完整版圆锥曲线经典中点弦问题docx.docx
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中点弦问题专题练习
一.选择题(共
8小题)
1.已知椭圆
,以及椭圆内一点
P(4,2),则以
P为中点的弦所在直线的斜率为(
)
A.
B.
C.2
D.﹣2
2.已知A(1,2)为椭圆
内一点,则以
A为中点的椭圆的弦所在的直线方程为(
)
A.x+2y+4=0
B.x+2y﹣4=0
C.2x+y+4=0
D.2x+y﹣4=0
3.AB是椭圆
(a>b>0)的任意一条与
x轴不垂直的弦,O是椭圆的中心,e为椭圆的离心率,
M为
AB的中点,则KAB?
KOM的值为(
)
C.e2﹣1
D.1﹣e2
A.e﹣1
B.1﹣e
4.椭圆4x2+9y2=144内有一点P(3,2)过点P的弦恰好以P为中点,那么这弦所在直线的方程为(
)
A.3x+2y﹣12=0
B.2x+3y﹣12=0
C.4x+9y﹣144=0
D.9x+4y﹣144=0
5.若椭圆
的弦中点(4,2),则此弦所在直线的斜率是(
)
A.2
B.﹣2
C.
D.
6.已知椭圆
的一条弦所在直线方程是
x﹣y+3=0,弦的中点坐标是(﹣
2,1),则椭圆的离心率是(
)
A.
B.
C.
D.
7.直线y=x+1被椭圆x2+2y2=4所截得的弦的中点坐标是(
)
A.(
)
B.(﹣,)
C.(,﹣)
D.(﹣,)
8.以椭圆
内一点M(1,1)为中点的弦所在的直线方程为(
)
A.4x﹣3y﹣3=0
B.x﹣4y+3=0
C.4x+y﹣5=0
D.x+4y﹣5=0
二.填空题(共
9小题)
9.过椭圆
内一点M(2,0)引椭圆的动弦AB,则弦AB的中点N的轨迹方程是
_________
.
10.已知点(1,1)是椭圆某条弦的中点,则此弦所在的直线方程为:
_________.
11.椭圆4x2+9y2=144内有一点
直线方程为_________.
P(3,2)过点
P的弦恰好以
P为中点,那么这弦所在直线的斜率为
_________
,
12.椭圆4x2+9y2=144
内有一点P(3,2)过点P的弦恰好以P为中点,那么这弦所在直线的方程为
_________
.
13.过椭圆
=1
内一定点(1,0)作弦,则弦中点的轨迹方程为
_________.
14.设AB是椭圆
的不垂直于对称轴的弦,M为AB的中点,O为坐标原点,则kAB?
kOM=
_________
.
15.以椭圆
内的点M(1,1)为中点的弦所在直线方程为
_________.
16.在椭圆
+=1内以点
P(﹣2,1)为中点的弦所在的直线方程为
_________
.
17.直线y=x+2
三.解答题(共
被椭圆x2+2y2=4截得的线段的中点坐标是
13小题)
_________
.
18.求以坐标轴为对称轴,一焦点为
且截直线
y=3x﹣2所得弦的中点的横坐标为
的椭圆方程.
19.已知
M(4,2)是直线
l被椭圆
x2+4y2=36所截的弦
AB
的中点,其直线
l的方程.
20.已知一直线与椭圆
4x2+9y2=36相交于
A、B
两点,弦
AB
的中点坐标为
M(1,1),求直线
AB
的方程.
21.已知椭圆,求以点P(2,﹣1)为中点的弦AB所在的直线方程.
22.已知椭圆与双曲线2x2﹣2y2=1共焦点,且过()
(1)求椭圆的标准方程.
(2)求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程.
23.直线l:
x﹣2y﹣4=0与椭圆x2+my2=16相交于A、B两点,弦AB的中点为P(2,﹣1).
(1)求m的值;
(2)设椭圆的中心为O,求△AOB的面积.
24.AB是椭圆中不平行于对称轴的一条弦,M是AB的中点,O是椭圆的中心,求证:
kAB?
kOM为定值.
25.已知椭圆C:
+=1和点P(1,2),直线l经过点P并与椭圆C交于A、B两点,求当l的倾斜角变化时,
弦中点的轨迹方程.
26.已知椭圆.
(1)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;
(2)过A(2,1)的直线l与椭圆相交,求l被截得的弦的中点轨迹方程;
(3)过点P()且被P点平分的弦所在的直线方程.
27.已知椭圆.
(1)求过点且被点P平分的弦所在直线的方程;
(2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;
(3)过点A(2,1)引直线与椭圆交于B、C两点,求截得的弦BC中点的轨迹方程.
28.已知某椭圆的焦点是F(1
﹣4,0)、F(2
4,0),过点F2并垂直于
x轴的直线与椭圆的一个交点为
B,且|F1B|+|F2B|=10,
椭圆上不同的两点
A(x1
1
2
2
2
22
,y)、C(x
,y
)满足条件:
|FA|、|FB|、|FC|成等差数列.
(Ⅰ)求该椭圆的方程;
(Ⅱ)求弦AC中点的横坐标.
29.(2010?
永春县一模)过椭圆内一点M(1,1)的弦AB.
(1)若点M恰为弦AB的中点,求直线AB的方程;
(2)求过点M的弦的中点的轨迹方程.
30.已知椭圆C方程为,直线与椭圆C交于A、B两点,点,
(1)求弦AB中点M的轨迹方程;
(2)设直线PA、PB斜率分别为k1、k2,求证:
k1+k2为定值.
2014年1月panpan781104的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共
8小题)
1.已知椭圆
,以及椭圆内一点
P(4,2),则以
P为中点的弦所在直线的斜率为(
)
A.
B.
C.2
D.﹣2
考点:
椭圆的简单性质.
专题:
圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:
利用中点坐标公式、斜率计算公式、“点差法”即可得出.
解答:
解:
设以点P为中点的弦所在直线与椭圆相交于点A(x1,y1),B(x2,y2),斜率为k.
则,,两式相减得,
又x1+x2=8,y1+y2=4,,
代入得,解得k=.
故选A.
点评:
熟练掌握中点坐标公式、斜率计算公式、“点差法”是解题的关键.
2.已知
A(1,2)为椭圆
内一点,则以
A为中点的椭圆的弦所在的直线方程为(
)
A.x+2y+4=0
B.x+2y﹣4=0
C.2x+y+4=0
D.2x+y﹣4=0
考点:
直线的一般式方程.
专题:
计算题.
分析:
首先根据题意设出直线的方程,再联立直线与椭圆的方程,然后结合题意与跟与系数的关系得到答案.
解答:
解:
设直线的方程为
y﹣2=k(x﹣1),
联立直线与椭圆的方程代入可得:
(4+k2)x2
+2k(2﹣k)x+k
2﹣4k﹣12=0
因为A为椭圆的弦的中点,
所以
,解得k=﹣2,
所以直线的方程为2x+y﹣4=0.
故选D.
点评:
解决此类问题的关键是熟练掌握直线与椭圆的位置关系的判定,以及掌握弦中点与中点弦问题.
3.AB是椭圆(a>b>0)的任意一条与x轴不垂直的弦,O是椭圆的中心,e为椭圆的离心率,M为
AB的中点,则KAB?
KOM的值为(
)
C.e2﹣1
D.1﹣e2
A.e﹣1
B.1﹣e
考点:
椭圆的简单性质.
专题:
综合题.
分析:
设出弦AB所在的直线方程,与椭圆方程联立消去
y,根据韦达定理求得
x1+x2,的表达式,根据直线方程
求得y1+y2
的表达式,进而根据点
M为AB的中点,表示出
M的横坐标和纵坐标,求得直线
OM的斜率,
进而代入kAB?
kOM中求得结果.
解答:
解:
设直线为:
y=kx+c
联立椭圆和直线消去y得
b2x2+a2(kx+c)2﹣a2b2=0,即(b2+k2a2)x2+2a2kcx+a2(c2﹣b2)=0
所以:
x1+x2=﹣
所以,M点的横坐标为:
Mx=(x1+x2)=﹣
又:
y1=kx1+c
y2=kx2+c
所以y1+y2=k(x1+x2)+2c=
所以,点M的纵坐标My=(y1+y2)=
所以:
Kom===﹣
所以:
kAB?
kOM=k×(﹣)=﹣=e2﹣1
点评:
本题主要考查了椭圆的应用.涉及弦长问题,利用弦长公式及韦达定理求解,涉及弦的中点及中点弦问题,利用差分法较为简便.
4.椭圆4x2+9y2=144内有一点P(3,2)过点
A.3x+2y﹣12=0B.2x+3y﹣12=0
P的弦恰好以P为中点,那么这弦所在直线的方程为(
C.4x+9y﹣144=0D.9x+4y﹣144=0
)
考点:
直线与圆锥曲线的关系;直线的一般式方程.
专题:
圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:
利用平方差法:
设弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程,两式作差,利用中点坐标公式及
斜率公式可求得直线斜率,再用点斜式即可求得直线方程.
解答:
解:
设弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=6,y1+y2=4,
把A、B
坐标代入椭圆方程得,
,
,
两式相减得,
4(
﹣
)+9(
﹣y22)=0,即
4(x1+x2)(x1﹣x2)+9(y1+y2)(y1﹣y2)=0,
所以
=﹣
=﹣
=﹣,即
kAB=﹣
,
所以这弦所在直线方程为:
y﹣2=﹣(x﹣3),即2x+3y﹣12=0.
故选B.
点评:
本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、直线方程的求解,涉及弦中点问题常运用平方差法,应熟练掌握.
5.若椭圆
的弦中点(
4,2),则此弦所在直线的斜率是(
)
A.2
B.﹣2
C.
D.
考点:
直线与圆锥曲线的关系;直线的斜率.
专题:
圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:
设此弦所在直线与椭圆相交于点
A(x1,y1),B(x2,y2).利用中点坐标公式和
“点差法”即可得出.
解答:
解:
设此弦所在直线与椭圆相交于点
A(x1,y1),B(x2,y2).
则
,
,两式相减得
=0.
∵,,.
代入上式可得
,解得kAB=.
故选D.
点评:
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式和
“点差法”等基础知识与基本技能方法,属于中档题.
6.已知椭圆
的一条弦所在直线方程是
x﹣y+3=0,弦的中点坐标是(﹣
2,1),则椭圆的离心率是(
)
A.
B.
C.
D.
考点:
椭圆的简单性质.
专题:
计算题.
分析:
设出以M为中点的弦的两个端点的坐标,代入椭圆的方程相减,把中点公式代入,可得弦的斜率与
的关系式,从而求得椭圆的离心率.
解答:
解:
显然M(﹣2,1)在椭圆内,设直线与椭圆的交点A(x1,y1),B(x2,y2),
a,b
则+=1,+=1,相减得:
=0,
整理得:
k=﹣
=1,
又弦的中点坐标是(﹣2,1),
∴,
∴,
则椭圆的离心率是e===.
故选B.
点评:
本题考查椭圆的标准方程和简单性质,中点公式及斜率公式的应用,以及直线方程,属于基础题.本题解题中直接利用点差法巧妙用上了中点坐标公式与弦的斜率,方法极为巧妙,此方法即为通常所说的点差法,研究弦中点问题时经常采用此方法
7.直线y=x+1被椭圆x2+2y2=4所截得的弦的中点坐标是(
)
A.(
)
B.(﹣,)
C.(,﹣)
D.(﹣,)
考点:
直线与圆锥曲线的关系.
专题:
计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
22
分析:
将直线y=x+1代入椭圆x+2y=4中,利用韦达定理及中点坐标公式,即可求得结论.
解答:
解:
将直线y=x+1代入椭圆x2+2y2=4中,得x2+2(x+1)2=4
∴3x2+4x﹣2=0
∴弦的中点横坐标是x==﹣,
代入直线方程中,得y=
∴弦的中点是(﹣,)
故选B.
点评:
本题考查直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理的运用,属于基础题.
8.以椭圆
内一点M(1,1)为中点的弦所在的直线方程为(
)
A.4x﹣3y﹣3=0
B.x﹣4y+3=0
C.4x+y﹣5=0
D.x+4y﹣5=0
考点:
直线与圆锥曲线的关系.
专题:
计算题.
分析:
设直线方程为
y﹣1=k(x﹣1),代入椭圆
化简,根据
x1+x2=
=2,求出斜
率k的值,即得所求的直线方程.
解答:
解:
由题意可得直线的斜率存在,设直线方程为y﹣1=k(x﹣1),
代入椭圆化简可得,
(4k2+1)x2+8(k﹣k2)x+4k2﹣8k﹣12.
∴由题意可得x12
=2,∴k=﹣,
+x=
故直线方程为y﹣1=﹣(x﹣1),即x+4y﹣5=0,
故选D.
点评:
本题考查直线和圆锥曲线的位置关系,一元二次方程根与系数的关系,中点公式的应用,求出直线的斜率,是解题的关键.
二.填空题(共9小题)
9.过椭圆内一点M(2,0)引椭圆的动弦AB,则弦AB的中点N的轨迹方程是.
考点:
直线与圆锥曲线的综合问题;轨迹方程.
专题:
综合题.
分析:
设出N,A,B的坐标,将A,B的坐标代入椭圆方程,结合N为AB的中点,求出AB的斜率,再利用动
弦AB过点M(2,0),弦AB的中点N,求出AB的斜率,从而可得方程,化简即可.解答:
解:
设N(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则
①,②
①﹣②,可得:
∴
∵动弦AB过点M(2,0),弦AB的中点N,
当M、N不重合时,有
∴
∴
∴,(m≠2)
当M、N重合时,即M是A、B中点,M(2,0)适合方程,
则N的轨迹方程为,
故答案为:
点评:
本题考查直线与椭圆的综合,考查点差法的运用,这是解决弦中点问题,常用的一种方法.
10.已知点(1,1)是椭圆某条弦的中点,则此弦所在的直线方程为:
x+2y﹣3=0.
考点:
直线与圆锥曲线的关系.
专题:
圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:
设以A(1,1)为中点椭圆的弦与椭圆交于E(x1,y1),F(x2,y2),A(1,1)为EF中点,x1+x2=2,y1+y2=2,
利用点差法能够求出以A(1,1)为中点椭圆的弦所在的直线方程.
解答:
解:
设以A(1,1)为中点椭圆的弦与椭圆交于E(x1,y1),F(x2,y2),
∵A(1,1)为EF中点,∴x1+x2=2,y1+y2=2,
把E(x1,y1),F(x2,y2)分别代入椭圆,
可得,
两式相减,可得(x1+x2)(x1﹣x2)+2(y1+y2)(y1﹣y2)=0,
∴2(x1﹣x2)+4(y1﹣y2)=0,
∴=﹣
∴以A(1,1)为中点椭圆的弦所在的直线方程为:
y﹣1=﹣(x﹣1),
整理,得x+2y﹣3=0.
故答案为:
x+2y﹣3=0.
点评:
本题考查以A(1,1)为中点椭圆的弦所在的直线方程的求法,考查点差法的运用,考查学生分析解决问
题的能力,属于中档题.
11.椭圆4x2+9y2=144内有一点P(3,2)过点P的弦恰好以P为中点,那么这弦所在直线的斜率为
,直
线方程为2x+3y﹣12=0.
考点:
直线与圆锥曲线的关系;直线的一般式方程.
专题:
计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:
平方差法:
设弦端点为
A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程后作差,利用斜率公式及中点坐标公式可
得斜率;根据点斜式可得直线方程.
解答:
解:
设弦端点为A(x1
,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=6,y1+y2=4,
①,
=144②,
①﹣②得,
+9
=0,即4(x+x
)(x﹣x
)+9(y+y
)(y﹣y
)=0,
1
2
1
2
1
2
1
2
所以==,即,
所以弦所在直线方程为:
y﹣2=﹣(x﹣3),即2x+3y﹣12=0.
故答案为:
﹣;2x+3y﹣12=0.
点评:
本题考查直线与抛物线的位置关系、直线方程的求解,弦中点问题常利用平方差法解决,应熟练掌握.
12.椭圆4x2+9y2=144内有一点P(3,2)过点P的弦恰好以P为中点,那么这弦所在直线的方程为2x+3y﹣12=0.
考点:
直线与圆锥曲线的关系.
专题:
计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:
设以P(3,2)为中点椭圆的弦与椭圆交于E(x1,y1),F(x2,y2),P(3,2)为EF中点,x1+x2=6,y1+y2=4,利用点差法能够求出这弦所在直线的方程.
解答:
解:
设以P(3,2)为中点椭圆的弦与椭圆交于E(x1,y1),F(x2,y2),
∵P(3,2)为EF中点,
∴x1+x2=6,y1+y2=4,
把E(x1
,y1),F(x2,y2)分别代入椭圆
4x2+9y2=144,
得
,
∴4(x1+x2)(x1﹣x2)+9(y1+y2)(y1﹣y2)=0,
∴24(x1﹣x2)+36(y1﹣y2)=0,
∴k==﹣,
∴以P(3,2)为中点椭圆的弦所在的直线方程为:
y﹣2=﹣(x﹣3),
整理,得2x+3y﹣12=0.
故答案为:
2x+3y﹣12=0.
点评:
本题考查直线方程的求法,解题时要认真审题,注意椭圆的简单性质、点差法、直线方程等知识点的合理运用.
13.过椭圆=1内一定点(1,0)作弦,则弦中点的轨迹方程为4x2+9y2﹣4x=0.
考点:
椭圆的应用;轨迹方程.
专题:
计算题.
分析:
设弦两端点坐标为(x1,y1),(x2.y2),诸弦中点坐标为(x,y).弦所在直线斜率为k,把两端点坐标代入椭圆方程相减,把斜率看的表达式代入后整理即可得到弦中点的轨迹方程.
解答:
解:
设弦两端点坐标为(x1,y1),(x2.y2),诸弦中点坐标为(x,y).弦所在直线斜率为k
两式相减得;(x1+x2)(x1﹣x2)+(y1+y2)(y1﹣y2)=0
即
又∵k=,代入上式得
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