初三数学竞赛辅导教程.docx

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初三数学竞赛辅导教程

1.1因式分解

1、常用公式或变形方法（此处只列出教科书以外的常用于竞赛中的内容）

1.

2.

3.（在已知和时此公式常变形为）

4.

2、例题讲解

例1.已知a、b、c是△ABC的三条边，且满足，试判断△ABC的形状.

例2.若三个素数的乘积恰好等于它们和的23倍，求这三个素数.（2015大同杯第四题）

例3.已知实数a、b、c满足，，求的值.（2003年宇振杯第3题）

例4.已知，，求证：

3、练习题

1.已知整数a、b满足，求的值.

2.已知，，，求的值.

3.已知a、b、c是不全相等的实数，且，，求：

（1）的值

（2）的值

4.化简：

（2014大同杯第1题）

5.设非零实数a，b，c满足，求的值.（2013年全国初中数学联赛第一试第1题）

6.已知正数a、b、c满足，求的值.

7.已知：

，，，求的值.（2016全国初中数学联赛第二试B组第2题）

1.2对称式与轮换对称式

一、定义

1.一个元代数式，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，那么，就称这个代数式为元对称式，简称对称式。

例如，都是对称式。

2.如果一个多项式的各项的次数均等于同一个常数，那么称这个多项式为齐次多项式。

3.一个元代数式，如果交换任意两个字母的位置后，代数式均改变符号，那么就称这个代数式为元交代式。

例如，均是交代式。

4.如果一个元代数式，如果将字母：

以代，代代代后代数式不变，那么称这个代数式为元轮换对称式，简称轮换式。

对称式一定是轮换式，但轮换式不一定是对称式。

例如，是对称式也是轮换式；是轮换式，但不是对称式。

二、例题讲解

例1.已知，a，b，c是△ABC的边，且，，，求此三角形的面积.

例2.满足方程的非负整数解有几组？

（2014大同杯第4题）

例3.设x、y、z是三个互不相等的数，且，求xyz的值.

例4.x1、x2、y1、y2满足x12+x22=2，x2y1﹣x1y2=1，x1y1+x2y2=3．求y12+y22的值.

三、练习题

1.已知，，，求的值.

2.若数组（x，y，z）满足下列三个方程：

，，，求xyz的值.

3.已知b≥0，且a+b=c+1，b+c=d+2，c+d=a+3，求a+b+c+d的最大值．

4.不定方程的整数解共有几组？

（2015大同杯第7题）

5.已知bc﹣a2=5，ca﹣b2=﹣1，ab﹣c2=﹣7，求6a+7b+8c

6.已知实数a、b、c，且，若实数x1、x2、y1、y2满足x12+ax22=b，x2y1﹣x1y2=a，x1y1+ax2y2=c．求y12+ay22的值.（2007新知杯第5题）

1.3高斯函数

1、定义

实数x，用[x]表示不超过x的最大值整数，则y=[x]称为高斯函数.

二、例题讲解

例1.表示不大于的最大整数，求方程的所有实数解.（2006新知杯第6题）

例2.对于正整数n，设是最接近的整数，求（2017全国数学联赛第一试第6题）

例3.给定正实数a，对任意一个正整数n，记，这里，表示不超过实数x的最大整数。

（1）若，求a的取值范围；

（2）求证：

（2012新知杯11题）

2、练习题

1.用表示不超过的最大整数，把称为的小数部分.已知，是的小数部分，是的小数部分，求.（2016全国数学联赛第一试第1题）

2.如果a为任意实数，用[a]表示不大于a的最大整数，例如[-5]=-5，[-2,3]=-3，[]=1，设x、y满足方程，求[x+y].

3.用表示不超过的最大整数，求方程的所有实数解.

4.设表示不超过实数的最大整数，

，直至2016项，其中分母为的一段共有项，只有最后一段可能不足项，求的值.（2016大同杯第6题）

5.设表示不超过实数的最大整数，正整数n小于100且满足，这样的正整数n有几个？

（2000年全国初中数学联赛第一试第4题）

6.设表示不超过t的最大整数，令.已知实数x满足，求.（2014全国初中数学联赛第5题）

7.设表示不超过实数的最大整数，求方程-8[x]+7=0的所有解的平方和

8.求满足不等式的最大正整数，其中表示不超过实数的最大整数.（2008新知杯第五大题）

1.4概率

一、基本概念

1.排列

（1）排列的定义：

从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素按照一定的顺序排成一列。

（2）排列的计算公式：

；使用计算器时先输入n的值，然后按P按钮，再输入m的值。

2.组合

（1）组合的定义：

从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组。

组合与排列的区别是组合是无序的，而排列是有序的。

（2）组合的计算公式：

；使用计算器时先输入n的值，然后按C按钮，再输入m的值。

二、例题讲解

例1.有编号分别为去1,2,3,4,5,6,7的7个大小相同的小球，从中任取3个小球，求取出的3个小球的编号和为奇数的概率.（2015大同杯第2题）

例2.从三边长均为整数且周长为24的三角形中任取一个，求它是直角三角形的概率.（2015全国初中数学联赛第一试填空第2题）

例3.三对夫妻排成一排照相，求仅有一对夫妻相邻的概率.

三、练习题

1.同时投掷两颗骰子，P（a）表示两颗骰子朝上一面的点数之和为a的概率，求

P

（1）+P

（2）+P（3）+P（4）+P（5）的值.（2012新知杯第2题）

2.从编号分别为，，，，，的张卡片中任意抽取张，求抽出卡片的编号都大于等于的概率.（2011新知杯第3题）

3.6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，求这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率.（2014全国初中联赛第一试第4题）

4.从正12边形的顶点中取出4个顶点，求它们两两不相邻的概率.

5.某校初三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连）且二班的2位同学没有被排在一起的概率是多少？

6.已知5件产品中有3件合格品，2件次品。

每次任取一个检验，检验后不再放回，求恰好经过3次检验找出2件次品的概率.

1.5单元测试一

一、填空题

1.从1到9这九个数字中任取两个数，它们的乘积是偶数的概率是_________

2.已知，则的值为___________

3.用表示不大于的最大整数，则方程的解的个数为________

4.若实数a，b，c满足，代数式的最大值是________

5.用表示不超过的最大整数，已知方程[]=x–3，那么满足方程的x是__________

6.若实数a、b、c、d满足a2+b2+c2+d2=10，则y=（a-b）2+（a-c）2+（a-d）2+（b-c）2+（b-d）2+（c-d）2的最大值是．

7.设表示不大于的最大整数，如，若

，则

8.已知，且（表示不超过的最大整数），则=________

二、解答题

9.已知a、b、c≥0，求证：

a3+b3+c3≥3abc

10.设a，b，c，d是四个整数。

且使得是一个非零整数，求证：

一定是合数.

11.

（1）用表示不超过的最大整数，对于任意实数，求证：

（2）求的值

12.试确定一切有理数r，使得关于x的方程有根且只有整数根.

2.1不定方程

一、例题讲解

例1.求满足方程的所有实数对.（2010新知杯第2题）

例2.不定方程的整数解共有多少组？

（2015大同杯第7题）

例3.求方程的整数解.（2000弘晟杯第8题）

二、练习题

1.求不定方程的整数解

2.方程xyz=2009的所有整数解有多少组？

（2009新知杯第8题）

3.方程，、都是正整数，求该方程的正整数解.

4.已知正整数满足:

，，，求.（2015全国初中数学联赛填空第4题）

5.已知三整数、、之和为13且，求的最大值和最小值，并求出此时相应的与的值.

6.已知为整数，若关于的二次方程有有理根，求值.

7.已知正整数a，b，c满足，，求的最大值.（2013全国数学联赛第一试填空第8题）

2.2特殊方程（组）的解法

一、例题讲解

例1.已知是不为0的实数，求解方程组：

（2013新知杯第10题）

例2.设、、均为非零数，解方程组：

例3.关于的方程组有实数解，求正实数的最小值．（2006新知杯第三题）

例4.解方程：

例5.解方程：

二、练习题

1.已知实数满足如下方程组，

求的值.（2006新知杯第2题）

2.解方程：

3.解关于x的方程：

（2014大同杯第9题）

4.解方程组：

（2012新知杯第10题）

5.解方程：

6.解方程组：

2.3韦达定理

一、例题讲解

例1.已知二次函数的图像与轴的两个不同的交点到原点的距离之和不超过5，则的取值范围.（2006新知杯第4题）

例2.已知a，b，c，d四个不相等的实数，满足c，d是方程的两实根，a，b是的两实根，求a+b+c+d.（2017大同杯第8题）

例3.整数满足，且关于的一元二次方程的两个根均为正整数，求.（2010新知杯第7题）

例4.已知矩形ABCD的相邻两边长为a、b，是否存在另一个矩形A’B’C’D’，使它的周长和面积分别是矩形ABCD的周长和面积的？

证明你的结认论。

（2005宇振杯第二题）

例5.设实数满足，，求的值．（2014全国数学联赛第三题）

二、练习题

1.在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边顺次为a、b、c，若关于x的方程的两根平方和为10，求的值.（2007新知杯第3题）

2.已知关于x的方程有实根，并且所有实根的乘积为−2，求所有实根的平方和.（2009新知杯第4题）

3.设a，b是方程的两个根，c，d是方程的两个根，求的值.（2009新知杯第6题）

4.已知a，b，c，d四个不相等的实数，满足a，b是的两实根，c，d是方程的两实根，求a+b+c+d.（2017大同杯静安区初赛第9题）

5.设二次函数的图象过两点P，Q且与轴的交点为A、B，与轴的交点为C.如果关于的方程的两个根都是整数，求△ABC的面积.（2010全国数学联赛第二试第三题）

2.4单元测试二

一、填空题

1.实数满足方程组其中是实常数,且,用“＜”号连接：

___________________________

2.如果方程的两根之差等于1，那么p=_____________

3.如果，，，那么=

4.实数x，y满足，且，则x+y=_____________

5.已知x、y是正整数，并且，，则=____________

6.在直角坐标系中，坐标都是整数的点称为整点，设为整数，当直线的交点为整数时，可以取的值有________个

7.若实数x、y满足，，则x+y=__________

8.已知是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对共有____对

3、解答题

9.已知a，b，c满足方程组：

，求方程的根.

10.设关于x的二次方程的两根都是整数．求满足条件的所有实数k的值．

11.已知是正整数，如果关于的方程的根都是整数，求的值.

12.已知实数m