最新利用matlab程序解决热传导问题.docx

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最新利用matlab程序解决热传导问题

哈佛大学能源与环境学院

课程作业报告

作业名称：

传热学大作业——利用matlab程序解决热传导问题

院系：

能源与环境学院

专业：

建筑环境与设备工程

学号：

5201314

姓名：

盖茨比

2015年6月8日

一、题目及要求

1.原始题目及要求

2.各节点的离散化的代数方程

3.源程序

4.不同初值时的收敛快慢

5.上下边界的热流量（λ=1W/（m℃））

6.计算结果的等温线图

7.计算小结

题目：

已知条件如下图所示：

二、各节点的离散化的代数方程

各温度节点的代数方程

ta=（300+b+e）/4;tb=（200+a+c+f）/4;tc=（200+b+d+g）/4;td=（2*c+200+h）/4

te=（100+a+f+i）/4;tf=（b+e+g+j）/4;tg=（c+f+h+k）/4;th=（2*g+d+l）/4

ti=（100+e+m+j）/4;tj=（f+i+k+n）/4;tk=（g+j+l+o）/4;tl=（2*k+h+q）/4

tm=（2*i+300+n）/24;tn=（2*j+m+p+200）/24;to=（2*k+p+n+200）/24;tp=（l+o+100）/12

三、源程序

【G-S迭代程序】

【方法一】

函数文件为：

function[y,n]=gauseidel（A,b,x0,eps）

D=diag（diag（A））;

L=-tril（A,-1）;

U=-triu（A,1）;

G=（D-L）\U;

f=（D-L）\b;

y=G*x0+f;

n=1;

whilenorm（y-x0）>=eps

x0=y;

y=G*x0+f;

n=n+1;

end

命令文件为：

A=[4,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;

-1,4,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;

0,-1,4,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0;

0,0,-2,4,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0;

-1,0,0,0,4,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0;

0,-1,0,0,-1,4,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0;

0,0,-1,0,0,-1,4,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0;

0,0,0,-1,0,0,-2,4,0,0,0,-1,0,0,0,0;

0,0,0,0,-1,0,-1,0,4,0,0,0,-1,0,0,0;

0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,4,-1,0,0,-1,0,0;

0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,4,-1,0,0,-1,0;

0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-2,4,0,0,0,-1;

0,0,0,0,0,0,0,0,-2,0,0,0,24,-1,0,0;

0,0,0,0,0,0,0,0,0,-2,0,0,-1,24,-1,0;

0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-2,0,0,-1,24,-1;

0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,12];

b=[300,200,200,200,100,0,0,0,100,0,0,0,300,200,200,100]';

[x,n]=gauseidel（A,b,[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0]',1.0e-6）

xx=1:

1:

4;

yy=xx;

[X,Y]=meshgrid（xx,yy）;

Z=reshape（x,4,4）;

Z=Z'

contour（X,Y,Z,30）

Z=

139.6088150.3312153.0517153.5639

108.1040108.6641108.3119108.1523

84.142967.909663.379362.4214

20.155715.452114.874414.7746

【方法2】>>t=zeros（5,5）;

t（1,1）=100;

t（1,2）=100;

t（1,3）=100;

t（1,4）=100;

t（1,5）=100;

t（2,1）=200;

t（3,1）=200;

t（4,1）=200;

t（5,1）=200;

fori=1:

10

t（2,2）=（300+t（3,2）+t（2,3））/4;

t（3,2）=（200+t（2,2）+t（4,2）+t（3,3））/4;

t（4,2）=（200+t（3,2）+t（5,2）+t（4,3））/4;

t（5,2）=（2*t（4,2）+200+t（5,3））/4;

t（2,3）=（100+t（2,2）+t（3,3）+t（2,4））/4;

t（3,3）=（t（3,2）+t（2,3）+t（4,3）+t（3,4））/4;

t（4,3）=（t（4,2）+t（3,3）+t（5,3）+t（4,4））/4;

t（5,3）=（2*t（4,3）+t（5,2）+t（5,4））/4;

t（2,4）=（100+t（2,3）+t（2,5）+t（3,4））/4;

t（3,4）=（t（3,3）+t（2,4）+t（4,4）+t（3,5））/4;

t（4,4）=（t（4,3）+t（4,5）+t（3,4）+t（5,4））/4;

t（5,4）=（2*t（4,4）+t（5,3）+t（5,5））/4;

t（2,5）=（2*t（2,4）+300+t（3,5））/24;

t（3,5）=（2*t（3,4）+t（2,5）+t（4,5）+200）/24;

t（4,5）=（2*t（4,4）+t（3,5）+t（5,5）+200）/24;

t（5,5）=（t（5,4）+t（4,5）+100）/12;

t'

end

contour（t',50）;

ans=

100.0000200.0000200.0000200.0000200.0000

100.0000136.8905146.9674149.8587150.7444

100.0000102.3012103.2880103.8632104.3496

100.000070.626461.946559.801859.6008

100.000019.003314.890314.539314.5117

【Jacobi迭代程序】

函数文件为：

function[y,n]=jacobi（A,b,x0,eps）

D=diag（diag（A））;

L=-tril（A,-1）;

U=-triu（A,1）;

B=D\（L+U）;

f=D\b;

y=B*x0+f;

n=1;

whilenorm（y-x0）>=eps

x0=y;

y=B*x0+f;

n=n+1;

end

命令文件为：

A=[4,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;

-1,4,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;

0,-1,4,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0;

0,0,-2,4,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0;

-1,0,0,0,4,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0;

0,-1,0,0,-1,4,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0;

0,0,-1,0,0,-1,4,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0;

0,0,0,-1,0,0,-2,4,0,0,0,-1,0,0,0,0;

0,0,0,0,-1,0,-1,0,4,0,0,0,-1,0,0,0;

0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,4,-1,0,0,-1,0,0;

0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,4,-1,0,0,-1,0;

0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-2,4,0,0,0,-1;

0,0,0,0,0,0,0,0,-2,0,0,0,24,-1,0,0;

0,0,0,0,0,0,0,0,0,-2,0,0,-1,24,-1,0;

0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-2,0,0,-1,24,-1;

0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,12];

b=[300,200,200,200,100,0,0,0,100,0,0,0,300,200,200,100]';

[x,n]=jacobi（A,b,[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0]',1.0e-6）;

xx=1:

1:

4;

yy=xx;

[X,Y]=meshgrid（xx,yy）;

Z=reshape（x,4,4）;

Z=Z'

contour（X,Y,Z,30）

n=97

Z=

139.6088150.3312153.0517153.5639

108.1040108.6641108.3119108.1523

84.142967.909663.379362.4214

20.155715.452114.874414.7746

四、不同初值时的收敛快慢

1、[方法1]在Gauss迭代和Jacobi迭代中，本程序应用的收敛条件均为norm（y-x0）>=eps，即使前后所求误差达到e的-6次方时，跳出循环得出结果。

将误差改为0.01时，只需迭代25次，如下[x,n]=gauseidel（A,b,[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0]',0.01）运行结果为

将误差改为0.1时，需迭代20次，可见随着迭代次数增加，误差减小，变化速度也在减小。

[方法2]通过i=1:

10判断收敛，为迭代10次，若改为1:

20，则迭代20次。

2、在同样的误差要求下，误差控制在e的-6次方内，Gauss迭代用了49次达到要求，而Jacobi迭代用了97次，可见，在迭代中尽量采用最新值，可以大幅度的减少迭代次数，迭代过程收敛快一些。

在Gauss中，初值为100，迭代46次达到精确度1.0e-6,初值为50时，迭代47次，初值为0时，迭代49次，初值为200时迭代50次，可见存在一个最佳初始值，是迭代最快。

这一点在jacobi迭代中表现的尤为明显。

五、上下边界的热流量：

上边界t=200℃,

=10℃，所以，

热流量Φ1=λ*[

+

+

+

+

]

=1*（100/2+（200-139.6088）+（200-150.3312）+（200-153.0517）+（200-153.5639）/2）

=230.2264W

下边界

热流量Φ2=|λ*[

+

+

+

]-

h*（

+

+

+

+

）|

=|1*（（84.1429-20.1557）+（67.9096-15.4521）+（63.3793-14.8744）+（62.4214-14.7746）/2）-10*（90/2+（20.1557-10）+（15.4521-10）+（14.8744-10）+（14.7746-10）/2）|=|-489.925|W=489.25W

六、温度等值线

Gauss:

Yacobi:

七、计算小结

导热问题进行有限差分数值计算的基本思想是把在时间、空间上连续的温度场用有限个离散点温度的集合来代替，即有限点代替无限点，通过求解根据傅里叶定律和能量守恒两大法则建立关于控制面内这些节点温度值的代数方程，获得各个离散点上的温度值。

要先划分查分网格，在建立差分代数方程组，用MATLAB或者其他软件编程求解。

高斯-赛德尔迭代法和雅克比迭代法区别在于使用新植和旧值进行下一次迭代，而采用新值迭代的高斯-赛德尔迭代收敛的更快些，但其求解代数方程是不一定得到收敛的解，其原因可能由于迭代方式不合适造成。

在计算热流量过程中，主要是正确利用傅里叶定律和牛顿冷却公式，本题中需要特别注意的一点是后边界是绝热的，因而左右方向上几乎不存在热量的传递，所以看似是二维稳态问题实际上是一维稳态的问题。

求解也比较简单。

程序运行出来的等温线结果也很好的说明了这一点，温度总体是从上向下递减，热量传递方向是自上而下。

课后练习——例题4-2（P173）：

“有一各向同性材料的方形物体，其导热系数为常量。

已知各边界的温度如图所示，试用高斯-赛德尔迭代求其内部网格节点1、2、3、和4的温度。

”

请同学们课后编写计算程序对本题进行迭代计算。

编写语言自由。

课程结束前提交。

作为平时成绩的参考。

第1章绪论

第1.1节焚烧技术的发展历史

垃圾焚烧技术作为一种以燃烧为手段的垃圾处理方法，其应用可以追溯至人类文明的早期，如刀耕火种时期的烧荒即可视为焚烧应用的一例。

但焚烧作为一种处理生活垃圾的专用技术，其发展历史与其他垃圾处理方法相比要短很多，大致经历了三个阶段。

1．1．1萌芽阶段

萌芽阶段是从19世纪80年代开始到20世纪初期。

1874年和1885年，英国诺丁汉和美国纽约先后建造了处理生活垃圾的焚烧炉，代表了生活垃圾焚烧技术的兴起。

1896年和1898年，德国汉堡和法国巴黎先后建立了世界上最早的生活垃圾焚烧厂，开始了生活垃圾焚烧技术的工程应用。

但是由于这一阶段的技术原始和垃圾中可燃物的比例较低，在垃圾焚烧过程中产生的浓烟和臭味，对环境的二次污染相当严重，因此这种方法曾一度为人们所抛弃。

1．1．2发展阶段

从20世纪初到60年代末的约半个世纪，是垃圾焚烧技术的发展阶段。

一次世界大战后，发达国家的经济得到了较大发展，城市居民生活水平的提高和生活垃圾成分的变化，给垃圾焚烧创造了条件，因此垃圾焚烧技术又逐渐发展起来。

这期间，欧洲、北美及日本都陆续建起了一些生活垃圾焚烧厂，其工艺与设施水平也在随着燃煤技术的发展而从固定炉排到机械炉排，从自然通风到机械供风而逐步得到发展。

二次世界大战以后，发达国家的经济得到更大发展，城市居民的生活水平进一步提高，垃圾中的可燃物和易燃物也随之迅速上升，促进了垃圾焚烧技术的应用。

特别是在20世纪60年代的电子工业变革后，各种先进技术在垃圾焚烧炉上得到了应用，使垃圾焚烧炉得到了进一步完善。

但总体来说，由于当时城市生活垃圾中的可燃物仍然少于非可燃物，产生量与消耗空间的矛盾尚不突出，对垃圾焚烧伴随的环境问题的认识仍肤浅等因素，直到20世纪70年代以前，生活垃圾焚烧技术的发展并不十分理想。

1．1．3成熟阶段

从20世纪70年代初到90年代中期的20多年间，是生活垃圾焚烧技术的成熟阶段，也是生活垃圾焚烧技术发展最快的时期。

这时期几乎所有的发达国家、中等发达国家都建设了不同规模、不同数量的垃圾焚烧发电厂，发展中国家建设的垃圾焚烧发电厂的也不在少数，垃圾焚烧技术的发展方兴未艾。

表1-1所示的数据可以对生活垃圾焚烧技术的当代发展史作一代表性的注解。

综合分析发达国家生活垃圾焚烧技术在近二十年间迅速发展的原因，除了经济、技术、观念等因素外，还有一些其他方面的影响，比如：

随着城市建设的发展和城市规模的扩大，城市人口数量骤增，生活垃圾产量也快速递增，使原有的垃圾填埋场日益饱和或已经饱和，而新的垃圾填埋场地又难于寻找，采取垃圾焚烧方法，可使生活垃圾减容85%