx＋b（k≠0）与椭圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两

点，则

①当直线的斜率存在时，弦长公式：

l1k2x1

x2=（1k2）（x1

x2）2

4x1x2

②当k存在且不为零时l1

1

y1y2

1

y2）

2

4y1y2。

k

2

1

2（y1

k

三常用方法

1设而不求法

例经过椭圆x2

y2

1的右焦点作一条斜率为-1

的直线，与椭圆

4

3

相交于A,B；

（I）求线段AB的中点的坐标；（II）求线段AB的长

2点差法

例求椭圆x2

2y2

1中斜率为

2的平行弦的中点的轨迹方程.

【小结】设

x2

y2

1上不同的两点，且x1≠x2，x1＋

A（x1,y2），B（x2,y2）是椭圆a2

b2

y1

y2

y1

y2

b2

x2≠0，M（x0,y0）为AB的中点，则两式相减可得x1

x2

x1

x2

a2

即

．

3．中点弦问题：

例若椭圆

斜率为

x2y21的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的

369

练习：

设F1、F2分别是椭圆x2

+

y2

=1的左、右焦点.

5

4

（1）若P是该椭圆上的一个动点，求

PF1PF2的最大值和最小值；

（2）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得

|F2C|=|F2D|？

若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.

考点五焦点三角形的性质及应用

一定义：

椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形

设P（x0,y0）为椭圆上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝）

1方法

（1）

定义：

r1＋r2＝2a

（2）

余弦定理：

（2c）2

r12＋r2

2－2r1r2cos

（3）

面积SpFF

1

1

r1r2sin

2cy0

1

2

2

2

2性质已知椭圆方程为x

2

y2

1（a

b0）,左右两焦点分别为

F1,F2,在焦点△

a

2

b2

PF1F2中，则

⑴

SF1PF2

b2tan

⑵若

F1PF2最大，则点P为椭圆短轴的端点⑶

2

cos

1

2e2.

例

已知椭圆x2

y2

1（a

b0）的两焦点分别为F1,F2,若椭圆上存在一点P,

a2

b2

使得

F1PF2

1200,

求椭圆的离心率e的取值范围。

练习已知椭圆的焦点是F1（－1，0）、F2（1，0），P为椭圆上一点，且｜F1F2｜

是｜

PF1｜和｜

PF2｜的等差中项

⑴求椭圆的方程；

（2）若点

P在第三象

限，且∠

PF1F2＝120°求

tan

F2PF

．

考点六椭圆标准方程的求法

一常用方法：

1定义法，

2待定系数法步骤①定位：

确定椭圆的焦点在哪个坐标轴上；②设方程：

根据焦点位置设出相应方程；

③定值：

根据题目条件确定相关的系数。

3当椭圆过两定点时，其标准方程可设为mx2ny21（m＞0，n＞0），

二应用示例

1．定义法

例1已知△ABC的顶点B，C的坐标分别为（3，0），（3，0），AB边上的中线CE与AC边

上的中线BF

交于点

G，且

GF

GE

5，求点

G的轨迹方程．

例2求到两定点

F1（3,0）,F2（3,0）

的距离和等于

10的点的轨迹方程．

练习1已知B,C是两个定点BC长等于8，且△ABC的周长等于20，求顶点A的

轨迹方程

2已知△ABC三边AB,BC,CA的长成等差数列，且AB长大于CA长，点B,C的坐

标为（-2，0），（2，0），求顶

点A的轨迹方程，并说明它是什么曲线

3已知椭圆x

2

y2

1（a5）的两个焦点为F1,F2,︳且F1F2

8，弦AB过点F1，则

a

2

25

△ABF2的周长

4椭圆的两个焦点是（6,0）,（6,0），过点（6,1），求椭圆的方程。

2待定系数法例已知椭圆的焦距离为26且过点（3，2），求焦点在

x轴上时的

标准方程．

3．轨迹法

例△ABC的顶点A,B的坐标分别为（-4,0），（4,0）边AC,BC所在直线的斜率之

9

积等于，求顶点C的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线；．

三典型练习

练习1.求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）两个焦点的坐标分别是（－4，0），（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离

之和等于10；

（2）两个焦点的坐标分别是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点（3,5）；22

（3）长轴长是短轴长的

3倍，并且椭圆经过点

A（-3，3）

练习2.已知点P（3,4）

是椭圆x

2

y

2

2

2＝1（a>b>0）

上的一点，F1,F2是它的两焦

a

b

点，若PF1⊥PF2，求

（1）椭圆的方程

（2）△F2PF1的面积．

3根据下列条件求椭圆的标准方程

（1）和椭圆x2

y2

1共准线，且离心率为

24

20

1．

（2）已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，

点P到两焦点的距离分别为

4

5

2

3

和25，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点

3

考点七椭圆定义与性质的应用

一定义的运用

二椭圆的几何性质应用

1、基础知识例对椭圆x2

y2

）画出草图（

2

）焦点，焦距（

3）顶

25

1，求（1

9

点，长轴的长，短轴的长，（4）离心率，（5）左右准线方程，（6）P是椭圆上

动点，则P到左焦点的距离最值.

练习求椭圆的标准方程

（1）长轴是短轴的2倍，经过点（4，0）

（2）一个焦

点为（2，0），经过点（-3，0）（3）一个焦点为（2,0）

，一条准线方程为x

4（4）

长轴在x轴上，一条准线方程是x3，离心率为

5

3

2离心率

方法：

求椭圆离心率e时，只要求出a,b,c的一个齐次方程，再结合a2b2c2就

可求得e（0

例若椭圆x2

+y2

=1的离心率是1

2

m

2

，则m等于___

2若A、B是椭圆x2

y2

1（ab0）上的两个顶点，F是右焦点，若ABBF，

a2

b2

求椭圆的离心率。

练习1设已知椭圆x

2

2

2

y2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F,右准线为l.若过F且垂

a

b

直于x轴的弦长等于点

F到l的距离,

求此椭圆的离心率.

2已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆

的离心率

3（全国卷Ⅲ）设椭圆的两个焦点分别为

F1,F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点

P，若△F1PF2

为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是

____4已知椭圆

x2

m3y2

mm

0的离心率e

3，求m的值

2

PF1F2的面积；若不存在，说明理由．