常州市届高三年级第一次模拟考试数学试题及答案.docx
- 文档编号:1225862
- 上传时间:2022-10-19
- 格式:DOCX
- 页数:27
- 大小:250.72KB
常州市届高三年级第一次模拟考试数学试题及答案.docx
《常州市届高三年级第一次模拟考试数学试题及答案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《常州市届高三年级第一次模拟考试数学试题及答案.docx(27页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
常州市届高三年级第一次模拟考试数学试题及答案
2018届高三年级第一次模拟考试
(二)
数学
(满分160分,考试时间120分钟)
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共计70分.
1.若集合A={-2,0,1},B={x|x2>1},则集合A∩B=________.
2.命题“∃x∈[0,1],x2-1≥0”是________命题.(选填“真”或“假”)
3.若复数z满足z·2i=|z|2+1(其中i为虚数单位),则|z|=________.
4.若一组样本数据2015,2017,x,2018,2016的平均数为2017,则该组样本数据的方差为________.
5.如图是一个算法的流程图,则输出的n的值是________.
(第5题) (第12题)
6.函数f(x)=
的定义域记作集合D.随机地投掷一枚质地均匀的正方体骰子(骰子的每个面上分别标有点数1,2,…,6),记骰子向上的点数为t,则事件“t∈D”的概率为________.
7.已知圆锥的高为6,体积为8.用平行于圆锥底面的平面截圆锥,得到的圆台体积是7,则该圆台的高为________.
8.在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2a3a4=a2+a3+a4,则a3的最小值为________.
9.在平面直角坐标系xOy中,设直线l:
x+y+1=0与双曲线C:
-
=1(a>0,b>0)的两条渐近线都相交且交点都在y轴左侧,则双曲线C的离心率e的取值范围是________.
10.已知实数x,y满足
则x+y的取值范围是________.
11.已知函数f(x)=bx+lnx,其中b∈R.若过原点且斜率为k的直线与曲线y=f(x)相切,则k-b的值为________.
12.如图,在平面直角坐标系xOy中,函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象与x轴的交点A,B,C满足OA+OC=2OB,则φ=________.
13.在△ABC中,AB=5,AC=7,BC=3,P为△ABC内一点(含边界),若满足
=
+λ
(λ∈R),则
·
的取值范围为________.
14.已知在△ABC中,AB=AC=
,△ABC所在平面内存在点P使得PB2+PC2=3PA2=3,则△ABC面积的最大值为________.
二、解答题:
本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
已知在△ABC中,a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边,
bsinC=ccosB+c.
(1)求角B的大小;
(2)若b2=ac,求
+
的值.
16.(本小题满分14分)
如图,四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形,PC⊥平面ABCD,PB=PD,Q是棱PC上异于P,C的一点.
(1)求证:
BD⊥AC;
(2)过点Q和AD的平面截四棱锥得到截面ADQF(点F在棱PB上),求证:
QF∥BC.
17.(本小题满分14分)
已知小明(如图中AB所示)身高1.8米,路灯OM高3.6米,AB,OM均垂直于水平地面,分别与地面交于点A,O.点光源从点M发出,小明在地面上的影子记作AB′.
(1)小明沿着圆心为O,半径为3米的圆周在地面上走一圈,求AB′扫过的图形面积;
(2)若OA=3米,小明从A出发,以1米/秒的速度沿线段AA1走到A1,∠OAA1=
,且AA1=10米.t秒时,小明在地面上的影子长度记为f(t)(单位:
米),求f(t)的表达式与最小值.
18.(本小题满分16分)
如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:
+
=1(a>b>0)的右焦点为F,A是椭圆的左顶点,过原点的直线与椭圆交于M,N两点(点M在第三象限),与椭圆的右准线交于点P.已知AM⊥MN,垂足为M,且
·
=
b2.
(1)求椭圆C的离心率e;
(2)若S△AMN+S△POF=
a,求椭圆C的标准方程.
19.(本小题满分16分)
已知各项均为正数的无穷数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=a(其中a为常数),nSn+1=(n+1)Sn+n(n+1)(n∈N*).数列{bn}满足bn=
(n∈N*).
(1)证明:
数列{an}是等差数列,并求出{an}的通项公式;
(2)若无穷等比数列{cn}满足:
对任意的n∈N*,数列{bn}中总存在两个不同的项bs,bt(s,t∈N*),使得bs≤cn≤bt,求{cn}的公比q.
20.(本小题满分16分)
已知函数f(x)=
,其中a为常数.
(1)若a=0,求函数f(x)的极值;
(2)若函数f(x)在(0,-a)上单调递增,求实数a的取值范围;
(3)若a=-1,设函数f(x)在(0,1)上的极值点为x0,求证:
f(x0)<-2.
2018届高三年级第一次模拟考试
(二)
数学附加题
(本部分满分40分,考试时间30分钟)
21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两小题,并作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.[选修41:
几何证明选讲](本小题满分10分)
在△ABC中,N是边AC上一点,且CN=2AN,AB与△NBC的外接圆相切,求
的值.
B.[选修42:
矩阵与变换](本小题满分10分)
已知矩阵A=
不存在逆矩阵,求:
(1)实数a的值;
(2)矩阵A的特征向量.
C.[选修44:
坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系.曲线C的参数方程为
(α为参数),直线l的极坐标方程为ρsin
=
,直线l与曲线C交于M,N两点,求MN的长.
D.[选修45:
不等式选讲](本小题满分10分)
已知a>0,b>0,求证:
≥
.
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分10分)
已知正四棱锥PABCD的侧棱和底面边长相等,在这个正四棱锥的8条棱中任取两条,按下列方式定义随机变量ξ的值:
若这两条棱所在的直线相交,则ξ的值是这两条棱所在直线的夹角大小(弧度制);
若这两条棱所在的直线平行,则ξ=0;
若这两条棱所在的直线异面,则ξ的值是这两条棱所在直线所成角的大小(弧度制).
(1)求P(ξ=0)的值;
(2)求随机变量ξ的分布列及数学期望E(ξ).
23.(本小题满分10分)
记(x+1)×
×…×
(n≥2且n∈N)的展开式中含x项的系数为Sn,含x2项的系数为Tn.
(1)求Sn;
(2)若
=an2+bn+c,对n=2,3,4成立,求实数a,b,c的值;
(3)对
(2)中的实数a,b,c,用数学归纳法证明:
对任意n≥2且n∈N*,
=an2+bn+c都成立.
2018届常州高三年级第一次模拟考试
数学参考答案
1.{-2} 2.真 3.1 4.2 5.7 6.
7.3 8.
9.(1,
) 10.[2,8] 11.
12.
13.
14.
15.解析:
(1)由正弦定理得
sinBsinC=cosBsinC+sinC,在△ABC中,因为sinC>0,所以
sinB-cosB=1,所以sin
=
.因为0
<
,所以B-
=
,所以B=
.
(2)因为b2=ac,
所以由正弦定理可得sin2B=sinAsinC,
+
=
+
=
=
=
,
所以
+
=
=
=
=
.
16.解析:
(1)因为PC⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥PC.连结AC,交BD于点O.
由平行四边形对角线互相平分,得O为BD的中点,在△PBD中,PB=PD,所以BD⊥OP.
因为PC∩OP=P,PC,OP⊂平面PAC,
所以BD⊥平面PAC.
因为AC⊂平面PAC,
所以BD⊥AC.
(2)因为四边形ABCD是平行四边形,
所以AD∥BC.
因为AD⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,
所以AD∥平面PBC.
因为AD⊂平面ADQF,平面ADQF∩平面PBC=QF,所以AD∥QF.
因为AD∥BC,所以QF∥BC.
17.解析:
(1)由题意得AB∥OM,则
=
=
=
,OA=3,所以OB′=6,
小明在地面上的影子AB′扫过的图形是圆环,其面积为π×62-π×32=27π(平方米).
(2)经过t秒,小明走到了A0处,身影为A0B′0.
由
(1)知
=
=
,即A0B′0=
OB0=OA,
所以f(t)=A0B′0=OA0=
.
因为OA=3,AA1=10,∠OAA0=∠OAA1=
,
所以f(t)=
,0 ,所以当t= 时,f(t)取得最小值为 . 18.解析: (1)由题意得 消去y并整理得 x2+ax+b2=0, 解得x1=-a,x2=- , 所以xM=- ∈(-a,0), · =xM·xA= ·a= b2, = , 所以e= . (2)由 (1)得M ,右准线方程为x= b, 直线MN的方程为y= x, 所以P , S△POF= OF·yP= b· b=2 b2,S△AMN=2S△AOM=OA×|yM|=2b× b= b2, 所以2 b2+ b2= a, b2= b, 所以b= ,a=2 , 椭圆C的标准方程为 + =1. 19.解析: (1)方法一: 因为nSn+1=(n+1)Sn+n(n+1),① 所以(n+1)Sn+2=(n+2)Sn+1+(n+1)(n+2),② 由②-①得,(n+1)Sn+2-nSn+1=(n+2)Sn+1-(n+1)Sn+2(n+1), 即(n+1)Sn+2=(2n+2)Sn+1-(n+1)Sn+2(n+1).又n+1>0, 则Sn+2=2Sn+1-Sn+2,即an+2=an+1+2. 在nSn+1=(n+1)Sn+n(n+1)中令n=1,得a1+a2=2a1+2,即a2=a1+2. 综上,对任意n∈N*,都有an+1-an=2, 故数列{an}是以a为首项,2为公差的等差数列. 又a1=a,所以an=2n-2+a. 方法二: 因为nSn+1=(n+1)Sn+n(n+1), 所以 = +1. 又S1=a1=a,所以数列 是以a为首项,1为公差的等差数列, 因此 =n-1+a,即Sn=n2+(a-1)n. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-2+a. 又a1=a也符合上式, 故an=2n-2+a(n∈N*), 故对任意n∈N*,都有an+1-an=2,即数列{an}是以a为首项,2为公差的等差数列. (2)令en= =1+ ,则数列{en}是递减数列,所以1 . 考察函数y=x+ (x>1),因为y′=1- = >0,所以y=x+ 在(1,+∞)上单调递增, 因此2 ≤2+ ,从而bn= ∈ . 因为对任意的n∈N*,总存在数列{bn}中的两个不同项bs,bt,使得bs≤cn≤bt,所以对任意的n∈N*都有cn∈ ,明显q>0. 若q>1,当n≥1+logq 时,有cn=c1qn-1> qn-1≥ ,不符合题意,舍去; 若0 时,有cn=
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 常州市 三年级 第一次 模拟考试 数学试题 答案