复变函数论教学大纲.docx
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复变函数论教学大纲
复变函数论课程教学大纲
一、课程说明
1、课程性质
《复变函数》是数学与应用数学专业的一门专业主干课程,是数学分析的后续课程。
本课程的主要内容是讨论单复变量的复值可微函数的性质,其主要研究对象是全纯函数,即复解析函数。
复变函数论又称复分析,是数学分析的推广和发展。
因此它不仅在内容上与数学分析有许多类似之处,而且在逻辑结构方面也非常类似。
复变函数论是一门古老而富有生命力的学科。
早在19世纪,Cauchy、Weierstrass及Riemann等数学巨匠就已经给这门学科奠定了坚实的基础。
复变函数论作为一种强有力的工具,已经被广泛应用于自然科学的众多领域,如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及自动控制学等,目前也被广泛应用于信号处理、电子工程等领域。
复变函数论作为一门学科,有其自身的特点,有其特有的研究方法。
在学习过程中,应注意将所学的知识融汇贯通,并通过与微积分理论的比较加深理解,掌握它自身所固有的理论和方法。
2、课程教学目标与要求
(1)通过本课程的教学,使学生掌握复变函数论的基本理论和方法,获得独立地分析和解决某些相关理论和实际问题的能力。
为进一步学习其他课程,并为将来从事教学,科研及其他实际工作打好基础。
(2)通过基本概念的正确讲解,基本理论的系统阐述,基本运算能力的严格训练,逐步提高学生的数学修养。
同时注意扩展学生的学习思路,使他们了解更多的和现代生活息息相关的数学应用知识。
(3)作为师范专业,在有关内容方面注重高等数学对初等数学的提高和指导意义,使学生在今后工作中有较高的起点。
3、先修课程与后续课程
先修课程:
数学分析,解析几何,高等代数
后续课程:
数学建模,概率论与数理统计,拓扑学,解析数论等
4、教学时数分配表
章 节 目 录
课时分配
第一章
复数与复变函数
第一节复数
2
8
第二节复平面上的点集
2
第三节复变函数
3
第四节复球面
1
第二章
解析函数
第一节解析函数的概念与柯西-黎曼方程
4
12
第二节初等解析函数
2
第三节初等多值函数
6
第三章
复变函数的积分
第一节复积分的概念及简单性质
2
10
第二节柯西积分定理
3
第三节柯西积分公式及推论
3
第四节解析函数和调和函数的关系
2
第四章
解析函数的幂级数表示法
第一节复级数的基本性质
2
12
第二节幂级数
3
第三节幂级数和函数的泰勒展式
3
第四节解析函数零点的孤立性及唯一性定理
4
第五章
解析函数的洛朗展式与孤立奇点
第一节解析函数的洛朗展式
4
12
第二节解析函数的(有限)孤立奇点
4
第三节解析函数在无穷远点的性质
2
第四节整函数与亚纯函数的概念
2
第六章
留数理论及其应用
第一节留数
4
14
第二节用留数定理计算实积分
4
第三节辐角原理及其应用
6
总 课 时 数
68
5、使用教材:
《复变函数论》(第三版),钟玉泉编;高等教育出版社。
6、教学方法与手段
(1)学与思的结合:
既要了解相关内容,又要对此进行深入的思考与分析;
(2)听与说的结合:
要求学生既要认真听老师的讲解,又要勇于单独发表自己的见解;
(3)知与做的结合:
通过对数学方法的掌握,解决与之相关的其他数学问题;
(4)理论与实践的结合:
通过本课程理论学习形成的数学思想方法,应用于实际之中,同时加深对其他数学专业课的理解。
7、考核方式
本课程考核以笔试为主,是一门考试课程,主要考核学生对基础理论,基本概念的掌握程度,以及学生逻辑推理能力和计算能力。
平时作业成绩占20%,考试成绩占80%。
8、主要参考书目
1、《复变函数学习指导书》,钟玉泉,高等教育出版社。
2、《复变函数》(第二版),余家荣,高等教育出版社。
3、《复变函数》史济怀,刘太顺,中国科学技术大学出版社。
4、《多复变函数》[美]那托西姆汉著,科学出版社。
二、课程内容
第一章:
复数及复平面(8课时)
第一节复数(2课时)
1、教学目的和要求
理解复数的定义,代数表达,四则运算,共轭;复数与平面上点一一对应关系,复平面在几何中的应用;复平面与平面向量的关系,复数的模,辐角,三角表达式,
复球面与无穷大。
2、教学要点与知识点
教学要点:
复数与平面上点一一对应关系,复平面在几何中的应用;复平面与平面向。
量的关系,复球面与无穷大。
知识点:
复数与平面上点一一对应关系。
3、重点和难点
重点:
复平面在几何中的应用;复平面与平面向量的关系。
难点:
复平面在几何中的应用;复球面与无穷大。
第二节复平面上的点集(2课时)
1、教学目的和要求
理解初步概念:
内点、外点、边界点、聚点、圆盘、连通性、开集、闭集等,约当曲线、区域的概念。
2、教学要点与知识点
教学要点:
聚点、圆盘、连通性、开集、闭集等,约当曲线、区域的概念
知识点:
聚点、约当曲线、区域的概念。
3、重点和难点
重点:
聚点、约当曲线、区域的概念。
难点:
复角、单、复连通区域的概念。
第三节复变函数(3课时)
1、教学目的和要求
理解复变函数的定义,掌握复变函数的极限、连续与其实、虚部这一对二元函数的极限连续性的等价性。
2、教学要点与知识点
教学要点:
复变函数的极限、连续与其实、虚部这一对二元函数的极限连续性的等价性。
知识点:
复变函数的极限、连续。
3、重点和难点
重点:
复变函数的极限、连续与其实、虚部这一对二元函数的极限连续性的等价性。
难点:
有界闭集上连续函数的性质。
第四节复球面与无穷点(1课时)
1、教学目的和要求
理解无穷远点复平面、扩充复平面的定义。
2、教学要点与知识点
教学要点:
扩充复平面的定义及的
有关概念。
知识点:
扩充复平面的定义
3、重点和难点
重点:
的邻域及内点。
难点:
及其邻域。
第二章:
复变函数(12课时)
第一节解析函数的概念与Cauchy—Riemann方程(4课时)
1、教学目的和要求
熟练掌握解析的概念、复变函数的可导性与其实虚部的可导性的关系、Cauchy—Riemann方程。
2、教学要点与知识点
教学要点:
复变函数的可导性与其实虚部的可导性的关系,函数解析的条件。
知识点:
解析函数的概念。
3、重点和难点
重点:
解析函数的概念,Cauchy—Riemann方程。
难点:
函数解析的判定。
第二节初等解析函数:
指数函数、三角函数与双曲函数(2课时)
1、教学目的和要求
掌握基本初等函数的定义、性质、与相应实函数的同与不同之处。
2、教学要点与知识点
教学要点:
指数函数、三角函数与双曲函数。
知识点:
指数函数。
3、重点和难点
重点:
基本初等函数的定义和性质。
难点:
指数函数性质与相应实函数的同与不同之处。
第三节初等多值函数:
对数函数、幂函数、根式函数,一般幂函数,一般指数函数,具有多个支点的情形(6课时)。
1、教学目的和要求
理解多值函数的概念、分支、分支点的概念及对数函数、幂函数、根式函数的性质。
2、教学要点与知识点
教学要点:
初等多值函数,对数函数,根式函数的多值性。
知识点:
初等多值函数
3、重点和难点
重点:
多值函数的概念,分支、分支点的概念,多值函数分割为单值解析分支。
难点:
辐角函数、多值函数的分支点。
第三章:
复变函数的积分(10课时)
第一节复积分的概念及其简单性质(2课时)
1、教学目的和要求
掌握积分的定义、性质、会将光滑曲线上的连续函数的积分化成定积分计算
2、教学要点与知识点
教学要点:
积分的定义、复积分的计算,性质。
知识点:
积分的定义、复积分的计算。
3、重点和难点
重点:
复积分与定积分和线积分的联系与区别。
难点:
复积分的计算。
第二节柯西积分定理(3课时)
1、教学目的和要求
掌握柯西积分定理及其证明、不定积分、柯西积分定理推广、会用柯西积分定理计算。
2、教学要点与知识点
教学要点:
柯西积分定理,柯西积分定理推广,周线和复周线。
知识点:
柯西积分定理。
3重点和难点
重点:
柯西积分定理和柯西积分定理推广及计算。
难点:
柯西积分定理证明
第三节柯西积分公式及推论(3课时)
1、教学目的和要求
掌握积分公式,解析函数的无穷可微性,柯西不等式、Liouville定理;Morera定理。
2、教学要点与知识点
教学要点:
柯西积分公式及计算,解析函数的无穷可微性、柯西不等式、Liouville定理、Morera定理。
知识点:
柯西积分公式。
3、重点和难点
重点:
柯西积分公式及计算,解析函数的无穷可微性、Morera定理。
难点:
解析函数的无穷可微性。
第四节解析函数与调和函数的关系(2课时)
1、教学目的和要求
理解调和函数的性质,解析函数与调和函数的关系,会利用调和函数构造解析函数。
2、教学要点与知识点
教学要点:
解析函数与调和函数的关系,利用调和函数构造解析函数。
知识点:
解析函数与调和函数的关系。
3、重点和难点
重点:
解析函数与调和函数的关系,利用调和函数构造解析函数。
难点:
共轭调和函数,解析函数与调和函数的关系。
第四章 解析函数的幂级数表示法(12课时)
第一节复级数的性质、收敛性(3课时)
1、教学目的和要求
理解复级数的定义及其收敛条件,解析函数项级数的一致收敛性、和实级数收敛的联系。
2、教学要点与知识点
教学要点:
复级数收敛性,解析函数项级数的一致收敛性,内闭一致收敛性。
知识点:
复级数收敛性。
3、重点和难点
重点:
复级数收敛性,解析函数项级数的一致收敛性和实级数收敛的联系。
难点:
魏尔斯特拉斯定理。
第二节幂级数(2课时)
1、教学目的和要求
掌握幂级数的收敛范围及性质,会计算幂级数收敛半径。
2、教学要点与知识点
教学要点:
幂级数的敛散性,幂级数收敛半径,幂级数和的解析性。
知识点:
幂级数的敛散性。
3、重点和难点
重点:
幂级数的敛散性,幂级数收敛半径。
难点:
幂级数收敛半径。
第三节解析函数的泰勒展开式(3课时)
1、教学目的和要求
掌握泰勒定理,能熟练应用泰勒定理将函数泰勒展开。
2、教学要点与知识点
教学要点:
解析函数的泰勒展开式,幂级数的和函数在收敛圆周上的状况。
知识点:
解析函数的泰勒展开式。
3、重点和难点
重点:
解析函数的泰勒展开,幂级数的和函数在收敛圆周上的状况。
难点:
解析函数的泰勒展开。
第四节解析函数的零点孤立性及解析函数的唯一性定理(4课时)
1、教学目的和要求
理解解析函数的零点孤立性,并掌握解析函数唯一性定理的内容,意义,并掌握其证明思路。
2、教学要点与知识点
教学要点:
解析函数的零点孤立性及解析函数的唯一性,最大模原理。
知识点:
解析函数的零点孤立性。
3、重点和难点
重点:
解析函数的零点孤立性,零点的阶,解析函数的唯一性。
难点:
解析函数的唯一性
第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点(12课时)
第一节解析函数的罗朗展开(4课时)
1、教学目的和要求
掌握罗朗定理及解析函数的罗朗展开,理解洛朗级数和泰勒级数的关系。
2、教学要点与知识点
教学要点:
罗朗定理及解析函数的罗朗展开,理解洛朗级数和泰勒级数的关系。
知识点:
罗朗定理及解析函数的罗朗展开。
3、重点和难点
重点:
罗朗定理及解析函数的罗朗展开。
难点:
解析函数的罗朗展式。
第二节解析函数的孤立奇点(4课时)
1、教学目的和要求
熟练掌握孤立奇点的分类,性质,掌握奇点的判定定理和Picard定理
2、教学要点与知识点
教学要点:
孤立奇点的分类,性质,和Picard定理。
知识点:
孤立奇点的分类,性质。
3、重点和难点
重点:
孤立奇点的分类,性质。
难点:
Picard定理。
第三节解析函数在无穷远点的性质(2课时)
1、教学目的和要求
理解解析函数在无穷远点的性态,和有限孤立奇点的关系,掌握奇点的判定定理。
2、教学要点与知识点
教学要点:
解析函数在无穷远点的性态,和有限孤立奇点的关系,掌握奇点的判定定理。
知识点:
解析函数在无穷远点的性态
3、重点和难点
重点:
解析函数在无穷远点的性态,和有限孤立奇点的关系。
难点:
奇点的判定。
第四节整函数和亚纯函数的概念(2课时)
1、教学目的和要求
掌握整函数的概念及分类,了解亚纯函数的概念及其于有理函数的关系,
2、教学要点与知识点
教学要点:
整函数的概念及分类,亚纯函数的概念。
知识点:
整函数,亚纯函数
3、重点和难点
重点:
整函数,亚纯函数的共性和个性。
难点:
函数的分类,奇点和整函数,亚纯函数的关系。
第六章 留数理论及其应用(14课时)
第一节留数(4课时)
1、教学目的和要求
掌握函数在有限点和无穷点留数的概念及留数定理及留数的求法。
2、教学要点与知识点
教学要点:
函数在有限点和无穷点留数的概念及留数定理及留数的求法。
知识点:
留数的概念及留数定理。
3、重点和难点
重点:
留数的概念及留数定理及留数的求法。
难点:
留数定理及留数的求法。
第二节用留数定理计算实积分(4课时)
1、教学目的和要求
掌握利用留数定理求实积分的方法,应用多值函数的积分。
2、教学要点与知识点
教学要点:
计算积分路径上没有奇点的广义积分,积分路径上有奇点的积分
知识点:
用留数定理计算实积分。
3、重点和难点
重点:
用留数定理计算实积分。
难点:
用留数定理计算实积分。
第三节辐角原理及应用(Rouche定理)(6课时)
1、教学目的和要求
掌握辐角原理及Rouche定理及应用,并会应用它们求方程在指定范围内的零点个数、能熟练证明代数学基本定理。
2、教学要点与知识点
教学要点:
辐角原理及Rouche定理及应用,并会应用它们求方程在指定范围内的零点个数。
知识点:
辐角原理及Rouche定理。
3、重点和难点
重点:
辐角原理及Rouche定理。
难点:
辐角原理及Rouche定理。
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