平面应力问题.docx
- 文档编号:12260214
- 上传时间:2023-04-17
- 格式:DOCX
- 页数:41
- 大小:30.14KB
平面应力问题.docx
《平面应力问题.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《平面应力问题.docx(41页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
平面应力问题
平面应力问题
平面应力问题
平面域A内的基本方程:
平衡微分方程(在A内)几何方程(在A内)
物理方程(在A内)
⎫即:
σ=E(ε+με)xxy⎪2
1-μ⎪⎪Eσy=(ε+με)⎬yx1-μ2⎪
⎪Eτ=γxyxy
2(1+μ)S上边界条件:
应力边界条件在σ上)
⎫∂σx∂τyx+=0,⎪
∂x∂y⎪
⎬常体力时方程的解为特解叠加下面方程的通解∂σy∂τxy
+=0.⎪
⎪∂y∂x⎭2
∂2Φ
xσy=2-Yy,2
xy∂x
s
σ=
∂Φ∂y
-Xx,
τ=-∂x∂y
2
二、基本假设1、连续性假定
假定物体是连续的。
因此,各物理量可用连续函数表示。
2、完全弹性假定
a.完全弹性—外力取消,变形恢复,无残余变形。
b.线性弹性—应力与应变成正比。
即应力与应变关系可用胡克定律表示(物理线性)。
3、均匀性假定
假定物体由同种材料组成,因此,E、μ等与位置无关。
4、各向同性假定
假定物体各向同性。
E、μ与方向无关。
由3、4知E、μ等为常数符合1-4假定的称为理想弹性体。
5、小变形假定
假定位移和形变为很小。
a.位移<<物体尺寸,例:
梁的挠度v<<梁高h。
例:
梁的≤10-3<<1,<<1弧度。
小变形假定的应用:
a.简化平衡条件:
考虑微分体的平衡条件时,可以用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。
b.简化几何方程:
在几何方程中,由于(ε,γ)>>(ε,γ
)2>>(ε,γ)3⋅⋅⋅⋅,可略去2等项,使几何方程成为线性方程。
弹性力学基本假定,确定了弹性力学的研究范围:
理想弹性体的小变形问题。
第二节有限元方法概述1分析思路是:
将整个结构看作是由有限个力学小单元相互连接而形成的集合体,每个单元的力学特性组合在一起便可提供整体结构的力学特性。
2离散化的组合体与真实弹性体的区别在于:
组合体中单元与单元之间的联接除了结点之外再无任何关联。
但要满足变形协调条件,单元之间只能通过结点来传递内力。
通过结点来传递的内力称为结点力,作用在结点上的荷载称为结点荷载。
当连续体受到外力作用发生变形时,组成它的各个单元也将发生变形,因而各个结点要产生不同程度的位移,这种位移称为结点位移。
3弹性力学的基本概念①体力:
分布在物体体积内的力,如常见的重力、惯性力②、面力是指分布在物体表面的力,如流体的压力和接触力。
P5,6例题1:
试分析AB薄层中的应力状态
zzxzy
在近表面很薄一层内zzxzy
故接近平面应力问题
(ε,γ)
(σ,τ
τ
)=0.
(σ,τ
τ
)→0.
因为几何方程第三式对任意的(x,y)均应满足。
当x(y)变化时,式(b)的左,右均应=常数,由此解出。
可得
σ显然,边界条件要求在x=±a上,x也成抛物线分布。
3、混合边界条件:
⑴部分边界上为位移边界条件,另一部分边界上为应力边界条件;⑵同一边界上,一个为位移边界条件,另一个为应力边界条件。
例4列出的边界条件:
x=a
0,fy=例5考虑两端固定的一维杆件。
图(a),只受重力作用,fx=ρg。
试用位移法求
解。
解:
为了简化,设位移
按位移求解,位移应满足式(b),(c),(d)。
代入式(b),xy2x2
x2y2y
xyxy
将几何方程、物理方程代入平衡微分方程,按位移求解平面应力问题的微分方程为(b)⎫E∂2u1-μ∂2u1+μ∂2v
(++)+X=0⎪1-μ2∂x22∂y22∂x∂y⎪
⎬222
E∂v1-μ∂v1+μ∂u⎪(++)+Y=0⎪1-μ2∂y22∂x22∂x∂y⎭
位移边界条件(c)ss
用位移表示的应力边界条件(d)
EE∂u∂v⎫σ=(ε+με)=(+μ),⎪1-μ1-μ∂x∂y⎪EE∂v∂u⎪σ=(ε+με)=(+μ),⎬1-μ1-μ∂y∂x⎪
⎪EE∂v∂u
τ=γ=(+).⎪2(1+μ)2(1+μ)∂x∂y⎭
(u)=u,⎫⎪
⎬
(v)=v.⎪⎭
解出
y=0,l
v
得
y=0
(v)=0,
得y=l
例6三连杆系统,由于物体是连续的,变形前三连杆在D点共点(连续),变形后三连杆在
移分量。
(v)=0,
解:
=±(a)在主要边界yh/2应精确满足下列边界条件:
在小边界x=0应用圣维南原理,列出三个积分的近似边界条件,当板厚=1时h/2
xx=0
-h/2h/2
xx=0
-h/2h/2
xyx=0s
-h/2
在小边界x=l,当平衡微分方程和其它各边界条件都已满足的条件下,3个积分的边界条件必然满足,可以不必校核。
xxyxxy
在小边界y=0,列出3个积分的边界条件,当板厚时,b3F
(σy)y=0dx=-,02
b3F
(σy)y=0xdx=-b,04
bF(τyx)y=0dx=-。
02
注意在列力矩的条件时两边均是对原点o的力矩来计算的。
对于y=h的小边界可以不必校核例8厚度=1悬臂梁,受一端的集中力F的作用。
已求得其位移的解答是δFx2yμFy3Fy3Fl2Fh2
u=--++(-)y,
2EI6EI6IG2EI8IG
δ
⎰⎰⎰
(σ)(σ)
dy=F,
ydy=M,dy=F。
(τ)
x=0σ=-ρgy,τ=0;
x=lσ=0,τ=-q。
δ=1
⎰⎰⎰
μFxy2Fx3Fxl2Fl3
v=+-+。
2EI6EI2EI3EI试检查此组位移是否是图示问题的解答
(a)ε=Axy,ε=By,γ=C-Dy;(b)ε=Ay,ε=Bxy,γ=Cxy;(c)ε=ε=0,γ=Cxy。
解:
此组位移解答若为图示问题的解答,则应满足下列条件:
(1)区域内用位移表示的平衡微分方程
(2)应力边界条件,在所有受面力的边界上。
其中在小边界上可以应用圣维南原理,用3个积分的边界条件来代替。
(3)位移边界条件。
本题在x=l的小边界上,已考虑利用圣维南原理,使3个积分的应力边界条件已经满足。
(4)应变协调方程
例9试考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在32
xyxy
22xyxy
xyxy222
yxy解:
应变分量存在的必要条件是满足形变相容条件,即x
22(a)相容;
(b)须满足B=0,2A=C;(c)不相容,只有C=0。
例10在无体力情况下,试考虑下列应力分量是否可能在弹性体中存在:
xyxy
2222
xyxy
解:
弹性体中的应力,在单连体中必须满足:
(1)平衡微分方程;
(2)相容方程;
S=S(3)应力边界条件(当)σ。
(a)此组应力满足平衡方程。
为了满足平衡微分方程,必须A=-F,D=-E.此外,还应满足应力边界条件。
(b)为了满足相容方程,其系数必须满足A+B=0。
为了满足平衡微分方程,其系数必须满足A=B=-C/2。
∂ε∂ε∂γ
+=∂x∂y∂y∂x
(a)σ=Ax+By,σ=Cx+Dy,τ=Ex+Fy;(b)σ=A(x+y),σ=B(x+y),γ=Cxy;
上两式是矛盾的,因此此组应力分量不可能存在。
f(x,y)是平面调和函数,即满足拉普拉斯方程∇2f=0.例11若
22试证明函数
都满足重调和方程
4
因而都可以作为应力函数使用。
解:
4
上述函数作为应力函数,均能满足相容方程(重调和方程)
例12图中的梁,受到如图所示的荷载的作用,试用下列应力表达式求解其应力,
q
σx=-3(6x2y-4y3h
2q3
(a)σy=-3y-C1y+h
6qxy
2
τxy=+C1x。
3
h
解:
本题是按应力求解的,在应力法中,应力分量在单连体中必须满足
(1)平衡微分方程;
(2)相容方程∇2(σx+σy)=0;(3)应力边界条件(在S=Sσ上)。
将应力分量(a)代入平衡微分方程和相容方程,两者都能满足再校核边界条件,在主要边界上h6qh2
y=±,τxy=0,即x(3⋅+C1)=0,得
2h4
3qC1=-;2h
f,xf,yf,(x+y)f
∇Φ=0,
∇Φ=0.
将C,C代入(a),得到应力公式,
h2qhhy=-,σy=-q,即-3(-)+C1+C2=-q,得
2h82
q
C2=-.
2
hy=,σy=0,将C1,C2代入后满足。
2
122qy⎫
σx=-3(3x2-2y2),⎪
h
⎪13yy3⎪
σy=-q(-+23),⎬(b)
22hh⎪
⎪3qxy2
τxy=(42-1)。
⎪
2hh⎭
再将式(b)表达式代入次要边界条件,y3
σx=4q3,
h
3
其主矢量为(σx)x=0dy=0,-h/2h/2qh2
⎰(σx).x=0ydy=而主矩为-h/220
3qly2
x=l,τxy=(42-1),
2hh
h/2
(xy)dy=-ql.其主矢量为x=0-h/2
q23
σ=-(6ly-4y),x3
h
其主矢量为0,而主矩为h/2ql2qh2
(σx)-).x=lydy=-(-h/2220
由此可见,在次要边界上的积分边界条件均能满足。
因此,式(b)是图示问题之解。
例13在材料力学中,当矩形截面梁(宽度)
M(x)受任意的横向荷载q(x)作用而弯曲时,弯曲应力公式为σ=y.(a)x
I
(a)试由平衡微分方程(不计体力)导出
τ切应力xy和挤压应力σ的公式。
MydFsd
=F=-qs(提示:
注意关系式dxdx
积分后得出的任意函数,可由梁的上下边界条件来确定。
)(b)当q为常数时,试检验应力分量是否
满足相容方程,试在中加上一项对平衡没有影响的函数f(y),再由相容方程确定f(y),并
x
校核梁的左右边界条件。
解:
本题引用材料力学的弯应力的解,作为初步的应力的假设,再按应力法求解。
应力分量必须满足
(1)平衡微分方程;
(2)相容方程;
(3)应力边界条件(在Sσ上)。
S=(a)不计体力,将σx=M(x)y代入平衡微分方程第一式,
I
yxx
⎰
h/2
⎰
τ
⎰
δ=1
σ
∂τyxyFsy得:
=-=-∂ydxII两边对y积分,得2
Fys=-+f1(x),(b)yx
2I再由上下的边界条件
yxy=±h/2
Fsh2
得f1(x)=,代入τyx,得8IFsSh2y2τ=,其中S=(-).(c)yxI82
∂σy∂τxy将τ代入平衡微分方程的第二式,
yx+=0,∂σ∂τ
+=0,∂x∂y
τ
(τ)=0,
得
q23对y积分,得
σy=(y-y)+f2(x).
I86qh3q
(σy)y=h/2=0,得f2(x)=-=-;
q
(σy)y=-h/2=-q,同样得f2(x)=-
232qhh1313yy3
+y-y)=-q(-+23).(d)由此得σy=(-
I248622hh
hy=σ上述解答x及式(c),(d)已经满足平衡微分方程及±的边界条件;但一般不满足相容方
2
程,且尚未校核左右端的小边界条件。
22232(b)若q为常数,则M=ql(x-x,得6qlyy)σx=3(-2)y,σy=-q(-+23).2ll2
hlh代入相容方程
24q2∇(σx+σy)=-3y≠0.
h为了满足相容方程6ql2xx2
令σx=3(-2)y+f(y),
hl此式σ和式(c),(d)的一组应力分量仍然满足平衡微分方程;再代入相容方程,
x
得2
24qdf(y)2∇(σx+σy)=-3y+=0,2hdy
积分得
3
3
由次要边界条件
h/2
(σx)x=ldy=0,得B=0;
-h/2
h/2
(σx)x=0ydy=0,满足。
-h/2
h/23q(σ)ydy=0,得A=-xx=0,l-h/25h
由此得
6ql2xx24q3q
σx=3(-2)y+3y3-y,(e)
hllh5h读者可检测,式(c),(d),(e)的一组应力已满足无体力,且q为常数情况下的平衡微分方程,相容方程,和应力边界条件(在x=0,l小边界上的剪力即为主矢量),因而是该问题之解。
一、逆解法和半逆解法多项式解法
1当体力为常量,按应力函数求解平面应力问题时,应满足
∂σydFs2y2q2y2
=-(-)=(-).∂ydxI82I82
4q
f(y)=y+Ay+B.
h
⎰⎰⎰
Φ
Φ
⑴A内相容方程∇Φ=0.(a)⑵S=上应力边界条件,
lσx+mτyx=fx,mσy+lτxy=fy.(b)
ss
⑶多连体中的位移单值条件。
(c)
对于单连体,(c)通常是自然满足的。
只须满足(a),(b)。
由求应力的公式是2Φσx=2-fxx,∂y2
σy=-fyy,2∂x(d)
2τxy=-
2.逆解法──先满足(a),再满足(b)。
步骤:
4
⑴先找出满足的解∇Φ=0.(a)⑵代入(d),求出
xyxy
⑶在给定边界形状S下,由式(b)反推出各边界上的面力,
x=(lσx+mτxy)s,
y=(mσy+lτxy)s.(e)
Φ=axc对应于无体力,无面力,无应力状态。
故应力函数加减例14一次式+by+一次式,不影响应力例15
例16设图中所示的矩形长梁,l>>h
,试考察应力函数
F22能解决什么样的受力问题?
Φ=3xy(3h-4y)2h
4
()()
σ,σ,τ;
Φ
解:
按逆解法
4
1.将Φ
有可能成为该问题的解。
2.由求出应力分量
3.由边界形状和应力分量反推边界上的面力。
在主要边界(大边界)上
因此,在的边界面上,无任何面力作用,即在x=0,l的次要边界(小边界)上,
在
(b)
所示。
x=0处受集中力F作用的问步骤:
⑴假设应力的函数形式(根据受力情况,边界条件等);⑵由应力(d)式,推测Φ的函数形式
4
⑶代入∇Φ=0,解出Φ;⑷由式(d),求出应力;
⑸校核全部应力边界条件(对于多连体,还须满足位移单值条件)。
Φ
Φ
=±h/2
y=±h/2
如能满足,则为正确解答;否则修改假设,重新求解二、矩形梁的纯弯曲
梁l×h×1
上的应力
σ边界条件
求解步骤:
⑴由逆解法得出,可取=ay3,且满足Φ⑵
⑶检验应力边界条件,原则是:
a.先校核主要边界(大边界),必须精确满足应力边界条件。
b.后校核次要边界(小边界),若不能精确满足应力边界条件,则应用圣维南原理,用积分的应力边界条件代替主要边界
(τxy)y=±h/2=0.(b)yy=±h/2
从式(a)可见,边界条件(b)均满足。
次要边界x=0,l(c)满足。
xyx=0,l
式(d)最终得应力解
当l>>hx端部分上的应力。
三、位移分量的求出在按应力求解中,若已得出应力,如何求出位移?
以纯弯曲问题为例,已知
s
y=±h/2,
(σ)=0,
(τ)
=0,
试求解其位移
1.
2.代入几何方程求位移
⑴对式(a)两边乘dx
⑵对式(b)两边乘d
⑶再代入(c),
上式对任意的x,y都必须成立,故两边都必须为同一常量由此解出
3.待定的刚体位移分量
00
须由边界约束条件来确定
归纳:
从应力求位移步骤:
1由物理方程求出形变
2.代入几何方程,积分求
3.由边界约束条件确定确定刚体位移分量u0,v0,。
纯弯曲问题的讨论1.弯曲应σx
2.x处,平面截
面假设成立
同材料力学的结果。
故在纯弯曲情况3.四、简支梁受均布荷载简支梁2l⨯h⨯1,受均布荷载及两端支撑反力
u,v
ω
q
按半逆解法求解⑴假设应力分量。
由材料力学xsy
12
因为σx∝M=q(l+x)-q(l+x),
2
2
σ=xf1(y)+xf2(y)+f3(y);x所以,可假设
因为xys所以,可假设
xy12
因为y
所以,可假设
现采用此假设
y
2
=σy=f(y),⑵由应力分量推出应力函数的形式。
由∂x2
对x积分∂Φ=xf(y)+f1(y),
∂x
x2
f(y)+对x再积分Φ=2⑶将代入相容方程,求解
相容方程对于任何均应满足,故的系数均应等于0,由此得三个常微分方程解出:
(b)
将式(b)代入式(a),即得。
⑷由Φ求应力在无体力下,应力公式如书中式(f),(g),(h)所示。
对称性条件─由于结构和荷载对称于轴,故Φ,σy应为的偶函数,xy为σx,x
的奇函数,故⑸
σ∝M,τ∝F,σ∝q,
τ∝F=-ql+q(l+x),
τ
=xf(y)+f(y);
σ∝q=常数,
σ=f(y)。
Φ
Φ
x,y
E=F=G=0y
x
τ
次要边界
由此解出H,K.
另一次要边界(x=-l)的条件,自然满足
6q2yy23最后应力解答:
2
σx=3(l-x)y+q(42-)
hhh5
yy2=y+q4-),
h2
FSS6q22
-y)=xy=-3x(4bIh
qy2y2
σy=-(1+)(1-.
2hh五、楔形体受重力及液体压力
设有楔形体,左面垂直,顶角为α,下端无限长,受重力及齐顶液体压力。
(1)用量纲分析法因为应力ρg,ρg,而应力的量纲只比假设应力:
12
2高一次(L)1,
所以应力=(ρg,ρg)⨯(x,y一次式),
12
即可假设应力为x,y的一次式。
(
2)由应力~关系式,应为x,y的三次式Φ
4(3)满足相容方程
(4)由求应力
x=l,
τ
ρg,ρg
∝
Φ
Φ
Φ
(5)考察边界条件--本题只有两个大边界,均应严格满足应力边界条件。
x=0铅直面
xx=02解出
x=0
斜边界上
由式(b)解出a、b,最后的应力解答
σx=-ρ2gy,⎫
⎪3σy=(ρ1gcotα-2ρ2gcotα)x⎪
⎬(c)2
+(ρ2gcotα-ρ1g)y,⎪
⎪
τxy=-ρ2gxcot2α.
例题17
图3-5,试用应力函数求解应力分量。
解
(σ)
=-ρgy,
)
=0,
(a)
本题是较典型的例题,已经给出了应力函数,可按下列步骤求解1.将代入相容方程,显然是满足的2.将
3
主要边界(2-15)
(σy)y=±h/2=0,满足;
3
(xy)y=±h/2=0,得A+Dh2=0.(a)
4
在次要边界x=0上,只给出了面力的主矢量和主矩,应用圣维南原理,用三个积分的边界条件代替。
注意x=0是负x面,图3-5中表示了负x面上的的正方向,
xxy
由此得h/2
FN
(σx)x=0dy=-FN,得B=-;-h/22h
h/2xx=03-h/2
h/23xYx=0ss-h/2由(a),(b)解出
最后一个次要边界条件(x=l上),在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下,是必然满足的,故不必再校核
代入应力公式,得
例题18挡水墙的密度为,厚度为b,图示,水的密度为,试求应力分
Φ
Φ
Φ
τ
σ和τ
⎰
⎰
(σ)
⎰
1
(τ)dy=-F,得Ah+Dh=F.(b)
2Mydy=-M,得C=-;
h
ρ
解用半逆解法求解
1假设应力分量的函数形式。
0因为在y=-b/2边界上,σy=;y=b/2边界上,,所以可
σ=-ρgx
假设在区域内σ
沿x向也是一次式变化,即
y
2.
所以
3.由相容方程求应力函数。
代入4得
d4f4
=0,得f=Ay3+By2
+Cy+D;
dyd4f2
1
4+2dfA5B4322
=0,得f1=-y-y+Gy+Hy+Iy;dydy106d4f24=0,得f32
2=Ey+Fy.
dy代入Φ
,即得应力函数的解答,其中已略去了与应力无关的一次式
4.由应力函数求解应力分量。
将Φ
代入式(2-24),注意f=ρg,f=0
x1y
5考察边界条件:
体
主要边界上,有
yy
yxyy=±b/2
(σ)(σ(τ由上式得到
求解各系数,由
由此得又有
代入A,
代入应力分量的表达式得最后的应力解答
例题19
试问它们能否作为平面问题的应力函数
4解作为应力函数,必须首先满足相容方程
将代入(a)其中A=0,才可能成为应力函数;
(b)必须满足3(A+E)+C=0,才可能成为应力函数。
Fb例题20图中所示的矩形截面柱体,在顶部受有集中力F和力矩M=的作用,试
2
用应力函数32
求解图示问题的应力及位移,设在A点的位移和转角均为零
均已满足
考察次要边界条件,在y=0上
满足
xyy=0
byy=0
-bbFb(σ)d=-,得xx-byy=0
∇Φ=0.
Φ
Φ=Ax+Bx,
=0,
(τ)
⎰
(σ)dx=-F,
⎰
(4)
(5)求位移分量∂uμF3x由=ε=(1+),对x积分得x
由=εy=-(1+),对y积分得
将u,v代入几何方程的第三式
两边分离变量,并全都等于
常数,即
代入u,v,得
再由刚体约束条件∂u(=)x0,y
=h=0,得
∂y
x=0,y=h得ω
(u)
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 平面 应力 问题