版高考数学理一轮复习全国经典版选修44 坐标系与参数方程 第1讲 坐标系.docx
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版高考数学理一轮复习全国经典版选修44坐标系与参数方程第1讲坐标系
第1讲 坐标系
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点1 坐标变换
平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:
的作用下,点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
考点2 极坐标与直角坐标
1.极坐标系:
在平面内取一个定点O,叫做极点,自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),就建立了极坐标系.
2.点的极坐标:
对于极坐标系所在平面内的任一点M,若设|OM|=ρ(ρ≥0),以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角为θ,则点M可用有序数对(ρ,θ)表示.
3.极坐标与直角坐标的互化公式:
在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,射线Ox的正方向为极轴方向,取相同的长度单位,建立极坐标系.设点P的直角坐标为(x,y),它的极坐标为(ρ,θ),则相互转化公式为
考点3 常用简单曲线的极坐标方程
曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点,半径为r的圆
ρ=r(0≤θ<2π)
圆心为(r,0),半径为r的圆
ρ=2rcosθ
圆心为,半径为r的圆
ρ=2rsinθ(0≤θ<π)
过极点,倾斜角为α的直线
(1)θ=α(ρ∈R)或θ=π+α(ρ∈R)
(2)θ=α和θ=π+α
过点(a,0),与极轴垂直的直线
ρcosθ=a
过点,与极轴平行的直线
ρsinθ=a,(0≤θ≤π)
[考点自测]
1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)点P在曲线C上,则点P的极坐标一定满足曲线C的极坐标方程.( )
(2)tanθ=1与θ=表示同一条曲线(ρ≥0).( )
(3)点P的直角坐标为(-,),那么它的极坐标可表示为.( )
(4)过极点,作倾斜角为α的直线的极坐标方程可表示为θ=α或θ=π+α(ρ∈R).( )
(5)圆心在极轴上的点(a,0)处,且过极点O的圆的极坐标方程为ρ=2asinθ.( )
答案
(1)×
(2)× (3)√ (4)√ (5)×
2.[2018·开封模拟]方程ρ=-2cosθ和ρ+=4sinθ的曲线的位置关系为( )
A.相离B.外切
C.相交D.内切
答案 B
解析 方程ρ=-2cosθ化为直角坐标方程为(x+1)2+y2=1,ρ+=4sinθ化为直角坐标方程为x2+(y-2)2=4,两圆圆心距为=3=1+2,所以两圆外切.
3.[2018·皖北协作区联考]在极坐标系中,直线ρ(cosθ-sinθ)=2与圆ρ=4sinθ的交点的极坐标为( )
A.B.
C.D.
答案 A
解析 ρ(cosθ-sinθ)=2可化为直角坐标方程x-y=2,即y=x-2.
ρ=4sinθ可化为x2+y2=4y,把y=x-2代入x2+y2=4y,得4x2-8x+12=0,即x2-2x+3=0,所以x=,y=1.所以直线与圆的交点坐标为(,1),化为极坐标为.故选A.
4.[2018·株洲模拟]在极坐标系中,直线ρsin(θ+)=2被圆ρ=4截得的弦长为( )
A.2B.2
C.4D.4
答案 D
解析 直线ρsin(θ+)=2可化为x+y-2=0,圆ρ=4可化为x2+y2=16,由圆中的弦长公式得2=2=4.
5.[2017·北京高考]在极坐标系中,点A在圆ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0上,点P的坐标为(1,0),则|AP|的最小值为________.
答案 1
解析 由ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0,得
x2+y2-2x-4y+4=0,即(x-1)2+(y-2)2=1,
圆心坐标为C(1,2),半径长为1.
∵点P的坐标为(1,0),∴点P在圆C外.
又∵点A在圆C上,∴|AP|min=|PC|-1=2-1=1.
6.[2017·天津高考]在极坐标系中,直线4ρcos+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为________.
答案 2
解析 由4ρcos+1=0得2ρcosθ+2ρsinθ+1=0,故直线的直角坐标方程为2x+2y+1=0.
由ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ,
故圆的直角坐标方程为x2+y2=2y,
即x2+(y-1)2=1.圆心为(0,1),半径为1.
∵圆心到直线2x+2y+1=0的距离d==<1,∴直线与圆相交,有两个公共点.
板块二 典例探究·考向突破
考向 平面直角坐标系下图形的变换
例 1 在平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形.
(1)2x+3y=0;
(2)x2+y2=1.
解 由伸缩变换得到(*).
(1)将(*)代入2x+3y=0,得到经过伸缩变换后的图形方程是x′+y′=0.
因此,经过伸缩变换后,
直线2x+3y=0变成直线x′+y′=0.
(2)将(*)代入x2+y2=1,得到经过伸缩变换后的图形的方程是+=1.
因此,经过伸缩变换后,圆x2+y2=1变成椭圆+=1.
触类旁通
平面直角坐标系下图形的变换技巧
平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示.在伸缩变换下,直线仍然变成直线,抛物线仍然变成抛物线,双曲线仍然变成双曲线,圆可以变成椭圆,椭圆也可以变成圆.
【变式训练1】 求椭圆+y2=1,经过伸缩变换后的曲线方程.
解 由得到①
将①代入+y2=1,得+y′2=1,即x′2+y′2=1.
因此椭圆+y2=1经伸缩变换后得到的曲线方程是x2+y2=1.
考向 极坐标与直角坐标的互化
例2 [2017·全国卷Ⅱ]在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4.
(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;
(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.
解
(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).
由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=.
由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程为ρ=4cosθ(ρ>0).
因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).
(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).
由题设知|OA|=2,ρB=4cosα,于是△OAB的面积
S=|OA|·ρB·sin∠AOB=4cosα·
=2≤2+.
当α=-时,S取得最大值2+.
所以△OAB面积的最大值为2+.
触类旁通
直角坐标方程与极坐标方程互化的方法
直角坐标方程化为极坐标方程,只需把公式x=ρcosθ及y=ρsinθ直接代入并化简即可;而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形,构造形如ρcosθ,ρsinθ,ρ2的形式,进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时,方程必须保持同解,因此应注意对变形过程的检验.
【变式训练2】 已知直线l的参数方程为(t为参数).在以坐标原点为极点,x轴非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的方程为sinθ-ρcos2θ=0.
(1)求曲线C的直角坐标方程;
(2)写出直线l与曲线C交点的一个极坐标.
解
(1)∵sinθ-ρcos2θ=0,∴ρsinθ-ρ2cos2θ=0,
即y-x2=0.
(2)将代入y-x2=0得,
+t-2=0,即t=0,
从而,交点坐标为(1,),
∴交点的一个极坐标为.
考向 极坐标方程及其应用
例 3 [2016·全国卷Ⅱ]在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.
(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;
(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率.
解
(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ,可得圆C的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11=0.
(2)在
(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).
设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程,得ρ2+12ρcosα+11=0.
于是ρ1+ρ2=-12cosα,ρ1ρ2=11.
|AB|=|ρ1-ρ2|==.由|AB|=,得cos2α=,tanα=±.所以l的斜率为或-.
触类旁通
极坐标方程及其应用的类型及解题策略
(1)求极坐标方程.可在平面直角坐标系中,求出曲线方程,然后再转化为极坐标方程.
(2)求点到直线的距离、线段的长度.先将极坐标系下点的坐标、直线、曲线方程转化为平面直角坐标系下点的坐标、直线、曲线方程,然后利用直角坐标系中点到直线的距离、线段公式求解.
【变式训练3】 在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数),直线l的参数方程为(t为参数).在以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,过极点O的射线与曲线C相交于不同于极点的点A,且点A的极坐标为(2,θ),其中θ∈.
(1)求θ的值;
(2)若射线OA与直线l相交于点B,求|AB|的值.
解
(1)由题意知,曲线C的普通方程为x2+(y-2)2=4,
∵x=ρcosθ,y=ρsinθ,∴曲线C的极坐标方程为(ρcosθ)2+(ρsinθ-2)2=4,即ρ=4sinθ.
由ρ=2,得sinθ=,
∵θ∈,∴θ=.
(2)由题易知直线l的普通方程为x+y-4=0,
∴直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ-4=0.
又射线OA的极坐标方程为θ=(ρ≥0),
联立,得解得ρ=4.
∴点B的极坐标为,
∴|AB|=|ρB-ρA|=4-2=2.
核心规律
如何解决极坐标问题
(1)解决极坐标系中的一些问题时,主要的思路是将极坐标化为直角坐标,在直角坐标系下求解后,再转化为极坐标.
(2)极坐标方程与直角坐标方程互化的核心公式:
⇒
(3)由极坐标系上点的对称性可得到极坐标方程ρ=ρ(θ)的图形的对称性:
若ρ(θ)=ρ(-θ),则相应图形关于极轴对称;若ρ(θ)=ρ(π-θ),则图形关于射线θ=所在的直线对称;若ρ(θ)=ρ(π+θ),则图形关于极点O对称.
满分策略
极坐标应用中的注意事项
(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件:
①极点与原点重合;②极轴与x轴正方向重合;③取相同的长度单位.
(2)若把直角坐标化为极坐标,求极角θ时,应注意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置),以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化,可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题.
(3)由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的,如果限定ρ取正值,θ∈[0,2π),平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ,θ)(ρ≠0)建立一一对应关系.
板块三 模拟演练·提能增分
[基础能力达标]
1.[2018·广东珠海模拟]在极坐标系中,圆C的极坐标方程为ρ2=4ρ(cosθ+sinθ)-6.若以极点O为原点,极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系.
(1)求圆C的参数方程;
(2)在直角坐标系中,点P(x,y)是圆C上一动点,试求x+y的最大值,并求出此时点P的直角坐标.
解
(1)因为ρ2=4ρ(cosθ+sinθ)-6,
所以x2+y2=4x+4y-6,
所以x2+y2-4x-4y+6=0,
整理得(x-2)2+(y-2)2=2.
所以圆C的参数方程为(θ为参数).
(2)由
(1)可得x+y=4+(sinθ+cosθ)=4+2sin.
当θ=,即点P的直角坐标为(3,3)时,x+y取得最大值,其值为6.
2.[2018·宁
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